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1、2017-2018学年佛山市第一中学下学期期中考试高二考试题数 学（理科）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 如果质点 A 按照规律运动，则在时的瞬时速度为 A. 12B. 16C. 18D. 27 2. 若，则 A.B.C.D. 3. 若复数 是纯虚数，则实数 的值为 A. 1B. 2C. 1 或 2D. -1 4. 7 名旅客分别从 3 个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是 A.B.C.D. 5. 利用
2、数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应増乘的因式是 A.B.C.D. 6. 将 3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，则不同放法有 种A. 81B. 64C. 14D. 12 7. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 金榜题名A. 144 种B. 72 种C. 64 种D. 84 种 8. 有一个 7 人学校合作小组，从中选取 4 人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有 A. 720 种B. 600 种C. 360 种D.
3、 300 种 9. 给出一个命题 p：若 a,b,c,dR，a+b=1，c+d=1，且 ac+bd1，则 a，b，c，d 中至少有一个小于零在用反证法证明 p 时，应该假设 A. a，b，c，d 中至少有一个正数B. a，b，c，d 全为正数C. a，b，c，d 全都大于或等于 0D. a，b，c，d 中至多有一个负数10. 三角形的面积为，（ 为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 A.（为底面边长）B.（为底面面积，为四面体的高） C.（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）D.（为底面边长，为四面体的高） 11. 在弹性限度内，的力能使弹簧
4、压缩 ，若将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，则克服弹力所做的功为 A.B.C.D. 12. 已知函数 ，且 ，则当时， 的取值范围是 A. B. C. D. 第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 已知，则展开式中的常数项为 14. 设为实数，若函数 存在零点，则实数的取值范围是 15. 如果复数满足，那么的最小值是 16.四名大学生甲、乙、丙、丁互相检查论文作业A、B、C、D，每人检查一篇，自己写的那篇自己不能检查，则有 种不同的安排方式。三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10
5、分)观察下列等式：111据此规律，请你猜想出第n个等式并证明你的结论. 18. (本小题满分12分)已知双曲线 C：的离心率为 3，实轴长为 2，直线 l： 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B（）求双曲线 C 的方程；（）若线段 AB 的中点在圆 上，求的值；（）若线段 AB 的长度为，求直线 l 的方程 19. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，为的中点；（）求证：；（）若，求二面角的余弦值. 20. (本小题满分12分)已知函数在点处有极小值 -24（）求，的值；（）设函数图象过点，求过点的函数图象的切线方程 21. (本小题满分12分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏
6、到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).22. (本小题满分12分)已知函数（）若成立，求
7、实数的取值范围；（）若有两个极值点且,求证:2017-2018学年下学期期中考高二理科数学答案 一、选择题题号123456789101112答案CDABABDBCCDA二、填空题13. -160 14. -2,215. 116. 9 三、解答题17. 解：第n个等式为：1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n4分证明：（1）n=1时，左边1-12=12=右边，成立；（2）假设n=k时结论成立，即1-12+13-14+12k-1-12k=1k+1+1k+2+12k, 6分则n=k+1时，左边1-12+13-14+12k-1-12k+12k+1-12k+2=1k+1+1
8、k+2+12k+12k+1-12k+21k+2+12k+12k+1+12k+2=右边，也成立综上，1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n对nN+恒成立10分18. （1） 由题意，得 ，又因为 ， 解得 ， 所以， 3分所以所求双曲线 的方程为 4分（2） 设 ， 两点的坐标分别为 ，线段 的中点为 ，由 得 ，判别式 ，6分所以 ，7分因为点 在圆 上，所以 ，所以 8分（3） 10分解得 11分所以直线 的方程为 或 12分19. （1）因为 ，D为AC中点，所以 1分法一：由 ，得 2分由 及 ， 是 内的两条相交直线，得 4分（2）AB2+BC2=2AB2
9、=2AB2=AC2, 由勾股定理逆定理知， 5分如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，不妨设AB=1则 ， 6分得 ，设 是平面 的一个法向量，则 得 令 ，得 ， 8分设 为平面 的一个法向量，则 得 令 得 ， 10分依题意知二面角 为锐二面角，设其大小为 ，则 ， 11分即二面角 的余弦值为 12分20.解：(1) fx=3x2+2ax1分f4=48+8a=0f4=64+16a+b=-243分解得a=-6, b=8 4分(2)fx=x3-6x2+8f6=216-216+8=8 所以P(6,8) 5分设切点为A(x0,y0),则切线方程为y=fx0x-6+8=3x02-12x0x-6+8
10、 6分点A亦在此切线上，且y0=x03-6x02+8代入切线方程，得x03-6x02+8=3x02-12x0x0-6+8 8分即x0x0-62=0 10分解得x0=0 或x0=6, 所以切点为(0,8)或(6,8)f0=0, f6=36所以切线方程为y=8或36x-y=208 12分21. 解：（1）因为,所以1分则当时,由,解得,所以此时 2分当时,由,解得,所以此时 3分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天 4分（2）当时, =,6分因为,而,所以,7分由基本不等式知，214-x16a14-x-a-4=9分故当且仅当14-x=16a14-x即时取等，此时y有最小值为 10分令且,解得, 11分所以的最小值为 12分22.解（1）成立，成立1分设2分当时，递增；当时，递减； 实数的取值范围为；3分（2）若有两个极值点则导函数有两个零点且要证即证明4分由可知5分 即证6分即证即证7分设即证9分设11分在上单调递增, 综上，得证! 12分2017-2018学年佛山市第一中学下学期期中考试高二理科数学考试题 第13页（共13 页）
