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1、2016年5月11日 1 第第6 6章章 流体流动微分方程流体流动微分方程 6-1 连续性方程连续性方程 6-2 以应力表示的运动方程以应力表示的运动方程 6-3 黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程 2 流体运动微分方程包括流体运动微分方程包括：连续性方程和运动微分方程。连续性方程和运动微分方程。 连续性方程连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程 与以控制体为研究对象控制体为研究对象的质量守恒相对应，连续性方程是基 于流场中质点尺度的控制体（微元体）质点尺度的控制体（微元体）建立的质量守恒微分 方程。 运动微分方程运动微分方程：微元受力与动量分析应力形式的运动方程 流体动量守恒动量守恒的
2、数学表述。以微元为研究对象。微元为研究对象。 第第6 6章章 流体流动微分方程流体流动微分方程 3 积分方程积分方程在于反映流动过程中流体总质量流体总质量，总动总动 量和总能量量和总能量的变化； 流动微分方程微分方程，在于获得流场分布流场分布的详细信息详细信息， 以揭示宏观流动现象的内在规律。 第第6 6章章 流体流动微分方程流体流动微分方程 4 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标中的 质量守恒原理：反映流动过程遵循质量守恒 这一事实。 -+=0 输出微元体 输入微元体 微元体内的 的质量流量 的质量流量质量变化率 5 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标
3、中的 y z x y vA x v z v () d x x v vx x () d y y v vy y () d z z v vz z dz dx dy 6 () ()() y xz xyz v vv vdx dydzvdy dxdzvdz dxdy xyz -+=0 输出微元体 输入微元体 微元体内的 的质量流量 的质量流量质量变化率 () ()() y xz v vv dxdydz xyz 输出微元体输入微元体 的质量流量的质量流量 = t dxdydz 微元体内的 质量变化率 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标中的 微元面微元面法向速度法向速度和和质量通量：质量通
4、量： , xyzxyz vvvvvv； 7 () ()() y xz v vv dxdydz xyz 输出微元体输入微元体 的质量流量的质量流量 = t dxdydz 微元体内的 质量变化率 () ()() 0 y xz v vv xyzt 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标中的 ()0v t 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz 其展开形式为：其展开形式为： 8 质量通量 的散度； ijk xyz 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标中的 ()0v t v()v 是矢量微分算子 方程对层流、湍流、牛顿和非牛顿流体均适用。 9 引用随体导
5、数的概念，可表示为另一种形式为： ()0 y xz v Dvv Dtxyz 6-1 连续性方程连续性方程- -直角坐标中的直角坐标中的 () ()() 0 y xz v vv xyzt ()0 D v Dt 速度矢量 的散度；v v 是密度 的随体导数，随体导数： /DDt xyz D vvv Dttxyz 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz 10 物理意义物理意义：速度的散度表示单位体积的流体在单单位体积的流体在单 位时间内的体积增量位时间内的体积增量，通常称为体积变形率。 对于不可压缩流体于不可压缩流体，不管其体积形状如何变化， 其体积的大小不会改变，即体变形率为体变形
6、率为0 0. 6-1 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体的连续性方程 0 y xz v vv xyz 11 _ 运动方程运动方程：基于流场中的：基于流场中的质点尺度质点尺度的控制体的控制体 即微元体所建立的动量守恒方程，又称为即微元体所建立的动量守恒方程，又称为运动微运动微 分方程分方程。以应力表示的运动方程就是直接根据动。以应力表示的运动方程就是直接根据动 量守恒定律得到的含流体应力的微分方程。量守恒定律得到的含流体应力的微分方程。 6.2 以应力表示的运动方程以应力表示的运动方程 =+ 作用于微元体 输出微元体输入微元体 微元体内的 诸力之矢量和 的动量流量的动量流量动量变化率 12 按
7、按作用区域作用区域的不同，作用于微元体上的力：的不同，作用于微元体上的力：体积体积 力和表面力力和表面力两类。两类。 体积力体积力：由于外力场（重力场、离心力场、电磁：由于外力场（重力场、离心力场、电磁 场）的作用在微元体场）的作用在微元体整个体积上整个体积上所产生的力，又所产生的力，又 称为称为质量力质量力或或彻体力彻体力。 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 y z x d zx zx z z yz zz xx xy xz yy yx zy zx A d zy zy z z dxdy dz d zz zz z z x f y f z f 单位质量 体积力 d xx xx x
