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1、二项式定理 （第一课时 ） 授课对课对 象：高二 课时课时 ： 2 课时课时 课课型：新授课课 选选用教材：人教A版选选修2-3 授课课教师师：三门门峡市一高 姜小锐锐 牛顿：被誉为人类最伟大的科学家之一，他不仅是物理学 家，天文学家，还是一位最伟大的数学家。1664年，年 仅22岁牛顿就在数学界有了第一项创造性成果，就是发现 二项式定理。 1.3.1 二项式定理 l理解二项式定理，会利用二项式定理求 二项展开式。 l掌握二项展开式的通项公式，会应用通 项公式求指定的某一项。 l会正确区分二项式系数与项的系数，会 求指定项的二项式系数和系数。 问题问题 1 ： ? 问题问题 2： 你能否判断(
2、3 x2 )10的展开式中是否包含常 数项？ 它研究的就是 (ab)n 的展开 式的一般情形。 n C r (ab)2 a22ab b2 (ab)3a33a2b3ab2 b3 (ab)4 (ab)3 (ab) ( a33a2b3ab2b3 )(a b) (ab)2 ( a b ) ( a b ) a2a b ab b2 a22ab b2 (ab)3( ab )( ab )( a b ) a33a2b3ab2 b3 a3a2bab2b3 共有四项 a3 : a2b: 同理，ab2 有 个； b3 有 个； 每个括号都不取b的情况有一种，即 种， 相当于有一个括号中取b的情况有 种 ， 所以a2b
3、的系数是 所以a3的系数是 (ab)2 a22ab b2 (ab)3a33a2b3ab2 b3 a3 a2b ab2 b3 (ab)4(ab) (ab) (ab) (a b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 一般地，(ab)n(ab) (ab) (ab) (ab) an an-1b an-2b2 an-3b3 an-rbr bn该公式称为二项式定理。 3）每一项的系数（r=0，1，2，n）叫做该项的二项式系数。 4）叫做二项展开式的通项，表示第r+1项，记作Tr+1。 其右端的多项式叫做(ab)n的二项展开式 。 2)共有n+1项。a由n递减到0； b由0递增到n单项式的次数为n. n项
4、 1)每一项是关于a和b的n次幂，每一项都是有 aibj 构成，i+j=n ? n C r 2)问题1： 解：根据二项式定理，取a=1,b=1 (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n 1）若取a=1，b=x则得一个重要公式： (1+x)n= 1n + x+ x2+ xr + xn a,b可以是单项式，也可以是多项式 3)思考：若取a=1，b=-1时，又推出什么结论？ 二项项式定理： (ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项项公式（第r+1项）： Tr+1C an-rbr ；其中 C 称为第r +1项的二项
5、式系数。 解： 例1：展开(x2 +2x+1)2 练习(1)：展开(1 -x)n (1-x)n= Cn0 +Cn1(-X )+ Cn2(-X)2 + Cnr (-X)r +Cnn (-X)n 解： 解：a1，b2x，n7 根据通项公式Tr1 anr b r 得 T4 T3 +1 280 x3 二项项式定理： (ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项项公式（第r+1项）： Tr+1C an-rbr ；其中 C 称为第r+1项的二项式系数。 35 Cn r 例2、求(1+2x)7的展开式中的第四项，并指出它的 二项式系数与系数。 173 (2x)3 3
6、 C 7 23 x3 3 C 7 它的二项式系数是3 C 7 系数为280 解：根据二项式定理，取 a3x2，b 的通项公式是 310 r x20 2r (1)r x 令 20 0 r8rN 的展开式中第9项为常数项。 C10 r (1)r 310 r x20 C 10 r Tr1 (3x2)10r( )r C10 r 问题2： 二项项式定理： (ab ) n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项项公式（第r+1项）： Tr+1 C 练习(2)： 求(x1/x)9的展开式中x3项的系数和二项式系数。 an-rbr ；称为第r+1项的二项式系数。 解:(x1/x
7、）9的展开式的通项是 Tr1x9r(1/x)r(1)r 由题意知 92r3 r3 于是x3项的系数是: 其中 C x92rC r 9 r C 9 (1)3 84 3 C9 二项式系数为 = 84 3 C 9 二项式定理展开式中a与b是用“”连接的，即 (ab)n an an1b anrbr bn，在实际运用时注意正确选择a、b。 通项公式Tr+1 C an-rbr 是指第r1项， r+1项的二项式系数。 其中 C 称为 第 （见例2） 注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例2） n Cr P37 习题1.3 4，5 2.在 的展开式中 x的系数为（ ） A160 B240 C360 D800 1.求（1+ x+ x2） (2-x)10展开式各项的系数和。 选做题：
