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1、5.与向量有关的压轴小题BC1.(2017 届山西临汾一中等五校联考)如图，在 ABC 中，AD AB， 3BD ，|AD的值为 ()A.1B.2C.3D.4答案C| 1，则 ACAD解析方法一AD AC |AD| |AC|cos CAD ，AD | | 1， AD AC |AC|cos CAD ， BAC DAC ，2 cosCAD sin BAC，AD AC |AC|sin BAC，在 ABC 中，由正弦定理得ACBC，变形得ACsin BAC BCsin B，sin BADsin BAC AD AC |AC|sin BAC BCBD3，故选 C.ADAD 3ADAD 方法二ADAC AD
2、 ( BC BA ) ADBCBA3BD(BA) 3AD BA 3.3ADAD2.(2017 届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知 ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O，且OA3 4OB 5OC 0，则 OCAB的值为 ()A. 85B.75C.15D.45答案C解析 3OA 4OB 5OC 0， 4OB5OC 3OA， 2 2 2 16OB 40OBOC 25OC 9OA ，又 |OA| |OB| |OC| 1，143 OBOC ，同理可求 OAOC ，.55OA4 31 OC AB OC(OB故选 C.) 55 5 9，sin B cos Asin C， S 6， P3.(2017浙江温州
3、中学月考)在 ABC 中，已知 ABAC ABCCACB为线段 AB 上的点，且 CP x y，则 xy 的最大值为 ()|CA|CB|A.1B.2C.3D.4答案C解析由题设 sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C sin Ccos A， 即 sin Acos C 0，也即 cos C 0， C 90，又 bccos A 9，故 b2 9，即 b 3.12ab6，故 a 4， c 5，故建立如图所示直角坐标系xOy，则 A(3，0)， B(0， 4)，则由题设可知P(x， y)，直线 AB 的方程为 x y1 且 x0， y 0， xy 1 234xy，即
4、xy 3，当且仅当x3， y2 时 “ ” 成立，故选C.34122OA4.(2017运城期中 )已知点O 是 ABC 内部一点，且满足2 3OB 4OC 0，则 AOB， BOC， AOC 的面积之比依次为()A.4 2 3B.2 3 4C.4 3 2D.3 45答案A解析如图所示，延长OA， OB， OC，使 OD 2OA，OE 3OB， OF 4OC， 2OA3OB 4OC 0，2 OD OE OF 0，即 O 是 DEF 的重心，故 DOE ， EOF， DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则 AOB 的面积为 1 BOC 的面积为 1 ， AOC 的面积为 1，故，6128
5、AOB， BOC， AOC 的面积之比依次为1 1 14 2 3.6128故选 A.5.若 a， b， c 均为单位向量，且ab 0，则 |a b c|的最小值为 ()A.2 1B.1C.2 1D.2答案A解析 ab 0，且 |a| |b| |c| 1， |ab|2，又 (ab) c |a b|c|cos a b， c2cos a b， c， |ab c|2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3 2(a b) c 322cosa b， c， 当 cos ( a b， c) 1 时，22|a b c|min 322 (2 1) ， |ab c|的最小值为2 1.36.已知向量m (sin
6、 2 x，1)，n cos 2x， 2 ， f(x) (m n) m，则函数f(x)的最小正周期与最大值分别为()A. ， 322B. ， 3C.， 7D. ， 322222答案B5解析 m n sin 2x cos 2x， 2 ，则 f(x)( m n) m sin 2x(sin 2x cos 2x) 5 sin22x 1 5 122sin 4x 22 2(cos 4xsin 4x) 32 sin 4x 4 3， f(x) 的最小正周期T2 ，最大值为3 422，故选 B.24 3 2 ，则7.(2017湖北部分重点中学联考)已知P 是 ABC 所在平面内一点，若APBCBA 3 PBC 与
7、 ABC 的面积的比为 ()1123A. 3B. 2C.3D. 4答案A3解析在线段 AB 上取 D 使 AD 2 2 ，过 A 作直线 l 使 l BC，在 l 上取点AB ，则 ADBA33 3 ，过 D 作 l 的平行线，过E 作 AB 的平行线，设交点为P，则由平行四边形法E 使 AEBC 4AP则可得 3 2 ，4BC3BA设 PBC 的高为 h， ABC 的高为 k，由三角形相似可得h k 1 3， PBC 与 ABC 有公共的底边BC， PBC 与 ABC 的面积的比为 1，故选 A.38.(2017 届福建福州外国语学校期中)已知向量a， b 满足 |a|22|b| 0，且关于
8、x 的函数 f (x) 2x3 3|a|x26abx 7 在实数集R 上单调递增，则向量a， b 的夹角的取值范围是() A. 0， 6B. 0，3C. 0， 4D. 6，4答案Ccos a， b，解析求导可得f (x) 6x2 6|a|x 6ab，则由函数f (x) 2x3 3|a|x2 6abx 7 在实数集R 上单调递增，可得f (x)6x2 6|a|x 6ab 0 恒成立，即x2 |a|x ab 0 恒成立， 故判别式 a2 4ab 0 恒成立，再由|a| 22|b| 0，可得 8|b|282|b|2 cosa， b 2，2又 a， b 0 ， a， b 0， 4 .x2 0，9.(2
9、017湖南长沙长郡中学)已知点 M(1 ，0) ，A，B 是椭圆 y2 1 上的动点， 且 MA MB4则 MA BA的取值范围是()2A.， 1B.1 ， 9C.32， 9D.6， 333答案C (x1，y (x 1，y (x x ，y y解析设 A(x1，y1)，B(x 2，y2)，则 MA11)，MB22)，BA1212)，由题意有 MA MB ( x1 1)(x2 1) y1y2 0，所以 MA BA (x1 1)( x1 x2)y1(y1 y2)111211y2 (x 1)x (x 1) x y2 y x2 x y2 ( x 1)( x 1) y (x 1)111121y21 x2
10、x 112 x 1 32 2x 2114x114x114 34 2 24 x1 3， x1 2， 2. 3所以当 x 2 时， MA BA有最大值9，2当 x4时， MA BA有最小值 3，故选 C.322xy10.设双曲线22 1(a0， b 0)的右焦点为F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线l 交两渐近线ab于 A， B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设 O 为坐标原点，若OP OAOB(， R)， 1，则该双曲线的离心率为() 832A.2B.2C.233D.2答案D解析双曲线的渐近线为ybbc ，Bbc ，P2b，因为ax，焦点 F(c，0)，则 A c， ac， ac， a2bc OA OB，所以c， b c， ，所以 1， b，OP
