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1、3 希尔伯特空间中的规范正交系希尔伯特空间中的规范正交系 一 规范正交系 主要内容 二 傅里叶系数 三 完全规范正交系 四 Hilbert空间的同构 一 规范正交系规范正交系 元素的正交性在内积空间和Hilbert空间 中扮演着十分重要的角色. 在 维欧氏空间, 选定 个相互正交的向量 ,则形成 维空间中的一组正交基,也就是说在空间中 建立了一组坐标系,空间中的任何一个元素都 可以由这组坐标的线性组合表示出来. 其中 ,并且向量的长度 在一般的内积空间中也可以类似地引入 正交基、投影和坐标系等十分重要的概念, 建立起一套完整的空间坐标理论. 定义1 设 是内积空间 的一个不含 零子集,若 中向
2、量两两正交,则称 为 中的正交系,又若 中向量的范数都为1,则 称 为 中的规范正交系. 例1 为 维欧氏空间,则向量集 为 中规范正交系,其中 例2 在空间 中,定义内积为 则三角函数系 为 中规范正交系.所以内积空间中 规范正交系是正交函数系概念的推广. 正交系的基本性质. (1)对正交系 中任意有限个向量 ,有 事实上,由于 中向量两两正交,所以 (2)正交系 是 中线性无关子集. 事实上,设 ,而且 , 其中 为 个数,则对任何 ,有 由于 ,因此 ,所以 线性无关.从而说明 是 中线性无关子集. 定义2 设 是赋范线性空间, 是 中的一列向量, 是一列数,作级数 称 为级数(3)的
3、项部分和,若存在 ,使 ,则称级数(3)收敛, 并称 为级数的和,记为 若 为 中规范正交系, 是 中有限或可数个向量,且 ,则对每个 自然数 ,由内积连续性,可得 所以 定义3 设 为内积空间 中的规范正交系, ,称数集 为向量 关于规范正交系 的傅里叶系数集, 而称 为 关于 傅里叶系数. 例3 设 为例2中三角函 数系,记 二 傅里叶系数 对任何 关于 的傅里叶系数 集即为 所以内积空间 中向量 关于规范正交系 的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里 叶系数概念的推广. 傅里叶系数的性质 引理1 设 是内积空间, 是 中规范正 交系,任取 中有限个向量 ,则有 其中 为任意 个数. 证明 因
4、对任意 个数 ,有 令 ,代入上式即得(1). 另一方面,由上式及结论(1)又有 由此知(2)成立. 定理1(Bessel不等式) 设 是内积空间 中的有限或可数规范正交系,则对 ,有 证明 如果 中只有有限个向量,则由引 理1的(1)立即可得.当 可数时,只要在引理 1的(1)中令 ,则可得(4)式. 如果Bessel不等式中等号成立,则称此等式 为Parseval等式. 引理2 设 为Hilbert空间 中可数规 范正交系,则 (1) 级数 收敛的充要条件为级数 收敛; (2) 若 ,则 , 故 (3) 对任何 ,级数 收敛. 证明 (1) 设 , 由于 为规范正交系,所以对任何正整数 和
5、 ,且 ,有 所以 是 中柯西点列的充要条件为 是柯西点列,由 和数域的完备性知,(1)成立. (2) 前已证明. (3) 由Bessel不等式知,级数 收敛,由(1)及(2),知级数 收敛. 推论1 设 是 中可数规范正交系,则 对任何 , 证明 因对 ,级数 收敛,所以 . 下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式. 设 是 中规范正交系,其中 为一指标集,则对任一 , 中使 的指标 至多只有可数个. 不等式,易知对任何正整数 ,使 的指标 至多只有有限个,所以集 事实上,由 Bessel 至多为可数集. 由此可以形式地作级数 其中和式理解成对所有使 的指标 相加,因此Bessel不等式
6、可以写成 三 完全规范正交系 定义4 设 是内积空间 中的规范正交系, 如果 则称 是 中的完全规范正交系. 交系,则 完全的充要条件为 . 定理2 设 是Hilbert空间 中的规范正 完全规范正交系类似于 维欧式空间中的 标准正交基. 定理3 是Hilbert空间中完全规范正交系 的充要条件为对所有 ,成立Parseval等式. 证明 充分性 设Parseval等式对所有 成立,假设 不完全,由定理2,存在 . 所以对任何 ,有 ,由于对该 有Parseval等式 所以 ,即 ,这与 矛盾. 必要性 设 是 中完全规范正交系, 对任何 ,设其非零傅里叶系数为 由引理2,级数 收敛,设其和为
7、 , 则对任何正整数 ,有 又对 中一切使 的向量 ,有 因此 .由 的完全性,得到 , 即 ,所以 ,由此得到 即Parseval等式成立. 由定理3的证明可以看出,当 是Hilbert 空间中完全规范正交系时,则 中每个向量 都可以展开成级数 (9)式称为向量 关于完全规范正交系 的 傅里叶展开式.它类似于 维欧式空间中的任一 向量 关于标准正交基的线性组合表示. 推论2 是 Hilbert 空间 中规范 正交系，若Parseval等式在 的某个稠密子 集 上成立,则 完全. 证明 设 ,则 是 中闭 线性子空间,因在 上Parseval等式成立,由 定理3,易知对 中每个向量 ,都有 所
8、以 ,从而 ,由于 是闭线性子空间, 故有 ,但因 ,所以 ,即 是 中完全规范正交系.证毕. 利用推论2可证明三角函数系是 中完全规范正交系,从而 ,有 其中等号右端级数是指在 中平方平 均收敛, 分别为例3中 关于三角函数 系的傅里叶系数. 引理3 设 是内积空间 中有限 或可数个线性无关向量,则必有 中规范正交系 ,使对任何正整数 ,有 证明 令 ,则 ,且 令 ,因为 线性无关, 所以 ,且 . 令 ,则 .且 . 显然, . 如果已作了 ,其中 , 并且两两正交,满足 现令 由 线性无关,知 , 令 ,则 .且 . 其中 .又显然满足 如此一直作下去,即可得所要的规范正交系. 在引理
9、3的证明中,构造规范正交系的过程 称为正交化过程. 并且可知 是向量 在空间 上的投影. 定理4 非零Hilbert空间必有完全规范 正交系. 证明 设 为可分的Hilbert空间,则存 在有限或可数个向量 ,使 , 不妨设 为 中的线性无关子集,否则可取 中的线性无关子集.由引理3,存在有限或 可数的规范正交系 ,使对任何自然数 ,有 所以,由 张成的线性空间包含 ,因此 即 是 中完全规范正交系.证毕. 性质 若 和 都是Hilbert空间 的 完全规范正交系,则 和 具有相同的基数. 上述性质中的基数称为 的Hilbert维数. 若 ,则规定 的Hilbert维数为0;当 是有限维空间时, 维数与线性维数相同. 定义5 设 和 是内积空间,若存在 到 上的映射 ,使对任何 及数 , 满足 则称 和 同构,并称 为 到 上同构映射. 四 Hilbert空间的同构 对于可分Hilbert空间，由定理5,并利用 Gram-Schmidt方法,立即可以得到下面的推论. 推论3 任何可分Hilbert空间必和某个 或 同构. 定理5 两个Hilbert空间 与 同构的充 要条件是 与 具有相同的Hilbert维数.
