《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.2.3.1 直线与平面垂直课件 新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.2.3.1 直线与平面垂直课件 新人教B版必修2（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时直线与平面垂直 一 二 三 一 两条直线互相垂直 问题思考 1 在平面内 如果两条直线互相垂直 那么这两条直线一定相交吗 在空间中呢 提示 在平面内 如果两条直线互相垂直 则它们一定相交 而在空间中 两条直线互相垂直 则它们不一定相交 2 填空 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 并且交角为直角 则称这两条直线互相垂直 一 二 三 3 做一做 直线a与平面 内的两条直线垂直 则直线a与平面 的位置关系是 A 相交B 平行C 直线a在平面 内D 以上均有可能解析 借助于正方体模型 得直线a与平面 平行或相交或直线a在平面 内 故选D 答案 D 一 二 三 二 直线与平面垂直 问
2、题思考 1 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直 能说这条直线与这个平面垂直吗 这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的 提示 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直 这条直线与这个平面不一定垂直 此时该直线与这个平面可能平行 可能相交 也可能在平面内 2 填空 1 定义 如果一条直线和一个平面相交于点O 并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直 则称这条直线和这个平面互相垂直 这条直线叫做平面的垂线 这个平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 一 二 三 2 直线与平面垂直的画法 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 如图所示 3 直线与平面垂直的记法 直线l与平面 垂直 交点为P 可记为l
3、 垂足为P 一 二 三 三 直线与平面垂直的判定定理与推论 问题思考 1 填空 1 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 2 推论1 如果在两条平行直线中 有一条垂直于平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 2 垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何 一 二 三 提示 垂直于同一条直线的两个平面平行 已知 AA AA 求证 证明 如图所示 设经过直线AA 的两个平面 分别与平面 相交于直线b b 和a a 因为AA AA 所以AA a AA a AA a a 都在平面 内 由平面几何知识 在同一平面内
4、 垂直于同一直线的两条直线平行 所以a a 所以a 线面平行的判定定理 同理b 又因为a b A 所以 一 二 三 3 做一做 下列各种情况中 一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两条边 梯形的两条边 圆的两条直径 正六边形的两条边 不能保证该直线与平面垂直的是 A B C D 解析 因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交 而 中不能确定两条边是否相交 故不能保证该直线与平面垂直 故选C 答案 C 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 若直线l垂直于平面 内任意直线 则有l 2 若直线l垂直于 内的一个凸五边形的两条边 则有l 3 垂直于同一
5、条直线的两条直线平行 4 垂直于同一条直线的两条直线垂直 5 垂直于同一个平面的两条直线平行 6 垂直于同一条直线的直线和平面平行 答案 1 2 3 4 5 6 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 线面垂直的判定 例1 如图所示 直角 ABC所在平面外有一点S 且SA SB SC 点D为斜边AC的中点 1 求证 SD 平面ABC 2 若AB BC 求证 BD 平面SAC 思路分析 由于D是AC的中点 SA SC 则SD是 SAC的高 连接BD 可证 SDB SDA 由于AB BC 所以Rt ABC是等腰直角三角形 则BD AC 利用线面垂直的判定定理即可得证 探究一 探究二 探究三 探究
6、四 思维辨析 证明 1 因为SA SC D为AC的中点 所以SD AC 在Rt ABC中 连接BD 则AD DC BD 又因为SB SA SD SD 所以 ADS BDS 所以SD BD 又AC BD D 所以SD 平面ABC 2 因为BA BC D为AC的中点 所以BD AC 又由 1 知SD BD AC SD D 所以BD 平面SAC 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤 1 在这个平面内找两条直线 使它们和这条直线垂直 2 确定这个平面内的两条直线是相交的直线 3 根据判定定理得出结论 2 利用直线与平面垂直的判定定
7、理判定直线与平面垂直的技巧 证明线面垂直时要注意分析几何图形 寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系 进而证明线面垂直 三角形全等 等腰三角形 菱形 正方形的对角线 三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 DD1 2 点P为DD1的中点 求证 直线PB1 平面PAC 证明 连接B1C 由题知PC2 2 3 B1C2 5 所以 PB1C是直角三角形 所以PB1 PC 同理可得PB1 PA 因为PC PA P 所以直线PB1 平面PAC 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 线
8、面垂直的判定定理与推论的综合应用 例2 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB上一点 N是A1C的中点 MN 平面A1DC 求证 MN AD1 证明 因为ADD1A1为正方形 所以AD1 A1D 又因为CD 平面ADD1A1 所以CD AD1 因为A1D CD D 所以AD1 平面A1DC 又因为MN 平面A1DC 所以MN AD1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 平面内证明线线平行的四种方法 1 两条直线被第三条直线所截 若同位角相等 或内错角相等或同旁内角互补 则两直线平行 2 三角形中位线 梯形中位线的性质 3 平行四边形对边平行的性质 4 平行线
