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1、 理科数学 A 参考答案 第 1 页 共 8 页 20 LK YG1 秘密 考试结束前 考试时间 2020 年 1 月 2 日 15 00 17 00 全国大联考 2020 届 1 月联考 理科数学 A 参考答案 一 选择题 每题 5 分 满分 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B A B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C A 二 填空题 每题 5 分 满分 20 分 13 16 14 10 15 2 26nn 16 13 0 16 三 解答题 满分 70 分 17 本题满分 12 分 1 记 1 A表示事件 日销量量不低于100个 2 A表
2、示事件 日销售量低于50个 B表示事件 未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个 1 分 因此结合日销售量的频率分布直方图得 1 0 0060 0040 002 p A 500 6 2 分 2 0 003 500 15p A 0 6 0 6 0 15 20 108p B 2 分 2 X的可能取值为0 1 2 3 1 分 相应的概率为 03 03 1 0 6 0 064p XC 12 13 0 6 1 0 6 0 288p XC 221 23 0 6 1 0 6 0 432p XC 33 33 0 60 216p XC 3 分 每算错一个扣一分 最低 0
3、分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0 064 0 288 0 432 0 216 因为 3 0 6 所以随机变量X的期望 3 0 61 8E X 2 分 其中分布列 1 分 数 学期望 1 分 方差 3 0 6 1 0 6 0 72D X 1 分 18 本题满分 12 分 理科数学 A 参考答案 第 2 页 共 8 页 20 LK YG1 解 1 由32 sinacA 及正弦定理得 2sinsin sin3 aAA cC 2 分 sin0A 1 分 3 sin 2 C 1 分 ABC 是锐角三角形 1 分 3 C 1 分 2 解法 1 7c 3 C 由面积公式得 13 3 sin
4、232 ab 即6ab 1 分 由余弦定理得 22 2cos7 3 abab 即 22 7abab 2 分 由 变形得 2 37abab 1 分 将 代入 得 2 25ab 故5ab 2 分 解法 2 前同解法 1 联立 得 22 7 6 abab ab 22 13 6 ab ab 2 分 消去b并整理得 42 13360aa 2 分 解得 2 4a 或 2 9a 所以 2 3 a b 或 3 2 a b 1 分 故5ab 1 分 19 本题满分 12 分 解析 1 6 分 如图 取BD中点O 连接AO CO 由侧视图及俯视图知 ABD BCD 为正三角形 因此AOBD OCBD 因为 AO
5、OC 平面AOC 且AOOCO I 所以BD 平面AOC 又因为AC 平面AOC 所以BDAC 取BO的中点H 连接NH PH 又M N分别为线段AD AB的中点 所以 NHAO MNBD 因为AOBD 所以NHBD 因为MNNP 所以NPBD 因为 NH NP 平面NHP 且NHNPN I 所以BD 平面NHP 又因为HP 平面NHP 所以BDHP 又OCBD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以 HPOC 理科数学 A 参考答案 第 3 页 共 8 页 20 LK YG1 因为H为BO中点 故P为BC中点 2 6 分 解法一 如图 作NQAC 于Q 连接MQ 由 1 知 NPAC 所以
6、NQNP 因为MNNP 所以MNQ 为二面角ANPM 的一个平面角 由 1 知 ABD BCD 为边长为 2 的正三角形 所以 3AOOC 由俯视图可知 AO 平面BCD 因为OC 平面BCD 所以AOOC 因此在等腰Rt AOC 中 6AC 作BRAC 于R 在ABC 中 ABBC 所以 22 2 AC BRAB 10 2 因为在平面ABC内 NQAC BRAC 所以 NQBR 又因为N为AB的中点 所以Q为AR的中点 因此 10 24 BR NQ 同理 可得 10 4 MQ 所以在等腰MNQ 中 2 cos MN MNQ NQ 10 4 5 BD NQ 故二面角ANPM 的余弦值是 10
7、5 解法二 由俯视图及 1 可知 AO 平面BCD 因为 OC OB 平面BCD 所以AOOC AOOB 又OCOB 所以直线OA OB OC两两垂直 如图 以O为坐标原点 以 的方向为x轴 y 轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系Oxyz 则 0 0 3 A 1 0 0 B 0 3 0 C 1 0 0 D 因为M N分别为线段AD AB的中点 理科数学 A 参考答案 第 4 页 共 8 页 20 LK YG1 又由 1 知 P为线段BC的中点 所以 13 0 22 M 13 0 22 N 13 0 22 P 于是 1 0 3 1 3 0 1 0 0 0 3 2 3 2 设平面ABC的一个法向
8、量 1 1 1 1 则 1 1 即 1 0 1 0 有 111 111 1 0 3 0 1 3 0 0 x y z x y z 从而 11 11 30 30 xz xy 取 1 1z 则 1 3x 1 1y 所以 1 3 1 1 连接MP 设平面MNP的一个法向量 2 2 2 2 则 2 2 即 2 0 2 0 有 222 222 1 0 0 0 33 0 0 22 xyz xyz 从而 2 22 0 33 0 22 x yz 取 2 1z 所以 2 0 1 1 设二面角ANPM 的大小为 则cos n1 n2 n 1 n 2 3 1 1 0 1 1 5 2 10 5 故二面角ANPM 的余弦