8、x 13 若微元体中单位质量的体积力在若微元体中单位质量的体积力在x,y,z方向的分量方向的分量 分别为：分别为：fx,fy,fz.则：则： 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 = y fdxdydz微元体y方向的质量力 = x xfdxdydz微元体 方向的质量力 = z zfdxdydz微元体 方向的质量力 14 表面力表面力：作用：作用 于流体表面的于流体表面的 力。本章主要力。本章主要 指微元体表面指微元体表面 上的力。上的力。 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 yyyxyz ,=y作用于与 方向垂直的微元面 xxxyxz ,=x作用于与 方向垂直的微元面
9、 zzzxzy ,=z作用于与 方向垂直的微元面 15 应力下标的意义应力下标的意义：第一个下标表示应力作用面垂：第一个下标表示应力作用面垂 直与该坐标，第二个下标表示应力的作用方向。直与该坐标，第二个下标表示应力的作用方向。 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 xxxyxz ,=x作用于与 方向垂直的微元面 16 应力正负的约定应力正负的约定： 若应力所在平面的若应力所在平面的外法线外法线 与坐标轴正向一致与坐标轴正向一致，则，则指指 向坐标轴正向的应力为正向坐标轴正向的应力为正， 反之为负。反之为负。 若应力所在平面的若应力所在平面的外法线外法线 与坐标轴正向相与坐标轴正向相
10、反，则指反，则指 向坐标轴向坐标轴负方向负方向的应力的应力为为 正正，反之为负。，反之为负。 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 17 应力状态及应力状态及切应力互等定理切应力互等定理： A A点处三个微元面上的点处三个微元面上的9 9个应力个应力，代表了流场中某，代表了流场中某 一点一点A A的应力状态的应力状态，也就是说，黏性流场中任意一，也就是说，黏性流场中任意一 点的应力有点的应力有9 9个分量，包括个分量，包括3 3个正应力分量个正应力分量和和6 6个切个切 应力分量应力分量 切应力互等定理：切应力互等定理： 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 xyyx
11、yzzy xzzx 流场中任一点的9个应力分量中，只有6个分量是独立的。 18 微元体表面力的总力分量 6.2.1 作用于微元体上的力作用于微元体上的力 dd dd d dd dd d dd dd dd d d xx xxxx yx yxyx yxzxxxzx zxzx xy zy z x yx zx z y zx yx yx y z zxyz x 方向方向: : y z x d zx zx z z yz zz xx xy xz yy yx zy zx A d zy zy z z dxdy dz d zz zz z z x f y f z f 单位质量 体积力 d xx xx x x y 方向
12、方向: :z 方向方向: : d d d xyyyzy x y z xyz d d d yzxzzz x y z xyz 19 动量通量与动量流量： 6.2.2 动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率 =动量通量 质量通量 流体速度 =动量流量 动量通量 流通面积 表示单位时间、单位面积输入输出的动量； 20 6-2.2 动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率 () ()() yx xxzx xxx v v v vv v vdx dydzvdy dxdzvdz dxdy xyz xyz v v v 微元体表面x方向动量的输出流量输出流量为： xxx v dydzv dxdzv dxdy x
13、yz vvv 微元体表面x方向动量的输入流量为： 21 6-2.2 动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率 xxx v dydzv dxdzv dxdy xyz vvv () ()() yx xxzx xxx v v v vv v vdx dydzvdy dxdzvdz dxdy xyz xyz v v v 2 () ()() x- x=+ yx xzx v v vv v dxdydz xyz 微元体表面 微元体表面 方向动量方向动量 的输出流量 的输入流量 2 ()()() y- y=+ xyyzy v vvv v dxdydz xyz 微元体表面 微元体表面 方向动量方向动量 的输出流量 的输入流量 2 z () (v )() z- z=+ yz xz v v vv dxdydz xyz 微元体表面 微元体表面 方向动量方向动量 的输出流量 的输入流量 22 6-2.2 动量流量及动量变化率动量流量及动量变化率 () = t y vy dxdydz 微元内 方向 动量的变化率 () = t x xv dxdydz 微元内 方向 动量的变化率 微元体内的动量变化率： () = t z zv dxdydz 微元内 方向 动量的变化率 23 6-2.2
