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1、数 学 名 人欧几里得和射影定理 1二、欧几里得和射影定理1、欧几里得欧几里得（公元前 325 年 公元前 265 年） ，古希腊数学家，被称为“几何之父” 。他活跃于托勒密一世（公元前 323 年公元前 283 年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园” 。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视
2、，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。 “柏拉图学园”是柏拉图 40 岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。 欧几里得有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿
3、也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧训练，就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一数 学 名 人欧几里得和射影定理 2位有“温和仁慈的蔼然长者 ”之称的教育家。在著书育人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学园”门口的
4、那块警示牌，牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前 300 年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的几何原本一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系
5、统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域 欧几里得几何学，简称欧氏几何。 2、个人轶事在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约 410485）的几何学发展概要中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反)，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学的很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑到：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普
6、通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。又有则故事。那时候，人们建造了高大的金字塔，可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说：“要想测量金字塔的高度，比登天还难！”这话传到欧几里得耳朵里。他笑着告诉别人：“这有什么难的呢？当你的影子跟你的身体一样长的时候，你去量一下金字塔的影子有多长，那长度便等于金字塔的高度！”来拜欧几里得为师，学习几何的人，越来越多。有的数 学 名 人欧几里得和射影定理 3人是来凑热闹的，看到别人学几何，他也学几何。斯托贝乌斯（约 500）记述了另一则故事,一位学生曾这样问欧几里得：“老师，学习几何会使我得到什么好
7、处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点钱给这位学生。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。3、几何原本古希腊数学家欧几里得是与他的巨著 原本一起名垂千古的。在原本里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，并把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系 几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，几何原本一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过几何原本
8、，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。1582 年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了 15 卷本的原本。1600 年，明代数学家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往。1607 年，他们把该书的前 6 卷平面几何部分合译成中文，并改名为几何原本。后 9 卷是 1857 年由中国清代数学家 李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚力译完的。几何原本共有 13 卷，5 条“公理” 、5 条“公设” 、23个定义和 467 个命题。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。欧几里得使用了公理化的方法。公理就是确定的、不需证明的基本
9、命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。几何原本第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质。第一篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线，初等作图法，Pythagoras 定理，等价形（有等面积的图形）和平行四数 学 名 人欧几里得和射影定理 4边形。第二篇中的突出内容是关于几何代数法的贡献。第三篇含 37 个命题，开头给出有关圆的一些几何定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角。第四篇在它的 16 个命题里论述了圆的内接和外切图形，如三
10、角形、正方形、正五边形和正六边形。最后的命题讲怎样在一给定圆内做正 15 边形。第五篇讲述比例论，第六篇是相似形。第七、八、九篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。辗转相除法又名欧几里得算法乃求两个正整数之最大公因子的算法。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。第十篇是不可公度量的分类，第十一、十二、十三篇则是立体几何及穷竭法。几何原本是古希腊数学发展的顶峰。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 4、射影定理射影定理，又称“欧几里德定理”，由古希腊著名数学家、几何原本作者欧几里得提出。射影定理（right triangle altitude theorem）是指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。例 1、如图 2-1，在 Rt ABC中，90ACB， D，AC=6，AD=3.6，求 BC。例 2、已知 CD 是 ABC的高， ,DECAFB，如图 3-1，求证： F数 学 名 人欧几里得和射影定理 55、作业：利用相似三角形和勾股定理两种方法来证明射影定理。