9、值是 10 5 20 解 1 由题设知 222 abc c e a 由点 1 e在椭圆上 得 2 222 1 1 c aa b 解得 2 1b 于是 22 1ca 又点 3 2 e在椭圆上 所以 2 22 3 1 4 e ab 即 2 4 13 1 4 a a 解得 2 2a 因此 所求椭圆的方程是 2 2 1 2 x y 2 由 1 知 1 1 0 F 2 1 0 F 又直线 1 AF与 2 BF平行 所以可设直线 1 AF的方程为 1xmy 直线 2 BF的方程为1xmy 设 11 A x y 22 B x y 1 0y 2 0y 由 2 2 1 1 11 1 2 1 x y xmy 得
10、22 11 2 210mymy 解得 2 1 2 22 2 mm y m 理科数学 A 参考答案 第 5 页 共 8 页 20 LK YG1 故 22 111 1 AFxy 22 11 myy 22 2 2 1 1 2 mm m m 同理 22 2 2 2 1 1 2 mm m BF m i 由 得 2 12 2 21 2 m m AFBF m 6 2 解得 2 2m 因为0m 故2m 所以直线 1 AF的斜率为 12 2m ii 因为直线 1 AF与 2 BF平行 所以 2 11 BFPB PFAF 于是 121 11 PBPFBFAF PFAF 故 1 11 12 AF PFBF AFBF
11、 由点B在椭圆上知 12 2 2BFBF 从而 1 1 12 AF PF AFBF 2 2 2 BF 同理 2 2 12 BF PF AFBF 1 2 2 AF 因此 1 12 12 AF PFPF AFBF 2 2 12 2 2 BF BF AFBF 1 2 2 2 2AF 12 12 2AF BF AFBF 又由 知 2 12 2 2 2 1 2 m AFBF m 2 12 2 1 2 m AF BF m 所以 12 23 2 2 2 22 PFPF 因此 12 PFPF 是定值 21 解 因为 1 ln1 a f xxax x 所以 2 11 a fxa xx 2 2 1axxa x 0
12、 x 令 2 1h xaxxa 0 x 1 当0a 时 1h xx 0 x 所以 当 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 2 当0a 时 由 0fx 理科数学 A 参考答案 第 6 页 共 8 页 20 LK YG1 即 2 10axxa 解得 1 1x 2 1 1x a 当 1 2 a 时 12 xx 0h x 恒成立 此时 0fx 函数 f x在 0 上单调递减 当 1 0 2 a 时 1 110 a 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 1 1 x a 时 0h x 此时
13、0fx 函数 f x单调递增 1 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当0a 时 由于 1 10 a 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 综上所述 当0a 时 函数 f x在 0 1 上单调递减 函数 f x在 1 上单调递增 当 1 2 a 时 函数 f x在 0 上单调递减 当 1 0 2 a 时 函数 f x在 0 1 上单调递减 函数 f x在 1 1 1 a 上单调递增 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 因为 11 0 22 a 由 知 1 1x 2 3 0 2 x 当
14、 0 1 x 时 0fx 函数 f x单调递减 当 1 2 x 时 0fx 函数 f x单调递增 所以 f x在 0 2 上最小值为 1 1 2 f 由于 对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2 x 使 12 f xg x 等价于 g x在 1 2 上的最小值不 大于 f x在 0 2 上的最小值 1 2 又 22 4g xxbb 1 2 x 所以 理科数学 A 参考答案 第 7 页 共 8 页 20 LK YG1 当1b 时 因为 min 1 520g xgb 此时与 矛盾 当 1 2 b 时 因为 2 min 40g xb 同样与 矛盾 当 2 b 时 因为 min 2 84g xgb
15、解不等式 1 84 2 b 可得 17 8 b 综上 b的取值范围是 17 8 22 解 1 将 3 1 2 M及对应的参数 3 代入 cos sin xa yb 得 1cos 3 3 sin 23 a b 即 2 1 a b 所以曲线 1 C的方程为 2cos sin x y 为参数 或 2 2 1 4 x y 设圆 2 C的半径为R 由题意 圆 2 C的方程为2 cosR 或 222 xRyR 将点 1 3 D 代入2 cosR 得12 cos 3 R 即1R 或由 1 3 D 得 13 22 D 代入 222 xRyR 得1R 所以曲线 2 C的方程为2cos 或 22 1 1xy 2 因为点 1 A 2 2 B 在曲线 1 C上 所以 22 22 1 1 cos sin1 4 22 22 2 2 sin cos1 4 所以 22 12 11 2 2 cos sin 4 2 2 sin5 cos 44 23 解 1 由26xaa 得26xaa 626axaa 即33ax 32a 1a 2 由 1 知 211f xx 令 nf nfn 理科数学 A 参考答案 第 8 页 共 8 页 20 LK YG1 则 21212nnn 1 24 2 11 4 22 1 24 2 n n n n n n 的最小值为4 故实数m的取值范围是 4
