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1、数学二历年考研试题及答案详解（20032013）2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 18小题每小题4分，共32分设，当时， （ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小2已知是由方程确定，则（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设，则（ ）（）为的跳跃间断点 （）为的可去间断点（）在连续但不可导 （）在可导设函数，且反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）6设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）7设，均为阶矩阵，若，且可
2、逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价8矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A） （B），为任意常数（C） （D），为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 10设函数，则的反函数在处的导数 11设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 12曲线上对应于处的法线方程为 13已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 14设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足
3、，则= 三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求18（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20（本题满分11）设函数求的最小值；设数列满足，证明极限存在，并求此极限21（本题满分11）设曲线L的方程为（1）求L的弧长（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标22本题满分11
4、分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C23（本题满分11分）设二次型记（1）证明二次型对应的矩阵为 ；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数，其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C
5、) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设则有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(1
6、0) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计
7、算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分) 证明,.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出
8、的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当时，函数与是等价无穷小，则（ ）（A） （B）（C） （D）（2）设函数在处可导，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函数的驻点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式为（ ）（A） （B）（C） （D）（5）设函数，均有二阶连续导数，满足，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）设，则，的大小关系为（ ） （A） （B） （C） （D）（7）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行
9、得单位矩阵。记，则=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9） 。（10）微分方程满足条件的解为 。（11）曲线 的弧长 。（12）设函数 ，则 。（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分 。（14）二次型，则的正惯性指数为 。三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分） 已知函数，设，试求的取值范围。（16）（本
10、题满分11分） 设函数由参数方程 确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点。（17）（本题满分9分） 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。（18）（本题满分10分） 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。（19）（本题满分10分） （I）证明：对任意的正整数，都有成立。 （II）设，证明数列收敛。（20）（本题满分11分） 一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：，重力加速度为，水的密度为）（21）（本题满分11分） 已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分。（22）（本题满分11分） 设向量组，不能由向量组，线性表示。 （I）求的值； （II）将用线性表示。（23）（本题满分11分） 设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且。 （I）求的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题(1
