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1、第五讲 神秘的无穷与三次数学危机 一、 “有无限个房间”的Hilbert旅馆 二、 无限与有限的区别和联系 三、 悖论（paradox） 四、数学中的无限在生活中的反映 五、潜无限与实无限 六哲学中的无限 七、无穷与数学危机 1 1. “客满”后又来1位客人（“客满”） 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1号房间 一、“有无限个房间”的Hilbert 旅馆 2 2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间 3 3. 客满后又来了一万个旅游团， 每个团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002
2、30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间 4 是否有人想提什么问题？ 5 Hilbert 4. 思 该旅馆客满后又来了无穷个旅游 团，每个团中都有无穷个客人，还能否安 排？ “无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻 地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾 如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何 概念比无穷大更需要澄清” 6 二、无限与有限的区别和联系 1. 区别 1） 在无限集中，“部分可以等于全体” （这是无限的本质），而在有限的情况下， 部 分总是小于全体。 当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。 7 1 2 3 4 5 6 7
3、8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n 2 该两集合：有一一对应，于是推出两集 合的元素个数相等；但由“部分小于全体” ，又推出两集合的元素个数不相等，这就形 成悖论。 思：构造一个“部分到整体的一一对应”： 从0，1）0，+）。 8 2） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c 9 在“无限”的情况下，加法结合律不再 成立。如 10 （2）有限级数一定有“和”。 是个确定的数 无穷级数一定有“和”。 则不是个确定的数
4、。称为该 级数“发散”。反之称为“收敛”。 11 2. 联系 在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往 往很重要。 1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命 题对无限个自然数均成立。 2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程 。 如： ； 自然数N，都 ，使 时， 。 12 0.99999=1? 3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式 , a1 = * 有一个著名的例子： 兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但 在逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。 13 三、悖论（paradox） 悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的 命题为
5、前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出 一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为 前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。 1说谎者悖论：最早见新约全书提多书，BC 6世纪古希腊哲学家伊壁孟德所创的四个悖论之一 “我正在说谎” 。 如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假 的，因而伊壁孟德正在撒谎。 14 1说谎者悖论 最早见新约全书提多书，公元前6世纪 古希腊哲学家伊壁孟德所创的四个悖论之一 “我正在说谎” 。 如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的， 所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那 么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎
6、。 15 2.“说谎者循环” A说：“下面是句谎话。” B说：“上面是句真话。” 这悖论的化解法是：每句话语，必须分辨两个层次：一是 enunciation，即发言者所作的发言动作和他所处的发言位置； 一是statement，即句子的内容。“我正在说谎”之所以出问题， 是因为我们把发言的内容，错误理解为发言者的发言动作和位 置。 “我正在说谎”，强调的就是enunciation 与statement之间绝对 不能相混 16 3.“外祖母悖论” 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖 母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就 没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外 祖母就不会死，那我又有了。而
7、有了我，外祖 母就没了，我也就没了这就是悖论，自己 与自己就有矛盾。 17 4. 芝诺悖论-由无限引出的 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该 学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的 “一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只 是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论 ”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们可以从数 学角度来分析。 18 1）两分法 向着一个目的地运动的物体，首先必须经过 路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过 路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首 先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷 。结论是：无穷是不
8、可穷尽的过程，运动永远 不可能开始的。 19 阿基里斯追不上乌龟。 2）阿基里斯(Achilles)悖论 20 3）飞矢不动悖论 一支飞行的箭是静止的： 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而 是静止的，因此箭就不能处于运动状态。 21 4）“操场或游行队伍” A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静 止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动 了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移 动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2 公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而 一半的时间等于两倍的时间。 22 症结： 无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。 芝诺悖论的
9、意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？ 23 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第 四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都 有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是 真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖 锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题， 引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能 不说是巨大的贡献。24 067.html 从惊讶到思考 数学悖论奇景 科学美国人杂志社 马丁加德纳
10、 25 四、 生活中的无限观 1）大烟囱是圆的： 每一块砖都是直的, 整体看又是圆的; 2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的, 许多刀合在一起的效果 又是光滑的; 26 3） 不规则图形的面积 法. 求曲边梯形的面积，（不 规则图形若干个曲边梯形） ，再设法求曲边梯形的面积： 划分，求和， 矩形面积 之和 边梯形面积； 越小，就越精 确；再取极 限 ，就得到曲 边梯形的面积。 27 法.用方格套，方格越小，误差越小 28 五、 潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程 ，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一 种方式，不是一个实体。 29 从古
11、希腊到康托以前的大多数哲学家和数 学家都持潜无限的观点 他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有 正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条 上，从1，2，3，写起，每写一张，就把该纸条装进一 个袋子里，则这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的， 它只能存在于人们的思维里。 亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成。 牛顿视无穷小量为实无限，却导致贝克莱主教的责难。 高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为 无限只不过是一种说话的方式。 30 康托的集合论与实无限 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正 整数的袋子看作一个完整的
12、实体。这就是实无限观点。 康托是第一位研究实无限并取得成功的人！ 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影 响，但当时，康托的老师、一流数学家克罗内克尔，对康 托的观点与成就进行了猛烈的攻击。 Poincare，稍温和而权威性的评价，认为康托尔的集合 论是一种“疾病”。 康托的概念是“雾中之雾”，甚至 说康托是“疯子”。 31 康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德国数学家，集合论创始者 。1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年 1月6日病逝于哈雷。17岁时入 瑞士苏黎世大学,翌年转入柏 林大学,主修数学，从学于库
13、 默尔、魏尔斯特拉斯。1866年 曾去格丁根学习一学期。1867 年在库默尔指导下以数论方 面的论文获博士学位。后即 在该大学任讲师，1872年任副 教授，1879年任教授。 32 康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部 分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至 于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点， 惧怕集合论。 来自数学权威们的激烈反对，使康托自己也开始 怀疑自己的工作，因此变得十分沮丧。巨大精神压 力终于摧垮了康托尔，患了精神分裂症，被送进精 神病医院。1918年1月6日，康托在一家精神病院去 世。 事实上，康托的实无限与无穷集合论也直接导致 了第三次数学危机。 到底如何看待无限？潜无限与实无限？ 33 实无限、潜无限只是一个硬币的两个面 两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在 现代数学中都是有用武之地。 微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限 无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼 近的过程，也是一个可供研究的实体。 Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是 人类心情宁静的最大敌人！ 34 六哲学中的无限 1哲学对“无限”的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无限 ”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在 我们知道哲学中有下边一些
