高数上基础练习题解析

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1、2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 1 24 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 第一章 极限与连续 1 4 0 11 44 000 11 44 000 2sin 1lim 1 1 2sin2sin limlimlim0 1 11 2sin2si limlimlim 11 x x x xx xxx xx xx xxx xx ex x e exex I xx ee exe I x ee 右 左 求答案 解 按课上所讲 容易看出需要分左右极限处理 n 2 11 1 x x I 2 1 2 1111 ln cos1 4 2lim 1 sin 2 sin1 ln cos1cos

2、1sin1cos1 224 limlimlimlim 1 sincoscossin 222222 x xxxx x x x xxxx I xxxx 求答案 解 4 0 2 422 000 32 2222 0000 1 cosln 1tan 1 3lim sin4 1 ln 1tan ln 1tantantanln 1tan11 2 limlimlim 22 11 tan tanln 1tan1tan111 32 limlimlimlim 2222 x xxx xxxx xxx x xxx xxxxxx I xxx xx xxxx xxxx 求答案 解 1 4 另外 对也可以直接使用洛必达法则

3、1 0 1ln2 2 000 12 4lim 2 2 1 1 1221ln21 lim1limlimln2 2 2222 x x x A xx xxx Ie x AIe xxx 求答案 解 这是型 直接有 其中所以 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 2 24 2 00 2 21 5lim sincos 1 21sin2cos1 limsincos1limlim 2cos2sin2 x x A xtt e xx Ie tt Axtt xxt Ie 求答案 解 这是型 直接有 其中 所以 2 2 0 22 222 22 00 ln 1 6lim2 55 1 0 20 1 2 22 1

4、 1 1 2 2 limlim2 15 10 2 1 22 x xx xaxbx A x A abB abC abD ab a xb xo x xxo xaxbx I xx ababA 设则 答案 解 故选 1 00 0 7 lim2 1 1 111 limlim 1 100 1 0 lim1 0 x x t t tt t t t a baxb exa bab x abt ea tIb e xttt x abt eta Ibebt e 已知实数满足求的值答案 解考虑倒带换则 带 则此时分子 否则上述极限为 故 此时上述极限为使用洛必达法则 有12 1 t bb 则 2 22 000 222 0

5、00 3 801arcsincos 4 1arcsincos1arcsincos1 limlimlim 1arcsincos 11arcsincos11 cos1arcsin1 limlimlim 222 xxx xxx xxkxxxxxk xxxxxxx I xkxkxxxx xxxxxx kxkxkx 已知当时 与等价 则答案 解 11 133 1 2 2244 k kkk 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 3 24 1 1 1 12211 11 11 11 1 34 2 2 3 lim 1 34 211 2 123 3434 01 2 1111 34 33 14 11 n

6、nnn n n nn nnnn nnnn nnnn nn n nn x xxnxx x xxxxxx xxxx xxxxn xxxx xx x xx 9 设 证明有极限 并求 解 由知于是 设 则故 单调增 有上界 1 limlim 3434321321 lim 1122 nn nn n nn n n xxA xA xAAx xA 所以存在 设 在两端取极限 舍负 故 3 33 000 3 11 sin 123 sin00 1 2 3 2 3 0 1 0 limlimlim0 sin 1 limlim sin xxx xx xx f xC x ABCD xx xxxx xf xx xx xx

7、xf x 10 函数的可去间断点的个数为答案 无穷多个 解 使的点 都是间断点 对于这些点使分子不为 故这些点显然是第二类间断点 对考查是可去间断点 对考查 2 1 01 32 lim1 0cos 1 x x x xx x 是可去间断点 同理可知也是可去间断点 选 C 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 4 24 第二章 导数与微分 2 2 0000 2 000 1 cos 0 1 0 0 1 cos 1 01 cos 2 0limlimlimlim0 0 0limlimlim0 xxxx xxx x x f xg xf xxDx x g xx ABCD x x f xfx x f

8、 xxx xx x f xfx g x fxg x xx 设其中是有界函数 则在处答案 极限不存在极限存在 但不连续连续 但不可导可导 解 0 D选 其中左导数最后极限为 利用了 无穷小与有界变量乘积仍是无穷小 110 2 1 0 111 1111 1100 1limlimlim0 11 1 xxt f xxfxaf xfba bD A f xxB f xxfa C f xxfbD f xxfab f xfaf xaff tf faafabD xxt xt 设对任意的 满足且其中为非零常数 则答案 在处不可导在处可导 且 在处可导 且在处可导 且 解选 这里第三个等号利用了的换元 0 12 1

