《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 几何概型课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 几何概型课件 理 苏教版（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 12 3几何概型 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 几何概型的概念设D是一个可度量的区域 例如 等 每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点 区域D内的每一点被取到的机会 随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的 这时 事件A发生的概率与d的测度 等 成正比 与d的形状和位置无关 我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型 2 几何概型的概率计算公式一般地 在几何区域D中随机地取一点 记事件 该点落在其内部一个区域d内 为事件A 则事件A发生的概率P A 知识梳理 线段 平面图形 立体图形 都一样 某个指定区域d 中的点 长度 面积 体积 3 几
2、何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有 2 等可能性 每个结果的发生具有 4 随机模拟方法 1 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验 以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 2 用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法 这个方法的基本步骤是 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数 并赋予每个随机数一定的意义 统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N 计算频率fn A 作为所求概率的近似值 无限多个 等可能性 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 2 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特
3、定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 3 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 4 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 5 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 考点自测 坐标小于1的区间为 0 1 长度为1 0 3 区间的长度为3 故所求概率为 1 教材改编 在线段 0 3 上任投一点 则此点坐标小于1的概率为 答案 解析 2 2015 山东改编 在区间 0 2 上随机地取一个数x 则事件 1 1 发生的概率为 答案 解析 3 如图 在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子 有180粒落到阴影部分 据此估计阴影部分的面积为 答案 解析 由
4、题意知 这是个几何概型问题 S正 1 S阴 0 18 0 18 4 2016 南通模拟 一个边长为cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔 一只小虫在木板的一个面内随机地爬行 则小虫 答案 解析 恰在离四个顶点的距离都大于2cm的区域内的概率等于 如图所示 分别以正方形的四个顶点为圆心 2cm为半径作圆 与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形 当小虫落在图中的黑色区域时 它离四个顶点的距离都大于2cm 其中黑色区域面积为S1 S正方形 4S扇形 S小圆 3 2 22 12 9 5 4 5 高考改编 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 则质点落在以A
5、B为直径的半圆内的概率是 答案 解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A 题型分类深度剖析 题型一与长度 角度有关的几何概型 例1 1 2016 全国甲卷改编 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为40秒 若一名行人来到该路口遇到红灯 则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 答案 解析 答案 解析 3 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解答 因为 B 60 C 45 所以 BAC 75 记事件N为 在 BAC内作射线AM交BC于点M 使BM 1 则可得 BAM BAD时事件N发生 引申探究1 本例
6、2 中 若将 cosx的值介于0到 改为 cosx的值介于0到 则概率如何 解答 2 本例 3 中 若将 在 BAC内作射线AM交BC于点M 改为 在线段BC上找一点M 求BM 1的概率 解答 求解与长度 角度有关的几何概型的方法求与长度 角度 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 角度 然后求解 要特别注意 长度型 与 角度型 的不同 解题的关键是构建事件的区域 长度或角度 思维升华 跟踪训练1 1 2016 全国乙卷改编 某公司的班车在7 00 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10
7、分钟的概率是 答案 解析 如图所示 画出时间轴 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中 而当他的到达时间落在线段AC或DB时 才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型得所求概率P 2 已知集合A x 1 x 5 B 在集合A中任取一 答案 解析 故A B x 2 x 3 由几何概型知 个元素x 则事件 x A B 的概率是 题型二与面积有关的几何概型 命题点1与平面图形面积有关的问题例2 2016 全国甲卷改编 从区间 0 1 随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机模拟的方法
