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1、自动控制原理 A（3） 现代控制理论 Modern Control Theory 现代控制理论特点 状态空间模型； 应用现代数学方法，以计算机作为工具； 多输入多输出、时变、非线性系统； 系统化的分析和综合方法； 实现多目标控制； 预测控制、鲁棒控制、模糊控制等先进控制。 本课程内容 状态空间模型； 基于状态空间模型的系统分析（Analysis）：可 控性、可观性； 基于状态空间模型的系统综合（Synthesis）： 状态反馈结构、极点配置、状态观测器设计； 李亚普诺夫稳定性分析 第1章 线性系统的状态空间描述 q 状态空间的基本概念 q 线性定常连续系统的状态空间表达式 qq 线性定常连续系
2、统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解 qq 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵 线性定常连续系统的状态空间表达式的建立 两种方法： 第一种：机理建立模型 第二种：其他数学模型转化 由微分方程、传递函数求 AA，B B，C C，DD 由系统微分方程建立状态空间表达式 1）系统输入量中不含导数项 2）系统输入量中含有导数项 如果单输入单输出系统的微分方程 为： 一般输入量中导数项的次数小于或 等于系统 的次数n。 传递函数化为状态空间表达式 设单输入/输出系统的传递函数： i） 串联分解的形式 ii） 并联分解（对角标准形） iii） 含重实极点 线性定常连续系统状态方程的解 状态方程 1
3、)齐次状态方程的解 幂级数法 拉普拉斯变换法 比较幂级数法和拉普拉斯变换法的结果： 则有 2) 非齐次状态方程的解 积分法 拉普拉斯变换法 表达式：设动态方程 令初始条件为零，求拉氏变换式： 系统的传递函数矩阵 第2章 线性系统的能控性和能观性 p线性定常系统能控性和能观性 p线性定常系统的能控性判据 p线性定常系统的能观性判据 p线性定常系统的线性变换 线性定常系统能控性和能观性 线性定常系统能控性的判据 （1）格拉姆矩阵判据 （2）秩判据 定理：对线性定常连续系统： 若为对角型（即A的特征值两两相 异 ），则状态完全能控的充要条件为是： 中没有任意一行的元素全为零。 （3）对角线规范型判据
4、 定理：设线性定常系统 ， 若为约当型标准型，则状态完全能控 的充要条件是： 对应的每一个约当块的最后一行相 应的阵中所有的行元素不全为零。 （4）约当规范型判据 （5）能控标准型 线性定常系统能观性的判据 1. 定义： （1）格拉姆矩阵判据 （2）秩判据 系统状态完全能观的充要条件： 若A为对角型，则系统完全能控能 观的充要条件是： 输出阵C中没有任何一列的元素全 为零。 （3）对角线规范型判据 若A为约当型，则系统完全能 观的充要条件是： C阵中与每个约当块的第一列 相对应的各列中，没有一列的元素全 为零。 （4）约当规范型判据 线性定常系统的线性变换 (1) 状态空间表达式的线性变换 (
5、2) 对偶原理 (3) 非奇异线性变换的不变特性 (4) 线性定常系统的结构分解 第三章 线性系统的反馈结构及状态观测器 p状态反馈与输出反馈 p闭环系统的能控性与能观性 p系统的极点配置 p状态反馈对系统零极点的影响 p输出反馈实现极点配置 p全维状态观测器及其设计 状态反馈与输出反馈 状态反馈 状态反馈控制律： 其中： 输入 -状态反馈阵 状态反馈系统： 若=0， 特征方程 输出反馈 输出反馈至参考微分处( ) 其中 -输出反馈阵 输出反馈至参考输入： 闭环系统的能控性与能观性 定理1：状态反馈不改变原系统的能控 性，但却不一定能保证能观性 定理2：输出至参考输入的反馈不改变 原系统的能观
6、性与能控性 定理3：输出至状态微分的反馈不改变 原系统的能观性，但可能改变原系统的 能控性 极点配置：利用状态反馈或输出反馈使 闭环系统的极点位于所希望的极点位置 。 需要解决两个问题： （1）建立极点可配置的条件 （2）确定极点配置所需要的反馈增益矩 阵 系统的极点配置 求解状态反馈阵的步骤： 验证原系统的能控性 闭环系统特征方程： 希望的闭环系统的特征方程 ： 计算 状态反馈对系统零极点的影响状态反馈对系统零极点的影响 输出反馈实现极点配置 定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充 要条件是原系统能观 1/S u - + + 1/S + H K v - 状态反馈部分 观测器部分 - 全维状态
7、观测器及其设计 定理：若系统(A,B,C)完全能观，则可用 如下的全维观测器对原状态来进行估计 ： 适当选取 分离定理：若系统 能控能观， 用 形成状态反馈后，K和H 的设计可以分别独立进行。 第四章 李雅普诺夫稳定性理论 3.1 稳定性基本概念 3.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3.3 李雅普诺夫第一法 3.4 李雅普诺夫第二法 3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技 巧来构造李氏函数 定理1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续 单调衰减。 定理2：
8、若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非 零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。 说明：不存在 ， 经历能量等于恒定，但不维持在该状 态。 v定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零 状态存在恒为零；则原点是李雅普诺夫意 义下稳定的。 说明： 系统维持等 能量水平运动，维持在非零状态而不运行 至原点。 v定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。 说明： 正定 能量函数随时 间增大， 在 处发散。 李氏第二法的步骤： n构造一个 二次型； n求 ，并代入状态方程； n判断 的定号性； n判断非零情况下， 是否为 零。 渐进稳定 李氏稳定 不稳定 线性定常系统渐进稳定性判别法 n设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。 设选取如下的正定二次型函数 为李氏 函数 则： -非奇异矩阵 将 代入： 令 由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统是大范围一致渐进稳定。 定理：系统 大范围渐进稳定的充 要条 件为: 给定一正交实对称矩阵Q，存在唯 一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个李氏 函数。
