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1、一元二次方程的应用【教学目标】列一元二次方程解应用题，会用一元二次方程解决最大利润问题。【教学重点】列一元二次方程解应用题，要正确理解题意，分析、寻找数量之间的关系，建立恰当的方程模型，将实际问题抽象成数学模型，即要先解决好数学问题。【教学难点】列一元二次方程解应用题，找到等量关系，建立方程解应用题。【教学过程】一、复习预习方程类应用题是初中数学的重要内容，也是中考的重点和热点。近年来各地中考数学试题中，方程应用题占有相当的比重。涉及丰富的现实生活背景，重点对初中所学有关列方程（组）解应用题的知识点进行考查，考查同学们的阅读理解能力、综合分析能力、解决问题的能力，但由于同学们缺乏社会经验与生活
2、常识，再加之有些试题中名词、术语专业性太强、阅读量大、数量关系复杂，客观上给我们解答造成了思维障碍，甚至一些同学见之望而生畏。通过本讲典例学习，你会进一步提高分析、解决问题的能力，获取解决实际问题的技巧。一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 一般表达式：方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。把（A、B、C为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。二、知识讲解考点/易错点1要正确理解题意，分析、寻找数量之间的关系，建立恰当的方程模型，将实际问题抽象成数学模型，即要先解决好数学问题
3、，再进一步解决应用问题，可应用以下一般方法：认真阅读，理解题意-抽象概括，寻找方程关系-解决数学问题-解决实际问题。考点/易错点2列方程（组）解应用题的基本思路：（1）审题（2）设恰当的未知数（3）找等量关系，列方程（组）（4）解方程（组）（5）检验（6）答。考点/易错点3一元二次方程解应用题的步骤与以前列方程解应用题一样。其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元，直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件。方程的解必须进行实际题意的检验。三、例题精析【例题1】【题干】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经
4、市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】解：设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程：（500-20x）（10+x）=6000， 整理，得x2-15x+50=0， 解这个方程，得x1=5，x2=10.要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克水果应涨价5元。【解析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可。【例题2】【题干】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出20
5、0千克。为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。（1）设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；（2）若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【答案】解：（1）每天的销售量为（200+），即（200+400x）千克。（2） 设应将每千克小型西瓜的售价降低y元，根据题意，得（3） （3-y-2）（200+400y）-24=200， （4） 整理，得50y2-25y+3=0，（5） 解得y=0.2或y=0.3（6） 200+4000.2200+4000
6、.3，（7） y=0.2不合题意，舍去，（8） 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元。【解析】（1）根据每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，知每千克小型西瓜降价x元，则每天可多售出千克；（2）根据利润=总售价-总进价-固定成本，列方程求解。【例题3】【题干】）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间。据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出。每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（收益=租金-各种费用）（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，计算能租出多少间和年收益为多少？（2）设
7、每间商铺的年租金定为x万元，年收益为y万元，求y与x的函数关系？（3）为了使租户得到实惠，每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？【答案】解：（1）租出间数为：30-（130000-100000）5000=30-6=24间；收益为：（13-1）24-60.5=285万元；（2）y=（x-1）30-（x-10）0.5-（x-10）0.50.5，=-2x2+51x-40；（3）275=-2x2+51x-40，解得x1=10.5，x2=15使租户得到实惠，x=10.5【解析】（1）租出间数=30-增加了多少个5000元，年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的费用；（2）年收益
8、=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的费用；（3）把（2）得到的关系式中的函数值等于275计算即可。四、课堂运用【基础】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件商品降价x元。据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加( )件，每件商品盈利( )元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，故答案为2x；50-x；（2）由题意得：（5
9、0-x）（30+2x）=2100（4分）化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，解得：x1=15，x2=20（5分）该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选x=20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元解析：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；（2）等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可。【巩固】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销
10、售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？解：设售价为x元，根据题意列方程得（x-8）（200-10）=640，整理得：（x-8）（400-20x）=640，即x2-28x+192=0，解得x1=12，x2=16故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元。又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，故应将商品的售价定为16元。解析：设售价为x元，则有（x-进价）（每天售出的数量-10）=每天利润，解方程求解即可【拔高】维多利亚房产公司于2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司
11、需支出费用（维护费、管理费等）400元。2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出。（1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租出的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？答案：解：（1）设该公司至少需要租出x个车位才能使得其收益不低于2013年，由题意得：6800x-（180-x）4006000180，解得：
12、x160，答：该公司至少需要租出160个车位才能使得其收益不低于2013年；（2）设公司需要将租金在2013年基础上提高x百元，根据题意得：（6000+100x）（180-3x）-4003x=1038000，解得x1=10，x2=-14（舍去）则公司租金为6000+100x=6000+10010=7000（元）。答：公司需要将租金定为一年7000元，可获得103.8万元的收益。解析：（1）设该公司至少需要租出x个车位，则2014年的收益是6800x-（180-x）400，再根据其收益不低于2013年，列出不等式，求解即可；（2）根据设公司需要将租金在2013年基础上提高x百元，根据每提高100
13、元的租金，租出的车位将减少3个，共获得103.8万元的收益，列出方程，求出方程的解即可。五、课程小结列方程解应用问题的步骤：审题， 设未知数， 列方程， 解方程， 答列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件。方程的解必须进行实际题意的检验。【作业布置】【基础】1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商
14、场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？答案：解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元。根据题意得（45-x）（20+4x）=2100，解得x1=10，x2=30.因要尽快减少库存，故x=30.答：每件衬衫应降价30元。解析：商场平均每天盈利数=每件的盈利售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利-降价数。设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果。【巩固】2卧龙商场按市场价格10元/千克的价格从某地收购了2000千克香菇存放入冷库中。据预测，香菇市场价平均每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时平均每天有6千克的香菇变质损坏不能出售，而且香
15、菇在冷库中最多保存110天，同时，每天需要支出其他各种费用合计340元。（1）若将这批香菇储存10天后全部售出，根据题意，完成下列填空：香菇的销售单价为（ ）元，销售量为（ ）千克。这批香菇的收购成本为（ ）元，共支出其他各种费用（ ）元。预期利润为（ ）元。（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（2）若商场要获得22500元利润，应将这批香菇存放多少天后全部出售？答案：解：（1）香菇的销售单价为10+100.5=15元/千克，销售量为：2000-106=1940千克。收购成本=102000=20000元，共支出其他各种费用=34010=3400元；销售金额=销售量单价=194015=29100元，利润=29100-2000-3400=5700元；（2）存放x天后出售，由题意得：（10+0.5x）（2000-6x）-102000-340x=22500，整理得：-3x2+9
