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1、课题:圆的方程,定义: 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)。,圆的定义,注意两个要素:圆心,半径,圆的方程,标准方程:,一般方程:,参数方程:,直径方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径,基础练习 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 .,2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a、bR)对称,则ab的取值范围是 . .,3.方程 对应的曲线是( ),A,点与圆的位置关系,点在圆上:,点在圆内:,点在圆外:,基础练习 4、过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取
2、值范围是 .,直线与圆的位置关系有三种:,相离,相切,相交,直线与圆的位置关系,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法,直线与圆的位置关系,(1)代数法:,利用判别式=b2-4ac,(2)几何法:,利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系,直线与圆的位置关系,圆的切线方程,若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为,x0x+y0y=r2,圆的切线长度: 点到圆心的距离、切线长度和半径构成的直角三角形。,若P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点,PM1、PM2分别切圆于M1、M2,则直线M1M2的方程为 .,x0x+y0y=r2,圆的
3、切点弦方程,x,y,o,P,M1,M2,直线与圆相交的弦长计算,r,(1)几何法:,解由弦心距、半弦及半径构成的直角三角形;,(2)代数法:,运用弦长公式 ,其中k为直线的斜率,x1,x2为直线与圆的两个交点的横坐标.,直线与圆相离,圆与直线相离,常利用圆心到直线的距离d去确定圆上的点到直线距离的最大值(d+r)、 最小值(d-r),l,o,特殊的圆,圆过原点:,圆与x轴相切:,圆与y轴相切:,x2+y2+Dx+Ey=0,(x-a)2+(y-b)2=|b|2,(x-a)2+(y-b)2=|a|2,(x-a)2+(y-b)2=r2,a2+b2=r2,r=|b|,r=|a|,基础练习 5、圆x2+
4、y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有 个。,变式练习:圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+my+1=0的距离为 的点共有3个,则m 的值为 。,圆与圆的位置关系,圆与圆的位置关系可分为五种:,相离,外切,相交,内切,内含,(两圆的公切线条数也可分为五种) 并掌握圆的公切线长度的求法。,设两圆圆心分别为O1、O2,半径为r1、r2(r1r2),则,判断圆与圆的位置关系,常用几何法:,两圆公共弦方程,公共弦方程,x,y,o,圆系方程,过两圆的交点的圆的方程:,过直线与圆的交点的圆的方程:,圆系方程,题型一:求圆的方程,(1)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+
5、y2-6x-8y=0,(2)x2+y2-2x+8y+9=0,练习:求下列圆的方程 (1)经过A(2,-3),B(-2,-5)两点,圆心在x-2y-3=0上; (2)与y轴相切,被直线y=x截得的弦长为 ,圆心在x-3y=0上; (3)过A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5)的圆; (4)过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点(1,2)的圆的方程 ; (5)以相交两圆C1: x2+y2+4x+y+1=0和 C2: x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆。,题型二:与圆有关的最值问题,例3 已知A(-2,0), B(0,2), P是圆C:x2+y2
6、-2x=0上任意一点,则ABP面积的最大值是 .,B,C,P,练习: 1、已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1),过点C的直线 与圆O交于P、Q两点, (1)当 最短时,求直线 的方程; (2)当 的面积最大时,求直线 的方程。,C,Q,练习: 1、已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1),过点C的直线 与圆O交于P、Q两点, (1)当 最短时,求直线 的方程; (2)当 的面积最大时,求直线 的方程。,C,Q,练习: 2、点P在直线2x+y+10=0上,PA、PB与圆O:x2+y2=9分别相切于A、B两点,求四边形PAOB面积的最小值.,A,B,练习: 3、点A、B分别是圆C:x2+(y-
7、3)2=1和椭圆 上两点,求 的最大值.,A,B,题型三:直线与圆的位置关系,例4 已知圆C的方程是 (x-1)2+(y-2)2=5,求 (1)过点A(3, 3)的圆的切线方程; (2)过点B(5, -1)的圆的切线方程并求出切线长; (3)过点C(3, 5)的直线被圆C所截得弦长为2,求此直线的方程.,1、与圆C: x2+(y+5)2=3相切,且在x , y轴上截距相等的直线有 条.,4,练习:,练习: 2.(2016,全国卷1,15) 设直线: y=x+2a与 圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点, 若 ,则圆C的面积为 。,练习: 3.(2015,全国卷1,20) 已知过点A
8、(1,0)且斜率为k的直线l与圆C: (x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (I)求k的取值范围; (II)若 ,其中O为坐标原点,求 .,题型四:圆与圆的位置关系,例5,圆O1的方程为: x2+y2-2x-4y-11=0 圆O2的方程为: x2+y2+6x+4y+9=0 判断两圆的位置关系。,例5,已知圆O1的方程为: x2+y2-2x-4y-11=0 圆O2的方程为: x2+y2+6x+4y+9=0 求(1)两圆公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。,O1,O2,练习:,1、圆O1的方程为:x2(y1)24,圆O2的圆心O2(2,1) (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程
9、; (2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且 |AB| ,求圆O2的方程,练习:,2、在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点 B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,3、求O:x2+y2=1和C: x2+y2-6x+5=0的公切线方程.,内公切线:x=1,外公切线:x y+3=0,题型五:与圆有关的轨迹问题,例6,已知两点A(-2,1), B(0,2),动点P到A,B两点距离之比为2:1,求点P的轨迹方程。,练习:,1. (2014,全国卷1,20) 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0 ,过点P 的动直线 与圆C 交于A,B 两点,
10、线段AB 的中点为M , O为坐标原点. (I)求 M的轨迹方程; (II)当 时,求 的方程及 的面积.,C,P,A,B,M,N,2.已知过原点的动直线与圆C1 x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B, (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由。,A,B,C1,M,练习:,2.已知过原点的动直线与圆C1 x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B, (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否
11、存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由。,(4,0),练习:,练习:,3. 已知点 A(2,3),点B在圆 O:x2+y2=1上,线段AB 的中点为M ,求 M的轨迹方程;,A,B,M,N,练习:,例7:已知直线y=-x+m与曲线 有两个不同的交点,求m的取值范围。,题型六:与圆有关的综合问题,x,y,O,分析:,例8:已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.,C,P,Q,M,取PQ中点M, 由CMPQ 可求得M(-1,2),例8:已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.,C,P,Q,联立方程可得,