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1、数列极限的求法及其应用2012年 9 月 28 日内 容 提 要 数列极限可用语言和语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限On the Solutions
2、 and the Applications as to the Sequence LimitName: Yang NO. 07The guidance of teachers: Dong Titles: LecturerAbstract The limit of a sequence can be accurately defined by language and language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of seq
3、uence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction meth
4、od, etc. Well also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market
5、 operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.Key Wordsdefinition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits目 录第一章 数列极限的概念11.1 数列极限的定义及分类11.2 数列极限求法的常用定理2第二章 数列极限的求法42.1 极限定义求法42.2 极限运算法则法52.3 夹逼准则求法62.4 单调有界定理求法82.5 函数极限法92.6 定积分定义法102.7 Stoltz公式法112.8 几何算术平均收敛公式法122.9 级数
6、法132.10 其它方法15第三章 数列极限在现实生活中的应用173.1 几何应用-计算面积173.2 求方程的数值解183.3 市场经营中的稳定性问题193.3.1 零增长模型193.3.2 不变增长模型203.4 购房按揭贷款分期偿还21第四章 结 论23致 谢24参考文献24数列极限的求法及其应用学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师第一章 数列极限的概念 在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类 数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公
7、元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大（）时，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限. 针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：定义，定义.定义1（语言）：设是个数列，是一个常数，若，正整数，使得当时，都有，则称是数列当无限增大时的极限，或称收敛于，记作，或.这时，也称的极限存在.定义2（语言）：若,正整数，使得当时，都有,则称是数列当无限增大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限. 对于的定义类似，就
8、不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若和为收敛数列，则也都是收敛数列，且有 若再假设及，则也是收敛数列，且有 .定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（Stoltz公式） 设有数列，其中严格增，且（注意：不必）.如果 （实数，），则 定理1.2.3（Stoltz公式） 设严格减，且，.若 （实数，），则 .定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设，则（1） ，（2） 若，则.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时
9、，有 ，则数列收敛，且.定理1.2.6（归结原则）设在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.第二章 数列极限的求法2.1 极限定义求法 在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例2.1.1 求，其中.解：.事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则. 由 ,得 . （5）任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.对于的情况，因，由上述结论知，故 .综合得时，.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由，则，存在，使当时，有 ,则 .令，那么 .由，知存在
10、，使当时，有.再令,故当时，由上述不等式知 .所以 .例 2.1.3 求.解：. 事实上，.即.对，存在，则当时，便有所以.注：上述例题中的7可用替换，即.2.2 极限运算法则法 我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例2.2.1 求,其中.解：分子分母同乘，所求极限式化为 .由知，当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 例2.2.2 求，其中.解: 若，则显然有；若，则由得 ；若，则 .2.3 夹逼准则求法 定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个
11、求极限的工具.例2.3.1 求极限.解：因为 ，所以 .因 ，再由迫敛性知 .例2.3.2 求数列的极限.解： 记，这里，则 ,由上式得 ，从而有 , （2）数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得 .例2.3.3 设及，求.解：.事实上，先令，把写作，其中.我们有 .由于，可见是无穷小.据等式 ，注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 .2.4 单调有界定理求法 有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.例2.4.
12、1 求例2.1.3注解中的.解：.事实上，令.当时， .因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限存在，在等式的等号两边令，得到,所以为无穷小.从而 . 例2.4.2 求极限（个根号）.解：设， 又由，设，则.因，故单调递增.综上知单增有上界，所以收敛.令由，对两边求极限得，故.2.5 函数极限法 有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求.解：先求，因,再由归结原则知.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求.解：先求.因，再由归结原则知.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及，求.解：先求.因（由洛比达法则），再由归结原则知.2.6 定积分定义法 通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求.解：令，则.而,也即，所以.例2.6.2 求极限.解：因为 ， ，类似地 ，由夹逼准则知 .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.2.7 Stoltz公式法Stoltz公式，在求某些极限时非常方便，尤其是当时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用定义法证明，现用Stoltz公式证明.令，则由Stoltz公式得到 .例2.7.2 求.解： （Stoltz公式）
