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1、上学年期中卷高二数学（理）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】直线的斜率为设倾斜角为 所以= 故选C 2. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方程x2+y2-2x+2y+a=0表示圆，22+22-4a04a8a2，故选C3. 椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】椭圆, 故选B4. 直线过点且与直线平行，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设
2、与直线x-2y+4=0平行的直线l为x-2y+m=0，又直线l过点（1，0），1-0+m=0，解得m=-1l的方程是x-2y-1=0故选A5. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含【答案】C【解析】把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2-2x-6y+1=0分别化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x-1）2+（y-3）2=9，故圆心坐标分别为（-2，-1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，圆心之间的距离d=，则两圆的位置关系是相外切故选C6. 直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D
3、. 垂直【答案】D【解析】设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，直线l1、l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根，k1k2=-1l1l2故选：D7. 直线被圆截得的弦长等于（ ）A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B【解析】圆x2+y2+4x-4y+6=0化为标准方程（x+2）2+（y-2）2=2，圆心坐标为（-2，2），半径为，（-2，2）满足方程x-y+4=0，圆心在直线x-y+4=0上，直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于直径，即为故选B8. 方程（）的曲线形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方程x2+y2=1（xy0）表示以原点为
4、圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，故选C9. 设斜率为2的直线过抛物线（）的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线y2=ax（a0）的焦点F坐标为则直线l的方程为y2(x，它与y轴的交点为A(0，所以OAF的面积为，所以抛物线方程为y2=8x，故选B10. 过圆上一点作切线与轴，轴的正半轴交于两点，则的最小值为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】试题分析：设,则,且,即,由题设,即,又,故,故应选答案C.考点：直线与圆相切及基本不等式的运用.11. 若曲线表示双曲线，则的取值范围是（ ）A.
5、B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，若曲线表示双曲线，则有（k+4）（k-1）0，解可得-4k1；即k的取值范围是（-4，1）；故选C点睛：本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线的标准方程的形式12. 直线与直线（）相互垂直，当成等差数列时，直线与轴围成的三角形的面积（ ）A. B. C. D. 【答案】A.故选A点睛：本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、等差数列的性质、三角形面积计算公式，注意计算的准确性，属于中档题点睛：第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 圆，圆的公共弦方程是_【答案】【解析】圆C1：x2+y2-2x-3=0
6、，圆C2：x2+y2-4x+2y+3=0两圆方程相减，得2x-2y-6=0，化简得x-y-3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程联立 或 两圆的交点坐标分别为A（1，-2），B（3，0）因此，两圆的公共弦方程是x-y-3=0（1x3）故答案为：x-y-3=0（1x3）14. 点关于直线的对称点的坐标是_【答案】【解析】设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得即对称点为（-2，-3）故答案为（-2，-3） 15. 实数满足条件，则的最大值为_【答案】12【解析】作出不等式对应的平面区域（阴影部分），设z=3x+5y，得y=平移直线y=由图象可知当直线y=经过点C（4，0）时，直线y=的截距
7、最大，此时z最大此时z的最大值为z=34-0=12，故答案为1216. 已知分别为双曲线（）的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_【答案】故答案为点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，注意计算准确性.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知的三个顶点，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的垂直平分线所在直线的方程；（3）边的中线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kB
8、D，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程试题解析：（1）由斜率公式易知kAC=-2，直线BD的斜率.又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x-2y+4=0（2），又线段BC的中点为，EF所在直线的方程为y-2=-（x+）整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0（3）AB的中点为M（0，-3），kCM=-7直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1x0）18. 已知圆过，两点
9、，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）把点P、Q的坐标和圆心坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法求得系数的值；（2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况当直线l的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，由点到直线的距离公式求得k的值试题解析：（1）设圆的方程为，圆心 ，根据题意有，计算得出，故所求圆的方程为.（2）如图所示，设是线段的中点，则，.在中，可得.当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为.当直线的斜率存在时，设所
10、求直线的斜率为，则直线的方程为：，即，由点到直线的距离公式：，得，此时直线的方程为.所求直线的方程为或19. 已知双曲线.（1）求焦点的坐标；并求出焦点到渐的线的距离；（2）若为双曲线上的点且，求的面积.【答案】（1）,；（2）【解析】试题分析：（1）先由题意得：a2=9，b2=16，从而得到：c=5，及点F1，F2的坐标和焦点F2到渐近线：y=的距离；（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m-n=6m2+n2mn100由得mn的值，最后结合面积公式即可求得F1PF2的面积试题解析：(1)根据题意得:, 焦点的坐标;焦点到渐近线:的距离; (2)设由题知:（1）（2）由(1)(2)得
11、所以 所以 20. 已知椭圆（），若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知，过的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线x=的距离等于短半轴的长已知点P（4，0），列出方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）联立直线与椭圆方程的方程组，设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，代入向量的数量积求解即可试题解析：（1）由题意椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知点，知，解得，故椭圆的
12、方程.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.由，得设点，即.21. 已知直线（）与轴交于点，动圆与直线相切，并且与圆相外切，（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，问是否存在以为直径的圆经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（）；（2）时，以为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以
13、MN为直径的圆过点A试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，则 ， ，而若以为直径的圆过点，则， 由此得，即.解得-2故不存在以为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力. 22. 已知与曲线相切的直线，与轴，轴交于两点，为原点，（）.（1）求证:：与相切的条件是：.（2）求线段中点的轨迹方程；（3）求三角形面积的最小值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径得到曲线C与直线l相切的充要条件；（2）设出线段AB的中点坐标，由中点坐标公式得到a，b与AB中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB中点的轨迹方程（3）因为a与b都大于2，且三角形AOB为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab的最小值，根据（1）中直线l与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小时当且经当a与b相等，求出此时的a与b即可求出面积的最小值试题解析：(1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。内切圆的半径，即，即， (2)线段AB中点为（）(3)， ，解得， ， 最
