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1、7 形体的表面交线 7.1 形体上的投影及表面上的点和线 7.2 平面与立体相交 7.3 两立体相交 7.1 形体的投影 一、 常见的平面几何体 它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平面立 体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的平面形及 交线的投影。 1.作图： 作图时先画反映底面实形的那个投影 ，然后再画其它两面投影。 二、六棱柱体的投影 2.平面立体表面上的点： a a a (b) b b 平面立体表面上的点与平 面上取点的方法相同，要判别 投影的可见性。 W X H a O a c s b Y V b a c s A B C S Z （c ） b s a c b s a b c
2、s a（c ）b s 三棱锥的投影 直观图 三、三棱锥体的投影 展开 三棱锥体的投影图画法 a ab b c (c) a b c S SS k k k 1 1 表面上的点采 用辅助线的方 法作图。 三棱锥表面上的点 d d d /ab 作法一作法二作法三 s b s a ac b （n） s c a c b ( ) y1 n n y1 三棱锥体表面定点 四棱柱体表面定线 b y y b a c d a c ( )d c d a b 7.2 平面与立体相交 截切用一个与立体相交 的平面， 截去立体的一部分。 截平面用以截切立体的 平面。 截交线截平面与立体表 面的交线。 截断面因截平面的截切 ，
3、在立体上形成的平面。 截断面 概念： 截交线 截平面 截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面 与立体表面的共有线。 实质：求两平面的交线。 求截交线的方法 ： 空间分析：分析截平面与立体的相对位置，确定截交线 的形状。分析截平面与投影面的相对位置。确定截交线的投 影特性。 画投影图：求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的 交点，然后顺次连直线。 求各棱线与截平面的交点的方法是棱线法。 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 3 2 1 (4) 1 24 3 1 2 4 空间分析 交线的形状？ 3 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 76 例：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影
4、。 分析：由图可知 ，截交线的正面 投影积聚为一直 线。水平投影， 除顶面上的截交 线外，其余各段 截交线都积聚在 六边形上。 1 1 2 （3 ） 2 3 4 （5 ） 4 5 1 2 3 4 5 6（7 ） 6 7 完成后的投影图 例：作四棱柱被截切后的投影。 a (b) b a a b 分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。 B A 完成后的投影图 1 4 2（3） 1 2 3 1 4 3 2 例 求做立体被截切后的投影 例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
5、1 2 1(2) 、两点分别 同时位于三个面 上。 三面共点： 2 1 注意： 要逐个截平面分析和 绘制截交线。当平面体只 有局部被截切时，先假想 为整体被截切，求出截交 线后再取局部。 四棱锥切割体的投影 1 y 2 y 1 y 2 y 1 2(3 ) 4(5 ) 6 6 45 3 1 2 1 3 2 5 4 6 四棱锥切割体的投影 四棱锥切割体的投影 截平面 截交线 平面与平面相交画法 由立体的轴测图画三视图。 67 1 3 2 5 4 7 6 例 补全俯视图和左视图的投影 2 （3） 4 （5） 6（7） 1 例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 P 截交线的形状？ 1 54 32
6、8 76 截交线的投影 特性？ 2367 18 45 求截交线 1 5 4 7 6 3 2 8 分析棱线的 投影 检查截交 线的投影 平面与回转体相交 截交线的性质： 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。 截交线是封闭的平面图形。 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面相对于 回转体轴线的位置。 求截交线的方法和步骤： 分析回转体的表面性质、截平面与投影面的相对位置、截 平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投 影特性。 求出截交线上的点，首先找特殊点，然后补充一般点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得到截交线的投影。 一、平面与圆柱体相交 1、
7、截平面与圆柱轴线平行 截交线为矩形 2、截平面与圆柱轴线垂直 截交线为圆 3、截平面与圆柱轴线倾斜 截交线为椭圆 例:求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影. 分析:该圆柱被侧平面截 切后,侧面投影为矩形;被 水平面截切后,水平投影 为圆. 轮廓线要不要？ 例、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。 平面与圆柱相交 由于平面与圆柱的轴线 斜交，因此截交线为一椭圆 。截交线的正面投影重影为 一直线，水平投影与圆柱面 的投影重影为圆。侧面投影 可根据圆柱表面取点的方法 求出。 具体步骤如下： （1）先作出截交线上的 特殊点。 （2）再作出适当数量 的一般点。 （3）将这些点的投影 依
