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1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛试 题一、选择题(每小题5分,共30分)1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分(其中、分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率等于( )A、 B、 C、 D、2、已知三次函数,), 命题:是上的单调函数;命题:的图像与轴恰有一个交点则是的( ). A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为,则随机变量的数学期望的值为( ). A、 B、 C、 D、14、函数的最大
2、值为( ). A、 B、3 C、 D、 5、如图,边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角,M、N分别是线段AC和BF上的点,且,则线段MN的长的取值范围是( ). A、B、 C、 D、 6、设数列为等差数列,数列满足:,若 ,则数列的公差为( ). A、 B、1 C、2 D、4二、填空题(每小题5分,共30分)7、已知实数满足,则的取值范围是 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直,且,则使得向量与互相垂直的所有实数之和为 9、记实数等比数列的前项和为,若,则 10、设为实数,定义为不小于的最小整数,例如,关于实数的方程的全部实根之和等于 11、已知,其中为整数,则 12、已知
3、三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为 三、解答题(每小题20分,共80分)13、已知,若函数的最大值为,求的最小值14、已知函数在有最大值5,求实数的值 15、抛物线与过点的直线交于、两点(I)求直线的斜率的取值范围;(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程16、已知为实数,数列的前项和为,满足:,且对任何的正整数恒成立求证:当取到最大值时,对任何正整数都有解 答1、B. 提示:由题意得,解得2、A3、C. 提示:, ,于是. 4、C. 解法一 的定义域为,由,解得因为,
4、于是解法二 的定义域为,当且仅当,即时,取到最大值 5、B. 提示:过点M作MH/BC交AB于H,则,又AM=FN,AC=FB, ,NH/AF,NHAB,MHAB,MHN=60设AH=x(0x2),则MH=x,所以. 因此6、D. 提示: 于是,解得7、 提示:因为,等号成立当且仅当,即 8、1. 提示:由于=,即=0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为19、150. 提示:记,. 设为的公比,则构成以为公比的等比数列,于是即,解得或(舍去),故10、-4. 提示:设,则,于是原方程等价于,即,从而,即相应的为于是所有实根之和为11、提示:由条件知,于是,故12、. 提示:如图,因为
5、SA=SB=SC,所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心,即AB的中点H,同理O点在平面ABC上的射影也是ABC的外心H,即在等边SAB中,求OH的长,其中OA=OB=OS显然, 13、令,则,所以. 当时,有最大值,即所以,等号当且仅当时成立,当时,有最小值10 14、 令,则,从而令,由题意知在有最大值5.当时,在时有最大值5,故符合条件; 当时,矛盾!当时,矛盾!综上所述,所求的实数 15、(I)直线的方程为,与抛物线方程联立得,消去得,即,由,解得或 (II)设点坐标为,点坐标为,点坐标为,则,. 又、都在直线上,所以有,由得,化简得又因此,点在线段上,所以同号则. 因此 , , 由得代入得,即. 又因为或,所以的取值范围是且,因此点的轨迹方程是(且) 16、当时,由得. 当时,所以,即,所以,即 . 由条件知,对任何正整数恒成立,即对任何正整数恒成立,由于在时取最大值. 于是,解得由上式知道的最大值为 当时,于是 所以8