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1、题目：中国数学奥林匹克历届试题研究单位：广西桂林市第十八中学姓名：欧阳群壮 （邮编 541004 电话 0773 5828171）指导教授：张同君摘要： 对16届共计96道CMO试题，按几何、代数、数论和组合数学四大块进行研究，重点剖析题型内容、解题思路、数学思想方法、技能技巧及原理，并对命题特点及命题发展趋势进行了分析和探讨。引 言一、 CMO的几何问题 基本情况分析 题型内容、解题思路及考查情况分析二、 CMO的代数问题 基本情况分析 题型内容、解题思路及考查情况分析三、 CMO中的数论和组合数学 基本情况分析 题型内容、解题思路及考查情况分析四、 CMO命题特点及发展趋势 CMO命题特点
2、1. 命题要求1.1 命题内容的科学性 1.2 题型结构的新颖性1.3 功能的选拔性 1.4 解法的灵活性2. 命题途径2.1 成题改编 2.2 高等成果初等化2.3 历史名题再生 2.4 构造模型 命题发展趋势1. 几何1.1 几何计算 1.2 数量和难度2. 代数2.1 数形结合的趋势 2.2 构造、设计、猜测、实验和归纳能力3. 数论3.1 数论中的离散极值 3.2 数论题的难度4. 组合数学4.1 数量分析 4.2 难度对比4.3 组合数学中的离散极值中国数学奥林匹克历届试题研究广西桂林市十八中 欧阳群壮中国数学奥林匹克（CMO）又称全国高中数学冬令营，它是在全国高中数学联赛的基础上进
3、行的一次我国中学生在国内参加的最高级别的数学竞赛。1985年，由北大、南开、复旦和中国科大这四所名牌大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行中国数学奥林匹克（CMO）。CMO邀请各省市在全国高中数学联赛中的优胜者参加，参加人数约100人，其分配原则是每省市至少一人，然后设立分数线，每个省市一般不超过6人。CMO为期一周（5天），第一天为开幕式，第二天、第三天考试，第四天听学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。同时，也有对优胜者予以免试推荐直升名牌大学的奖励。CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为1
4、26分。题目难度接近IMO，高于全国联赛第二试。颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，而且一、二等奖颁发金、银奖牌，分数最高的约20名学生组成奥林匹克数学国家集训队，从三月下旬起进行为期一个月左右的集训。从1990年开始，CMO设立了陈省身杯团体赛，以参赛省、市为单位，记三名参赛队员的总成绩为各省市团体成绩。中国数学奥林匹克竞赛是中国中学生最高级别的、最具规模、在国内外最有影响的数学竞赛，自1986年至今已举办了16届，就其试题内容而言，通常分为几何、代数、数论和组合数学等，但是有些试题往往同时涉及几个学科的知识，互相交叉，难以细分，因此只能给出一个比较粗糙的分类，下面我将对CMO试题按几何
5、、代数、数论和组合数学、命题特点及发展趋势进行分类研究。一、 CMO的几何问题迄今，CMO举行的16届中，几何问题是最基本，也是最重要的内容之一，每届都有12道几何题，除3道立体几何题外，全部是平面几何题，下面就CMO举办16年来，对几何问题从几个方面作一概要的探讨。（一）、基本情况分析年份86878889909192939495969798990001平几数量2111111120222111立几数量0110000001000000题号2，42，52，5411431，641，62，41，51111、 从表中可以看出，16年的96道竞赛题中有23道几何题，约占全部CMO试题的24%，这一点足以说
6、明其份量。2、 按常规，每届CMO的赛题的难度分布为：1、4两题为C级题，较易；2、5两题是B级题，中等难度；3、6两题是A级难题。从上表可知，C级题共13题，B级题共7题，A级难题共3题，较易题占56.5%，中等难度题占30.5%，难题仅占13%。3、 16届中有9届为1道几何题，除93年为A级难题外，余下8届均为C级较易题，尤其近三年都把它放在第1题，属送分题。有7届是考两道几何题：86年、97年、98年是一个C级题、一个B级题，87年、88年均为2个B级题；94年、96年都是一个C级题、一个A级题。4、 据竞赛大纲与考纲要求，CMO为模拟IMO考试，其整体难度略低于IMO，即从低处往高处
7、向IMO靠拢。但这里所说的难度主要是指A级题的难度，决不是所有题的难度都要低些，特别是几何题的难度并没低于IMO的难度。从历届CMO几何题的数量与难度分析是与IMO一致的。5、 16届中平面几何试题共20道，占几何题的87%，立体几何题共3道，仅占13%，除87年、88年、95年各考1道立体几何题外，均考平面几何题。这似乎与我国高中课程设置不太相称，但这更体现向IMO试题靠拢，因近10年IMO考了14道几何题，全是平面几何题。6、 23道几何题中，有8届即12道题是命题组命制（无资料查询是谁提供），另11道题见下表：年份92939596979820002001题号4341，62，41，511命
