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1、第17讲最优停时 17 1美式期权的行权时间 如果标的资产是不分红的股票 没有股利 美式买入期权永远都不会被提前行权买入期权的价值来自三部分期权的内在价值 S0 K 对应卖出期权的价格 P 0 行权价的时间价值 K 1 e rT 0 期权价格严格高于行权带来的支付 期权因而不应被提前行权标的股票会分红时 美式买入期权可能被提前行权美式卖出期权有可能被提前行权 2 17 2最优停时的计算思路赌局的设定 一个赌局一个盒子里放着20个红球和20个绿球参与者每次从这个盒子里摸出1个球来摸出红球赢1块钱摸出绿球输1块钱参与者可以随时选择停止赌局如果一直不停止 则赌局在所有40个球被摸出后结束问题参与者从
2、赌局中能获得的期望支付是多少 参与者是否应该参与这个赌局 如果参与赌局 应该在什么时候 什么状态 选择停止 3 17 2最优停时的计算思路逆向递推求解 定义值函数V R G 为盒中有R个红球 G个绿球的赌局带来的期望支付赌局带来的期望支付为V 20 20 逆向递推的起点盒中没有球 支付为0 V 0 0 0只剩一个红球 参与者肯定摸球 确定性地赢1块钱 V 1 0 1只剩一个绿球 参与者肯定不摸 获得0的支付 V 0 1 0逆向递推 如果盒中只剩一种颜色的球只剩红球 参与者肯定摸球 V R 0 1 V R 1 0 只剩绿球 参与者肯定不摸 V 0 G 0 4 17 2最优停时的计算思路逆向递推求
3、解 续 逆向递推 盒中既有红球 又有绿球 R 0且G 0 时 参与者如果摸球以R R G 的概率摸到红球 因而获得摸出这个红球带来的1块钱 并在未来的赌局中获得V R 1 G 的期望支付以G R G 的概率摸到绿球 因而损失摸出的这个绿球带来的损失1块钱 并在未来的赌局中获得V R G 1 的期望支付参与者有随时退出的权力 如果摸球带来的期望支付小于0 就不会再摸球了上式是动态规划 dynamicprogramming 中的贝尔曼方程 Bellmanequation 联系相邻期值函数的递推公式 把一个大问题拆分成了许多嵌套的小问题 5 17 2最优停时的计算思路数值算例 计算V 2 2 盒中还
4、剩2红球和2绿球时的期望支付V 20 20 2 296 赌局中退出期权的价值 6 17 3美式期权的定价参照物 欧式卖出期权 模型设定2期二叉树模型 有0 1 2三个时刻 0时刻的股价为100元两个时期内 股价都有翻倍和减半两种可能每时期的无风险资产总回报都为er 1 252时刻到期 行权价为100元的欧式和美式卖出期权的0时刻价格风险中性概率为q 0 5 1 25 0 5 2 0 5 7 17 3美式期权的定价美式卖出期权价格 2时刻到期 行权价为100元的美式卖出期权的0时刻价格风险中性概率为q 0 5 1 25 0 5 2 0 5 美式卖出期权只可能在股价下跌到50元时提前行权所以 8
5、17 4按揭贷款定价按揭贷款简介 按揭贷款 mortgageloan 购房抵押贷款 购房者将所购房屋的产权抵押给银行 向银行借入房款支付给卖房者首付 downpayment 购房款中购房者自己支付的部分按揭贷款还款方式等额本金还款法 购房者在贷款期限内每月还相同比例的本金随着时间推移 月本息还款额逐月下降 每月相同的本金偿付额再加上逐步下降的利息支付额 等额本息还款法 购房者每月向银行的还款数额 本金和利息的支付之和 都一样随着时间推移 未还清本金越来越少 所需支付的利息也越来越少 每月本息偿付中的本金支付就越来越多 本金在一开始还得比较慢 而后还得越来越快购房者有提前偿还按揭贷款的权利 按揭
6、贷款中存在的期权给按揭贷款定价带来困难购房者有在按揭贷款存续期内出售房屋的可能如果按揭贷款不能提前还款 购房者很可能一开始就不会借贷款 因为预期在很长时间内都无法出售房屋 9 17 4按揭贷款定价按揭贷款的二叉树定价 模型设定和符号 模型设定在风险中性世界中 每期市场利率 无风险利率 rt有q的概率变成原来的u倍 有1 q的概率变成原来的d倍 u d 贷款利率在贷款整个存续期都固定在 r 不随市场利率rt的变化而变化借款人只从利率的角度来决定是否提前还款假设借款人如果要提前还款 就必须一次性把剩余的本金全部还清符号Bt 每时刻本息偿付之后 剩余的未偿付贷款本金Bt 1 Bt 每时刻按贷款合同规
7、定需要偿付的本金数额 等于上一时刻的剩余未偿付本金减去这一时刻的剩余未偿付本金 rBt 1 每时刻借款人的利息支付 rBt 1 Bt 1 Bt 每时刻的本息总支付 10 17 4按揭贷款定价按揭贷款的二叉树定价 递推式 定义在二叉树每个节点完成规定的本息支付后 剩余贷款的价值为Vs 还款人未来需要偿付的所有款项的现值和下标s标明了计算值函数的节点s对应的两个后续节点记为su和sd 分别对应市场利率上升和下降的情形如果不存在提前还款的选择 则借款人在s这个节点偿付了当前时刻应付本息后 剩余贷款的现值 在s节点处的现值 存在提前还款可能时的值函数 11 17 4按揭贷款定价按揭贷款的二叉树定价 数
8、值算例 条件设定风险中性世界中 每一期市场利率 也是无风险利率 有1 2的概率变为原来的2倍 有1 2的概率变为原来的1 20时刻 市场利率为4 按揭贷款总额为100 在1时刻和2时刻分别偿还500时刻是贷款的发放日 借款人不偿还本金和利息按揭贷款的利率为5 不随市场利率的变化而变化 12 17 4按揭贷款定价按揭贷款的二叉树定价 数值算例 续1 2时刻支付了规定的本息后 贷款的剩余价值为0不能提前还款时的贷款价值 V 来代表不能提前还款时的值函数 13 17 4按揭贷款定价按揭贷款的二叉树定价 数值算例 续2 可以提前还款时的贷款价值提前还款的权利降低了贷款的价值 14 17 4按揭贷款定价
9、两点评论 按揭贷款定价技术与次贷危机按揭贷款的定价技术推动了按揭贷款抵押证券 MBS 市场的发展 给了银行发放按揭贷款的更强动力刺激按揭贷款质量的恶化最终引发了次贷危机不可因为次贷危机的爆发就否定金融理论的发展 但也需要对金融技术中蕴含的风险保持警惕不同的借款人对利率变化的敏感性不同某时刻市场利率大幅下降 令银行按揭贷款的借款人有一半选择提前还款后来市场利率又回到了原先的水平 但银行的按揭贷款本金规模还是收缩到了以前的一半当市场利率下降引发借款人提前还款时 那些对利率敏感的人会更多地还款剩下的没有提前还款的借款人中 对利率不敏感的人的占比会比之前更高由于剩余借款人动用提前还款期权的可能性更低一些 所以对银行而言 贷款的价值会高于之前价值的一半 15
