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1、上学期高三期中考试试卷数学（理工类）试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选C.2. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量，由，得，解得：，故选B.3. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：向量的运算.4. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则 ，故选B.5. 莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学
2、著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两分之和，则最小的1份为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.6. 等比数列中，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，若，则， 不成立；若成立，则，又，成立，综合可知，“”是“”必要而不充分条件，故选B.7. 已知函数（，）的图象如图所示，它与轴相切于原点，且轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：定积分在求面积中的应用【思路点睛】由
3、图可知得到的解确定出的值，确定出的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于的方程求出并判断的取舍即可8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，函数是周期为2的周期函数；为偶函数，在上是减函数，在上单调递增，并且，故选A.点睛：本题主要考查偶函数的定义，函数的单调性，首先根据得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间上，根据单调性去比较函数值大小.9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，得，由，得，当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为，要使函数在区间和上均单调递增，则，解得，故选B.点睛：本题考查三角函数的图象变换，考查了型函数的性质，是中档题；由函数的图象平移求得函数的解析式，进一步求出函的单调增区间，结合函数在区间和上均单调递增列关于的不等式组求解.10. 已知数列满足（），且，若为数列的前项和，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】数列an满足（），为等差数列，且，设公差为，解得，设，则，当，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，当时，的最小值为，故选D.11
5、. 已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，在上单调递减，在上单调递增，又，有两个实数解，且当时，当时，当时，只有选项C符合，故选C.12. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，（），则，在定义域上单调递增，又，不等式的解集为，故选A.点睛：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键；构造函数，（），研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20
6、分，将答案填在答题纸上）13. 在中，角，所对的边分别是，则_【答案】【解析】，由正弦定理，得， 可得B是锐角，因此，故答案为.14. 已知，满足且的最大值与最小值的比值为，则的值是_【答案】【解析】由可得，不等式组表示的平面区域如图所示的，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越小，作直线：，把直线向可行域平移，当直线经过A时最小，由，可得，此时，当直线经过点B时，最大，此时，故，解得，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应
7、点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 一艘海轮从出发，以每小时海里的速度沿东骗西方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离是_海里【答案】【解析】如图，由已知可得，从而，在中，由正弦定理可得，故答案为.16. 数列满足（，），是的前项和，若，则_【答案】【解析】设，由得：，故，故答案为4.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在中，点在边上，（1）求的值；（2）若的面积
8、为7，求的长【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求，由，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求的值，再利用三角形面积公式求得，与余弦定理即可得解的长度.试题解析：（1）因为，所以，又因为，所以，所以 （2）在中，由正弦定理，故 又，解得在中，由余弦定理得 .18. 已知数列的前项和为，（）（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和为，证明：（）【答案】(1) (2)见解析.【解析】试题分析：（1）由数列递推式结合，可得（），然后利用累积法求得数列通项公式；（2）把数列的通项公式代入 ()，然后利用裂项相消
9、法求和，放缩得答案试题解析：（1）当时，解得；当时，以上两式相减，得，（2）当时，；当时，（）点睛：本题主要考查了这一常用等式，需注意的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19. 在中，内角，所对边长分别为，（1）求的最大值；（2）求函数的值域【答案】(1) 的最大值为16;(2) 值域为.【解析】试题分析：（1）由题意可得，代入余弦定理可得，由基本不等式可得，进而可得的最大值；（2）结合（1）可得，进而可得
10、的范围，利用辅助角公式将函数化为，由三角函数的知识可得所求.试题解析：（1），即，又，所以，即的最大值为16，当且仅当，时取得最大值（2）结合（1）得，所以，又，所以，因为，所以，当，即时，当，即时，所以，函数的值域为20. 已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，.求数列的通项公式；是否存在正整数，（），使得，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) ；存在正整数，使得，成等差数列.【解析】试题分析：（1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列
11、的通项公式代入，然后裂项，累加后即可求得数列的通项公式；假设存在正整数，（），使得，成等差数列，则，由此列关于的方程，求解得答案.试题解析：（1）设数列的公差为，则由，得解得或（舍去）所以（2）因为，所以，即，（）累加得，所以，也符合上式，故，假设存在正整数、（），使得，成等差数列，则又，所以 ，即，化简得： ，当，即时，（舍去）；当，即时，符合题意所以存在正整数，使得，成等差数列21. 已知为常数，函数，（其中是自然对数的底数）.（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先对函数求导，可
12、得切线的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函数，可证；（2）由，先研究函数，则，由在上是减函数，可得，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求出参数范围.试题解析：（1）（），所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故（2），设，则，易知在上是减函数，从而当，即时，在区间上是增函数，在上恒成立，即在上恒成立在区间上是减函数，所以满足题意当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，又，又，在内有唯一一个零点，当时，当时，.从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.不合题意综上得，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果
13、多做，则按所做的第一题记分.22. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为：若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系（1）求圆的参数方程；（2）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标【答案】(1) 圆的参数方程为;(2) 点的直角坐标为.【解析】试题分析：（1）极坐标转化为参数方程，先化为标准方程，再化为参数方程，利用，解题；（2）设，代入圆，得到的最大值为，点的直角坐标为.试题解析：解：（1）因为，所以，即为圆的直角坐标方程，所以圆的参数方程为为参数）.（2）设，得，代入，整理得，则关于的方程必有实数根，所以，化简得，解得，即的最大值为，将代入方程得，解得，代入，得，故的最大值为时，点的直角坐标为.23. 已知，都是实数，（1）若，求实数的取值范围；（2）若对满足条件的所有，都成立，求实数的取值范围【答案】(1) 实数的取值范围为;(2) 实数的取值范围为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式，由得或求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题可得，由绝对值不等式可得的最小值为2，可得，再根据的解集，求得的解集.试题解析：（1），由得或解得或，故所求实数的取值范围为（2）由且，得，又，的解集为，的解集为，所求实数的取值