8、得到的圆周率 的近似值为 答案 解析 由题意得 xi yi i 1 2 n 在如图所示方格中 命题点2与线性规划知识交汇命题的问题例3 2016 徐州模拟 由不等式组确定的平面区域记为 1 不等式组确定的平面区域记为 2 若在 1中随机取一点 则该点恰好在 2内的概率为 答案 解析 如图 平面区域 1就是三角形区域OAB 平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域OACD 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时 关键是弄清某事件对应的面积 必要时可根据题意构造两个变量 把变量看成点的坐标 找到全部试验结果构成的平面图形 以便求解 思维升华 跟踪训练2 1 2016 泰州模
9、拟 设不等式组所表示的平面区域为M x2 y2 1所表示的平面区域为N 现随机向区域M内抛一粒豆子 则豆子落在区域N内的概率为 答案 解析 画出两不等式组表示的平面区域 则图中阴影部分为两不等式组的公共部分 2 2015 福建 如图 矩形ABCD中 点A在x轴上 点B的坐标为 1 0 且点C与点D在函数f x 的图象上 若在矩形ABCD内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 答案 解析 由图形知C 1 2 D 2 2 题型三与体积有关的几何概型 例4 1 一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1 则称其为 安全飞行 由题意知小蜜蜂的
10、安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心 且棱长为1的小正方体内 这个小正方体的体积为1 大正方体的体积为27 故安全飞行的概率为P 答案 解析 则蜜蜂 安全飞行 的概率为 2 已知正三棱锥S ABC的底面边长为4 高为3 在正三棱锥内任取一点P 使得VP ABC VS ABC的概率是 当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求 由几何概型知 答案 解析 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题 关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件空间 对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求 思维升华 跟踪训练3在体积为V的三棱锥S ABC的
11、棱AB上任取一点P 则三棱锥S APC的体积大于的概率是 答案 解析 典例 1 在等腰Rt ABC中 C 90 在直角边BC上任取一点M 则 CAM 30 的概率是 2 在长为1的线段上任取两点 则这两点之间的距离小于的概率为 几何概型中的 测度 现场纠错系列14 错解展示 现场纠错 纠错心得 1 在线段上取点 则点在线段上等可能出现 在角内作射线 则射线在角内的分布等可能 2 两个变量在某个范围内取值 对应的 测度 是面积 解析 1 C 90 CAM 30 返回 2 设任取两点所表示的数分别为x y 则0 x 1 且0 y 1 返回 课时作业 1 2016 南通模拟 在面积为1的正方形ABC
12、D内部随机取一点P 则 PAB的面积大于等于的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知P是 ABC所在平面内一点 0 现将一粒黄豆随机撒在 ABC内 则黄豆落在 PBC内的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以PB PC为邻边作平行四边形PBDC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知一只蚂蚁在边长分别为5 12 13的三角形的边上随机爬行 则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为 答案 解析 由题意可知 三
13、角形的三条边长的和为5 12 13 30 而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行 则它爬行的区域长度为3 10 11 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 南京质检 在区间 1 4 内取一个数x 则的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知 ABC中 ABC 60 AB 2 BC 6 在BC上任取一点D 则使 ABD为钝角三角形的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 当BE 1时 AEB为直角 则点D在线段BE 不包含B E点 上时 ABD为钝角三角形
14、 当BF 4时 BAF为直角 则点D在线段CF 不包含C F点 上时 ABD为钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 常州模拟 在区间 内随机取两个数分别记为a b 则使得函数f x x2 2ax b2 有零点的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 建立如图所示的平面直角坐标系 则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部 要使函数f x x2 2ax b2 有零点 则必须有 4a2 4b2 4 0 即a2 b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 有一个底面圆的半径为1 高
15、为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 在区间 1 5 和 2 4 上分别各取一个数 记为m和n 则方程 1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 由题意知 在矩形ABCD内任取一点Q m n 点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率 易知直线m n恰好将矩形平分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 随机地向半圆0 y a为正常数 内掷一点 点落在圆内任何区域的概率与
16、区域的面积成正比 则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 半圆区域如图所示 设A表示事件 原点与该点的连线与x轴的夹角小于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 随机向边长为5 5 6的三角形中投一点P 则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意作图 如图 三个小扇形可合并成一个半圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次时第一次 第二次出现的点数 求满足a b 1的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次 所包含的基本事件总数为6 6 36 由a b 1得 2x y 1 所以满足a b 1的基本事件为 1 1 2 3 3 5 共3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