8、次光滑的连接起来 。 1 1 6（7） 8 4 5 4 （5） 1 4 5 2 2 （3）2 6 73 6 （4）补全侧面投影中 的转向轮廓线。 3 7 8 8 例题 求圆柱截交线 7 6 1 11 5 4 8 8 8 3 2 5 4 67 6 7 45 23 2 3 解题步骤 1 分析 截交线的水平投 影为椭圆，侧面投影为圆 ； 2 求出截交线上的特殊点 、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、 、； 4 光滑且顺次地连接各点 ，作出截交线，并且判别 可见性； 5 整理轮廓线。 比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。 平面与圆柱相交 45 45 =45 yy yy 圆柱切割体的投影
9、1 23( ) 4 5 ( ) ( ) 6 7 7 5 1 4 6 3 5 79( ) 8 9( ) 98 2 68( ) 1 4 3 2 圆柱切割体的投影 圆柱切割体的投影 例：求左视图 虚实分界点 例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。 分析：圆柱的轴线是侧垂 线，截断体分别由侧平面 、正垂面、水平面截切圆 柱体而成的。 侧平面与圆柱轴线垂直， 截交线为圆弧，其正面投 影为直线，侧面投影为圆 弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜， 截交线为部分椭圆，正面 投影为直线，侧面投影与 圆重合。 水平面与圆柱轴 线平行截交线为矩形，正 面、侧面投影均直线。 1 1 2 2 (3) 2 3 3 4
10、(5) 4 4 5 5 6(7 ) 7 6 6 7 8 (9 ) 89 8 9 a (b ) a b a b 1 完成后的投影图 2 例：求开槽圆柱的左视图。 分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线。另一个截 平面是垂直于圆柱轴线的水 平面，它与圆柱面的截交线 为两段圆弧。三个截平面间 产生了两条交线，均为正垂线 。 1（2 ） 1 3（4 ） 4 5（6 ） 5 6 6 5 3 1 3 4 2 完成后的投影图 例题 求圆柱截交线 解题步骤 1 分析 截交线的 水平投影为已知， 侧面投影为矩形、 椭圆和直线的组合
11、； 2 求出截交线上的 特殊点、 、 、； 3 求一般点； 4 顺次地连接各点 ，作出截交线，并 且判别可见性； 5 整理轮廓线。 3 3 1 12 2 4 4 5 5 3 2 5 14 1 2 (11) 3 (10) 7 6 （8） (9) (7) 1 (8) 11 (6) 2 3 (5) (9) 10 1 2 11 (10) 3 95 8 67 已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影 截平面垂直于 圆锥的轴线 截交线为圆 截平面为圆 = 90 二 平面截圆锥 截平面倾斜于圆锥的轴线 截交线为椭圆 截平面为椭圆 = 截平面平行一条素线 截交线为抛物线 截平面为抛物线与直线组成的封闭图形 截
12、平面与轴线平行 截交线为双曲线 截平面为双曲线与直 线组成的封闭图形 截平面通过锥顶 截交线为两条直线 截平面为三角形 根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。 过锥顶 两相交直线 PV 圆 PV = 90 PV 椭圆 抛物线 PV = 双曲线 PV = 0 例、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。 平面与圆柱相交 此种截交线为一椭圆 。由于圆锥前后对称，故椭 圆也前后对称。椭圆的长轴 为截平面与圆锥前后对称面 的交线正平线，椭圆的 短轴是垂直与长轴的正垂线 。 A B D C 正平线 正垂线 A B D C 正平线 正垂线 平面与圆锥相交 具体步骤如下：
13、（1）先作出截交线上的特殊点 。 a b ab a b kl k l c(d ) d c （2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 （4）补全侧面转向轮廓线 。k l c d 平面与圆锥相交 A B D C 正平线 正垂线 完成后的三视图 补充例题 求圆锥截交线 解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影为椭圆和直线 的组合，侧面投影为 椭圆和梯形的组合； 2 求出截交线上的特 殊点、 、 ； 3 求出一般点、 ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 wP HP 正平面P截割圆锥的截交线 3 1 45 2 3 ( )5
14、4 ( )2 1 143 52 平面与圆锥相交 a l k c d a kl c(d ) l a k c （1）先求特殊点 。 （2）再求一般点 。 （3）依次光滑连接各点 。 d AC D K L 具体步骤如下： 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。 例：已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。 分析：顶尖头是由相连的 圆锥体和圆柱体被两个平 面截切而成，轴线为侧垂 线，截平面分别为侧平面 和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直 ，与圆柱的截交线为圆弧 ，正面投影为直线，侧面 投影为圆弧的实形。 水平面与圆柱的截交 线为开口矩形，与圆锥的 截交线为双曲线，其正面 和侧面投影均 为直线 。 a b (c) a a b c b c