9、2 00 1 cos 0 3 0 0 0 2 0lim0 111 0coscossin 11 limlimcossin x xx xx f xxf xxx x f xxfxf xfxxxx xxx fxxx xx 设其中 是使有意义的实数的导函数在处连续 则 的取值范围是答案 解的导函数在处连续 时 则根据 无穷 0 1 000 00 10 20 2 lim0 1 cos 01 0limlimlimcos 10 1 00 2lim0 00 lim0 x xxx xx fx x f xf x fx xxx f fxffxf 小乘有界变量仍为无穷小 此极限若存在 则即且此时 又根据 无穷小乘有界变

10、量仍为无穷小 此极限若存在 则即且此时 综述 当时 且达到的目的 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 5 24 2 0 2 02 1 4 8sin sin1cos coscos11 1118 1 t t tt t t ttt t t xted y yy x dxyt tet e ytdtdt yyy xedtedxe e 设由参数方程确定 则答案 解则 2 5 tan0 0 2 4 tan sec1 02 44 0 0020 2 y yy xyeyx xyexyyeyy yxyx 曲线在点处的切线方程是答案 解 由则故 所以在处的切线方程是即 2 2 00 2 000 sin 0

11、6 0 00 0 0 00 0 0 limlim0 0 sin 0 0limlimlimsin0 0 xx xxx xx x f xA xA a bf xxf axb x Abaf f xxf xx f xf xfbA x f xf x fx xxx f 设求常数的值 使在处可导 并求 答案是任意常数 解在处可导 则在处连续 即 而 且 2 000 0 limlimlim0 0 00 xxx f xfax axa xx Abaf 是任意常数 44 222222 7 sincos 2 cos 2 2 sincossincossincoscos2 cos22 cos 2 2 nnn n nn n

12、f xxxfxfxx f xxxxxxxx n fxxx 设则答案 解 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 6 24 第三章 微分中值定理与导数的应用 1 1 10 x f x x 证明在内单调增加 322 2 221 1yy xyyxyxyy xx 设由方程2确定 求的极值点 答案 是极小值点 3 4 44 a aa xy 将长为 的铁丝切成两段 一段围成正方形 一段围成圆形 问这两段铁丝各长多少时 正方形与圆形的面积之和最小 答案 圆的周长为正方形的周长为 2 3 4 5 1 6 3 2 yxx 曲线的拐点的坐标为答案 本题题目输入有误 应改为次方 2020 新东方在线高等数学

13、基础 上 练习解答 7 24 5 22 23 31 32 fxB Afxfx Bfxfx Cfxfx Dfxfx 设在内连续 其导函数的图形如图 则 答案 函数有 个极值点 曲线有 个拐点 函数有 个极值点 曲线有 个拐点 函数有 个极值点 曲线有 个拐点 函数有 个极值点 曲线有 个拐点 2 2 6 1 0123 xx yC x ABCD 曲线的渐近线条数为答案 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 8 24 3 2 4 7 1 234 x y x 设求 函数的增减区间及极值 函数图像的凹凸区间及拐点 渐近线 作出其图形 1 2 2 222 1 1 8 01 1 2ln 01 12

14、121 10 0 1 11 10 lnln 01 x x x x xeex x f xxxx x xxx fxf x xxxx f xfxxxxeex xx 证明 证明 取对数 令 则故在上单调减少 从而则即 2 2 9 01 ln1 xxxx 证明 当时 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 9 24 10 arctan0 10 13 kxxk kxk 求方程不同实根的个数 其中 为参数 答案 时 只有一个实根时 有且仅有 个实根 2 22 22 222 22 0 arctan00 arctan 0 arctan arctan 1 arctan 1 arctan 1122 0 1

15、11 00 0 lim1 lim xx x kxxkx x x f xf xx x x x x x fxg xx x x xxxx gxg x x xx g xgfxf xf xf x 另解 令由于是偶函数 只考虑即可 再令 故 从而则且 0101 100 0 100 0 xf xxf x kxx x kxx x 时 单减 时 单增 所以时 在和内各有一个实根 而也是原方程的根 故此时有三个实根 而时 在和内没有实根 而也是原方程的根 故此时有一个实根 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 10 24 11 0 0 00 22 13 1 0 tan0 22 f xf ffff 设在上

16、具有一阶连续导数 在内二阶可导 且 证明使 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 11 24 第四章 不定积分 2121 1 21 1 xx edxxeC 答案 2 ln 11 2 1ln 1 1111 ln 1lnln 1 1 1111 lnln 1lnln 1lnln 1 1 1 1ln 1 xx dxxC xx Idxx dxxdx xxxxx xxdxxxxxC xxxx xC x 求不定积分答案 解 111 cos11 3 ln sin22sin81 cos41 cos x dxC xxxx 求不定积分答案 2 22 4 tan1 tan xx exdxexC 求不定积分答案 2020 新东方在线高等数学基础 上 练习解答 12 24 2 2 2 22 arctanarctan11 5 arctanln 2211 xxx dxxC xxxx 求不定积分答案 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 arctanarctan 1 1 arctanarctanarctan arctan11 arctan 21 arctan11 arctan 21 arctan11 a