《现代控制理论5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Ch.5 Ch.5 Ch.5 Ch.5 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性 分析分析 目录目录(1/1)(1/1)(1/1)(1/1) 目目 录录 概述概述 5.15.15.15.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 5.2 5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 5.3 5.3 5.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 5.4 5.4 5.4 5.4 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 5.5 5.5 5.5 5.5 MatlabMatlabMatlabMatlab问题问题 本章小结本章小结 非线性系统的李雅普诺夫稳定
2、性分析(1/4) 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4) 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对
3、其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4) 对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如, 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法) 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性
4、近似法)、鲁立叶法等。 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4) 由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法 变量梯度法变量梯度法 阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法 克拉索夫斯基法(1/7) 5.4.1 5.4.1 5.4.1 5.4.1 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法 设非线性定常连续系统的状态方程为 对该系统有如下假设: 1)1)1)1) 所讨论的平衡态
5、x x x xe=0; 2)2)2)2) f f f f(x x x x)对状态变量x x x x是连续可微的,即存在雅可比矩阵 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。 )()(x x x xf f f fx x x x=t x x x xx x x xf f f fx x x x=/ )()(J 克拉索夫斯基法(2/7) 定理定理5-115-115-115-11 非线性定常连续系统的平衡态x x x xe=0为渐近稳定的充 分条件为 为负定的矩阵函数,且 为该系统的一个李雅普诺夫函数。 更进一步,当|x x x x|时,有|f f f f(x x x x)|,则该平衡态
6、是大范围 渐近稳定的。 ( ) ( )( )JJJ =+xxxxxxxxxxxx ( )( ) ( )V =xx xfx f xxx xfx f xxx xfx f xxx xfx f x )()(x x x xf f f fx x x x=t 证明证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为 则其导数为 ( )( ) ( )V =xx xfx f xxx xfx f xxx xfx f xxx xfx f x 克拉索夫斯基法(3/7) 由于 为系统的一个李雅普诺夫函数,即 正定。 因此,若 负定,则 必为负定。 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态x x x xe=0是渐近稳 定的。 )()(
7、x x x xf f f fx x x x=t ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V JJ J = =+ =+ = xfx f xxfx f xxfx f xxfx f x f xf xf xf xf xf xf xf x xf xfxxxf xfxxxf xfxxxf xfxx xxxxxxxx fxx f xfxx f xfxx f xfxx f xfxx f xfxx f xfxx f xfxx f x fxx f xfxx f xfxx f xfxx f x ( )( ) ( )V =xfx f xxf
8、x f xxfx f xxfx f x ( ) ( ) fx f xfx f xfx f xfx f x )( x x x xJ)()( )(),(x x x xf f f fx x x xx x x xf f f fx x x xJtV = ( )( ) ( )V =xx xfx f xxx xfx f xxx xfx f xxx xfx f x 克拉索夫斯基法(4/7) 在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统 由于 不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。 可见,该
9、定理仅是一个充分条件判别定理。 11 22 01 27 xx xx = 01 ( ) ( )( ) 114 JJJ =+= xxxxxxxxxxxx 克拉索夫斯基法(5/7) 若V(x x x x)=f f f f(x x x x)f f f f(x x x x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x x x x=0 时,才有V(x x x x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态x x x xe=0是渐近稳定 的条件是J
10、(x x x x)+J(x x x x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x x x x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f f f f(x x x x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。 克拉索夫斯基法(6/7) 例例4-124-124-124-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性: 解解 由于f f f f(x x x x)连续可导且 可取作李雅普诺夫函数,因此,有 + = 3 221 21 3 )(
11、xxx xx x x x xf f f fx x x x 0)()3()()( 23 221 2 21 +=xxxxxx x x xf f f fx x x xf f f f = = 2 2 311 13 )( )( x J x x x x x x x xf f f f x x x x =+= 2 2 622 26 )()()( x JJJx x x xx x x xx x x x 克拉索夫斯基法(7/7) 由塞尔维斯特准则有 故矩阵函数 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 态x x x xe=0是渐近稳定的。 2 1222 2 62 60,3680 226 x x = ( ) J x x
12、 x x 变量梯度法 (1/10) 5.4.2 5.4.2 5.4.2 5.4.2 变量梯度法变量梯度法 舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。 设非线性定常连续系统的状态方程为 且所讨论的平衡态为原点,即x x x xe=0。 )()(x x x xf f f fx x x x=t 变量梯度法 (2/10) 设所找到的非线性系统的判定平衡态x x x xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为V(x x x x),它是x x x x的显函数,而不是时间t
13、的显函数,则 V(x x x x)的单值梯度gradV存在。 梯度gradV是如下定义的n维向量: 舒尔茨和吉布生建议,先假设gradV具有某种形式,并由此 求出符合要求的V(x x x x)和V ( x x x x)。 11 d grad ( ) d n n V xV V V VV x = x x x x x x x x 变量梯度法 (3/10) 由 可知,V(x x x x)可由gradV的线积分求取,即 式中,积分上限x x x x是状态空间的一点(x1,x2,xn)。 由场论知识可知,若梯度gradV的n维旋度等于零,即 rot(gradV)=0,则V可视为保守场,且上式所示的线积分与
14、路 径无关。 1 1 ( )(grad ) n n VV VxxV xx =+= xxxxxxxx = = x x x xx x x x x x x xx x x x 0 1 0 dd)grad()( n i ii xVVV 变量梯度法 (4/10) 而rot(gradV)=0的充分必要条件是: gradV的雅可比矩阵 是对称矩阵,即 当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故 可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分 grad ( ) i j n n V V x = x x x x x x x x ,1,2, j i ji V V i jn xx = 00 1 ( )(grad ) dd(529) n ii i VVV x = = xxxxxxxx xxxxxxxx 12 11212 1122 ( ,0,0)( ,0,0)( ,) 000 ( )ddd n n xxx nn xx xx xx VVxVxVx=+ x x x x 变量梯度法 (5/10) 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1)1)1)1) 将李雅普诺夫函数V(x x x x)的梯度假设为 式中,aij(i,j=1,2