9、分线段成比例定理 2 空间中证明线线平行的四种方法 1 基本性质4 平行于同一条直线的两条直线平行 2 线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 3 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 4 线面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 平行关系与垂直关系的综合 例3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB上一点 N是A1C的中点 MN 平面A1DC 求证 MN AD1 思路分析 先证出AD1 平面A1DC 再
10、利用线面垂直的性质易知MN AD1 证明 因为ADD1A1为正方形 所以AD1 A1D 又因为CD 平面ADD1A1 所以CD AD1 因为A1D CD D 所以AD1 平面A1DC 又因为MN 平面A1DC 所以MN AD1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 例3中把条件 MN 平面A1DC 改为 M是AB中点 求证 MN 平面A1DC 证明 连接BD1 AD1 则依题意可知N BD1 且在 BD1A中 N为D1B的中点 M为AB的中点 MN AD1 由上例题3的结论 AD1 平面A1DC MN 平面
11、A1DC 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 距离问题 例4 如图所示 已知P为 ABC外一点 PA PB PC两两垂直 PA PB PC a 求点P到平面ABC的距离 思路分析 作出点到平面的垂线 进一步求出垂线段的长 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 证明 过P作PO 平面ABC于点O 连接AO BO CO 所以PO OA PO OB PO OC 因为PA PB PC a 所以 PAO PBO PCO 所以OA OB OC 所以O为 ABC的外心 因为PA PB PC两两垂直 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟求点到平面距离的基本步骤是 1 找到或作出要求的距
12、离 2 使所求距离在某一个三角形中 3 在三角形中根据三角形的边角关系求出距离 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2在矩形ABCD中 AB 3 BC 4 PA 平面ABCD 且PA 1 取对角线BD上一点E 连接PE PE DE 则PE的长为 解析 如图所示 连接AE 因为PA 平面ABCD BD 平面ABCD 所以PA BD 又因为BD PE PA PE P 所以BD 平面PAE 所以BD AE 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 忘记分类讨论而致误 典例 已知 线段AB的中点为O O 平面 求证 A B两点到平面 的距离相等 错解如图所示 过点A B作平面 的垂线 垂
13、足分别为A1 B1 则AA1 BB1分别是点A 点B到平面 的距离 在Rt AA1O和Rt BB1O中 AO BO B1OB A1OA 所以Rt AOA1 Rt BOB1 所以AA1 BB1 即A B两点到平面 的距离相等 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错误的原因有两种 一是忽略了AB 的情况 二是认为 AOA1和 BOB1为对顶角而相等 其实应说明B1 O A1三点共线才行 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 1 当线段AB 平面 时 显然A B到平面 的距离均为0 相等 2 当AB 平面 时
14、 如图 分别过点A B作平面 的垂线 垂足分别为A1 B1 则AA1 BB1分别是点A 点B到平面 的距离 且AA1 BB1 所以AA1与BB1确定一个平面 设为 则 A1B1 因为O AB AB 所以O 又因为O 所以O A1B1 所以 AOA1 BOB1 又AA1 A1O BB1 B1O AO BO 所以Rt AA1O Rt BB1O 所以AA1 BB1 即A B两点到平面 的距离相等 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 防范措施为了避免以上错误 要注意 1 不要将平面几何中的思维模式照搬至立体几何中 2 没有图示参考的证明类问题 自己作图时一定要考虑全面 既要照顾一般情形 还不要忘
15、记特殊情形 1 2 3 4 5 1 有下列命题 平行于同一平面的两直线平行 垂直于同一平面的两直线平行 平行于同一直线的两平面平行 垂直于同一直线的两平面平行 其中正确的有 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 A 1 2 3 4 5 2 如图所示 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的个数是 BD 平面CB1D1 AC1 BD AC1 平面CB1D1 A 0B 1C 2D 3答案 A 1 2 3 4 5 3 如图所示 AB是 O的直径 PA 平面 O C为圆周上一点 AB 5cm AC 2cm 则B到平面PAC的距离为 1 2 3 4 5 解析 连接BC 因为C为圆周上的一点 A
16、B为直径 所以BC AC 又因为PA 平面 O BC 平面 O 所以PA BC 又因为PA AC A 所以BC 平面PAC C为垂足 所以BC即为B到平面PAC的距离 在Rt ABC中 1 2 3 4 5 4 如图所示 l PA PB 垂足分别为A B a a AB 求证 a l 证明 因为PA l 所以PA l 同理PB l 因为PA PB P 所以l 平面PAB 因为PA a 所以PA a 因为a AB PA AB A 所以a 平面PAB 所以a l 1 2 3 4 5 5 如图 在三棱锥A BCD中 BC AC AD BD 作BE CD E为垂足 作AH BE于点H 求证 AH 平面BCD 1 2 3 4 5 证明 如图 取AB的中点F 连接CF DF 因为AC BC 所以CF AB 因为AD BD 所以DF AB 又CF DF F 所以AB 平面CDF 因为CD 平面CDF 所以CD AB 又CD BE BE AB B 所以CD 平面ABE 又AH 平面ABE CD AH 因为AH CD AH BE CD BE E 所以AH 平面BCD
