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1、第十章 应力状态和强度理论【能力目标、知识目标与学习要求】本章学习内容主要是帮助学生进一步理解、掌握应力状态和强度理论的概念，介绍应力状态的基本概念、平面应力状态、复杂应力状态以及强度理论的基本知识，重点是培养学生应用强度理论解决实际问题的能力（即作材料在复杂应力状态下的强度计算的能力）。第一节 应力状态的概念一、点的应力状态前面已经知道，当求杆件内任意一点的应力时，若用不同方位的截面截取，其应力是不同的。例如欲求图10-1a所示受轴向拉伸的杆件内A点的应力，如果用横截面m-m过A点截取（图10-lb），则该截面上有正应力，其值为 (a)(b)(c)图 10-1 = (a)式中A1为横截面面积
2、。若用斜截面n-n过A点截取，则该截面上既有正应力，又有切应力（图10-lc），其值为 （b） （c）式中为斜截面与横截面的夹角。又如对受扭转的圆轴（图10-2a）内任一点，若以横截面过该点截取一单元体，则该点在横截面上只有切应力（图10-2b），其大小为。但若以斜截面m-m过该点截取一单元体，则在斜截面上既有正应力，又有切应力（图10-2c），它们的大小为 （d） （e）图 10-2MeMemmmm 由上可知，要了解一点的全部应力情况，必须研究该点在所有斜截面上的应力情况，找出它们的变化规律，从而求出最大应力值及其所在截面的方位，为强度计算提供依据。FFF图 10-3图 10-4实践也证明了
3、这一工作的必要性，例如，图10-3所示的钢筋混凝土梁破坏时，除了在跨中底部会发生竖向裂缝外（该处横截面上由弯矩引起的水平正应力最大），在其他部位还会发生斜向裂缝。又如铸铁试样受压缩而破坏时（图10-4），裂缝的方向与杆轴成斜角。这些实例也说明，只有全面地研究了每一点的所有截面上的应力情况，才能知道构件在什么地方和什么方向应力最大，因而最危险。通过一个点的所有截面上的应力情况的总体，称为该点的应力状态。1、单元体研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。2、主应力和主平面（a）根据弹性力学的研究，任何应力状态，总可找到三对互
4、相垂直的面，在这些面上切应力等于零，而只有正应力（图10-5a）。这样的面称为主平面（简称主面），主平面上的正应力称为主应力。一般以，表示（按代数值）。3、应力状态分类图 10-5（a）（b）（c）（d）根据一点的应力状态中各应力在空间的不同位置，可以将应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。有一对面上总是没有应力者，称为平面应力状态；所有面上均有应力者，称为空间应力状态。如果三个主应力都不等于零，称为三向应力状态（图10-5a），如果只有一个主应力等于零，称为双向应力状态（图10-5b），如果有两个主应力等于零，称为单向应力状态（图10-5c）。在应力状态里，有时会遇到一种特例，即单元体的四
5、个侧面上只有切应力而无正应力（图10-5d），称为纯切应力状态。三向应力状态属空间应力状态，双向、单向及纯切应力状态属平面应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态，其它的称为复杂应力状态。本章主要研究平面应力状态。第二节 平面应力状态分析1、 解析法设从受力构件中某一点取一单元体如图10-6a所示，放在x-y坐标系里。作为一般情况，设其上作用有正应力和及切应力和，应力角标x和y表示其作用面的法线方向与x和y轴同向。现在来分析任意斜面上的应力情况，该斜面与x面（法线与x轴平行）成角（图10-6a中阴影面）。图10-6b示该单元体的正投影图。假想用一平面将单元体截开，取ade为脱离体，如图10-6
6、c所示，图上n为斜面的外法线，和为斜面上的未知正应力和切应力。脱离体ade在已知应力，和，及未知应力和的作用下处于平衡。所以可利用平衡条件来求它们之间的关系。在列平衡方程时，取斜面的法线n和切线t为投影轴，并令斜面面积为，于是x面和y面的面积和分别为 （a）根据 （b）分别有 （c） （d）yxabcdexnabcdeadeyyxn图 10-6(a)(b)(c)根据切应力互等定理有 （e）将关系式（a）和（e）分别代人式（c）和（d），经整理后有（10-1） （10-2）利用三角关系 （f）可以得到 （10-3） （10-4）式（10-3）和（10-4）就是计算平面应力状态下任意斜面上应力的基