8、题人吴伟朝黄宣国黄宣国罗增儒张富创张筑生 李胜宏黄宣国杨路许以超黄宣国从上表可知，黄宣国教授提供的几何题最多，11道提供了4道，其中有3道是C级题，1道A级题，余下7道分别由7位有名的数学家、教授提供。（二）、题型内容、解题思路及考查情况分析（见下表）时间题号题型内容思路、数学思想、方法、技能技巧及原理1986年2平几对角分类讨论题巧妙设定角参数，利用角与m的关系及角的范围确定m的范围是本题解答的一大特色，其中活用了三角函数公式、函数增减性等知识，另外作ABC外接圆O，F为BC中点，Q为OF与O交点，将命题转化为OF，O的关系求解更简便。分类讨论思想。 4平几中与面积有关的问题考查抽屉原则、分
9、类讨论思想。从特殊情况入手（P3P4P1P2），再将一般情况转化为特殊情况，是常用的一种数学解题思想。1987年2平几计数问题充分利用已知条件，导出一些小结论为解题铺平道路，对正三角形两次旋转叠加求和之法，巧妙至极！5立体几何球与四面体综合题“圆幂”与“球幂”的类比相似性质、切线长定理、“空间”转化“平面”，侧重化归转化思想，考查空间想象能力、数形结合思想。1988年2几何不等式巧用拓广托勒密定理证明，对确定等号成立的条件分析要细，且证法多样。5立体几何四面体与球的问题考查对称性原理，由、的中垂面交于一点外心，及位似变换可得的中点昌四面体的外心，是解本题的突破口，考查空间想象力及“空间”转化为
10、“平面”的思想。1989年4平面几何图与三角形纯平几法，利用位似知识，内切圆性质及切线长定理的妙用。1990年1平面几何圆与四边形关键在于证明，反复应用切割线、相交弦定理和圆幂定理，从条件和结论两个方面入手用逐步逼近法。1991年1平面几何中的面积问题面积法，分类讨论思想。勿漏！四边形内、外，且两种情况是分别独立的。1992年4平几圆与多边形问题辅助圆法，巧用三个相交圆的性质。本题与85年IMO一题类似。只要找出O、A、D、Q四点共圆，大功就告成。1993年3几何不等式割补法是求面积的好方法，利用圆幂定理证明：，是关键！活用重要不等式进行放缩，数形结合思想。1994年1几何不等式证明第一问，利
11、用面积与边长、面积与面积之间的关系导出一些等式，再用均值不等式证明；第二问需构造一个具体的反例。6组合几何由切线长相等和勾股定理列方程，巧妙作中心对称变换，将M与O对换，大大简化运算量，化为转化思想与方程思想，将原题转化为方程解的个数问题。另解：解析法。1995年4立几球与四面体空间转化为平面问题，利用对称性，按几何关系建立方程求解，考查空间想象能力，化归转化思想、方程思想、数形结合思想1996年1平几中的三点共线问题利用园幂定理，推证四点共圆是关键，证明三点共线常用：1、证明其中二点重合；2、解析法（本题用解析法证明简单）6组合几何极值从简单入手，先对正三角形求极值再证一般情况下的值小于这个
12、值，从特殊到一般的方法，并巧用函数法和枚举法1997年2平几四边形有关序列考查细心的观察能力：分析变换中哪些量未变（顺序可变），旋转位似变换，突破口在周期性；举例论证4平几三点共线问题条件很隐蔽，挖掘：，利用三角形的高证明其中两点重合，巧用四点共圆性质，构造思想。1998年1几何求值巧用Euler公式及几何关系建立方程组，利用正弦定理和三角变形化简求解，三角法，数形结合思想。5纯几何判别点的位置问题很隐蔽，重心满足要求，利用Ptolemy不等式，两次用托勒密定理；亦可用复数法证明1999年1平几中与三角形和圆有关问题构造一个简单结论，点P是UVW的重心UPVW，且VPW=UVW，巧用此法证明，
13、构造思想。2000年1平几三角形与圆问题正弦定理，三角变换，函数增减性，三角法2001年1平几最值问题割补法、三角法，建立目标函数，三角变换，利用函数增减性求最值，化归转化思想、数形结合思想1、从上表可知：23道几何题中，纯平几8题，几何不等式7题，组合几何5题，立体几何3题。就具体技巧而言，要具有从图中找结论的能力，要能够作出适当的辅助线，几乎所有的证明题都需要作辅助线，这等于优化了条件，从而可以利用图形的某些性质，得出结论。要善于作辅助线，非朝夕能做到，需长期训练，形成一种数学直觉才成。2、平几中重要的圆与三角形、圆与多边形、几何不等式、三点共线，球与多面体等内容反复考查；重要的数学思想；
14、化归转化思想，数形结合思想，构造性思想，分类讨论思想，函数与方程思想以及常用的数学方法、综合法、几何法、三角法、解析法、割补法、面积法等反复应用二、 CMO中的代数问题CMD中的代数问题常常与数论问题、组合问题、几何不等式与极值问题交织在一起，难以分辨，经粗略统计、划分，代表问题在16届中共有39题，占全部CMD试题的40.6%，这足以说明，代数问题是CMD试题中份量最重的一个部分。（一） 基本情况分析年份86878889909192939495969798990001数量2134333323232212题号1、311、3、41、2、3、63、4、52、4、51、2、62、4、63、41、2、33、51、5、62、62、522、61、 从上表可知：39道代数题中，C级题共12道；B级题共14道；A级题共13道，即较易题占31%，中等难度题占3