7、本公式。应用式（10-3）和（10-4）时，正负号的规定为：正应力符号与前一样，即拉应力为正，压应力为负，切应力对单元体内任一点的力矩为顺时针转为正，逆时针转为负。斜面方位角自正x轴起，转到斜面外法线n止，以反时针转为正，顺时针转为负。图10-6c上的、均为正，为负。例10-1 图10-7a示一平面应力情况，试求与x轴成30度角的斜面上的应力。解：应用式(10-3)和(10-4)，式中的各应力值和a角分别为： =10MPa，=20MPa，=20MPa，=300，将上述数值代人式(10-3)和(10-4)，有Mpa=-4.82Mpa Mpa=5.67Mpa得负值，说明它与图10-7b上所设的方向
8、相反，即为压应力。为正值，说明它与图10-7b上所设的方向相同，为正切应力。10300x(a)yn3002020201020x300y (b)单位：MPa图 10-7300例10-2图10-8a示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力F作用。已知：F=100kN，l=2m，b=200mm，=400，求离左支座处截面上C点在斜截面n-n上的应力。Fnn400l/4l/4l/2Cb/2b/2zh/2h/2y 4000.591.070.4641.04(a)(b)(c)(d)单位：MPa图 10-8解：(1)先求出离左端处的剪力和弯矩（2）求C点所在横截面的应力和（3）应用式(10-3)和(10-4)。以和
9、分别代式中的和，得 两个应力均是负值，说明正应力是压应力，切应力的方向对单元体是逆时针转向的。相应的应力情况绘于图10-8d。2、应力圆法在10.2用解析法导出了斜截面上的应力公式(10-3)和(10-4)：这是两个以2为参变量的方程，现在设法消去2。为此，把式(10-3)改写成 （a）将式(a)和(10-4)的等号两边平方后相加，经整理后得 （b）这是一个以正应力为横坐标，切应力为纵坐标的圆的方程，圆心在横坐标轴上，其坐标为，半径为。现把此圆的作法叙述如下。xyn 图 10-9 设有一平面应力情况如图10-9所示，要求斜面上的正应力和切应力。为此，作一直角坐标系(图10-10a)，以横坐标轴
10、表示，向右为正，以纵坐标轴表示，向上为正。根据图10-11所示应力情况，按应力的比例尺，在横轴上量取，正值向右，负值向左；以同样的比例尺由、两点沿纵轴方向分别量取，正值向上，负值向下；以的中点D为圆心；以为半径作圆。圆上点的两个坐标值即代表单元体上法线为的平面上的正应力和切应力；线的位置即代表单元体上的轴，以此起始量取2角。此圆称为应力圆或莫尔圆。容易证明，欲求为任意角的斜截面上的应力和 (图10-9)，只要在圆上自线起(图10-10b)，与角同向，转一圆心角2，得线，E点的两个坐标和即代表面上的两个应力和。现证明如下。令圆心角，于是由图可有下列关系：= (c) 由公式(10-3)知此即为值。
11、再有 =( = = (d)由公式(10-4)可知此即为值。这样，就证明了上述图解法是正确的。利用应力圆，可以确定应力的极值(极大值和极小值)及其作用面的方位(图10-10c)。圆|上最右的点B1和最左的点B2，它们的横坐标为最大和最小值，而纵坐标等于零，所以这两点即代表最大正应力和最小正应力，从图上可得它们的值为 (e) (f)将它们合并写在一起，为式中，根号前取“+”时，得，取“-”时，得。此及上节的式（10-8）。由图可知该两点的纵坐标都等于零，这表明在和作用的面上，切应力必等于零。这样的面称为主平面，其上作用和称为主应力(10.1)。现确定主应力作用面的方位，例如要确定作用面的方位角，可
12、以从基线CD起始(图10-12c)，顺时针转到DB1线，即得2角，根据前面的规定，顺时针转为负角，所以有或与上节的公式(10-6)和(10-7)相同。x(e)x(d)图 10-10ODB2ACC(c)AG2G1ODFACCE(b)(a)OB2ADACCB1由上式可知有两个相差的根，即有两个相互垂直的面。但是，哪个面上作用的是呢?由圆可得判别的规则如下：(1)若，则线必在右半圆，由此可知|2|，即|；(2)若，即|；(3)若=，则线与圆的竖直半径重合，于是有2 =，即=，至于是+还是-，则需视的正负而定：若0，则=-；若0，则=+。由图可知，与相差的那个面即为的作用面，设为，于是有 =相应的主应力情况绘于图10-10(d)。现在求切应力的极值，圆上最高点G1和最低点G2即代表最大切应力和最小切应力。它们的绝
