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1、连续-非连续性岩体的数值方法 沈振中 水利水电工程学院 主要内容 概述（岩体数值方法） 非连续岩体数值方法 模拟裂缝扩展 算例和应用 一、岩体的数值方法 适用于连续介质 有限差分法（FDM ） 有限单元法（FEM ） 边界单元法（BEM ） 半解析元法 无限元法（IFEM ） 数值流形方法（NMM ） 无单元法（EFM） 适用于非连续介质 刚体极限平衡法（LEM） 刚体界面元法（RBSM） 关键块理论（KBT） 离散元法（DEM） 离散有限单元法（DFEM） 非连续变形分析（DDA） 数值流形方法（NMM） 无单元法（EFM） Discretization concepts -1 Faults
2、 Joints Fig. 1-1 The fractured rock mass Discretization concepts -2 Fig. 1-2 The continuum-based approachFDM or FEM Joint element Discretization concepts -3 Fig. 1-3 The continuum-based approachBEM Region1 Region3 Region4 Region2 Discretization concepts -4 Fig. 1-4 The discontinuum-based approachDEM
3、 Blocks Table 1-1 Numerical methods in modeling jointed rock mass InvestigatorYearDimensionsType of constraints Cundall19712DEM (explicit) Burman19712explicit Chappel19722explicit Cundall19762explicit Hocking, Kawai et al.19772explicit Lotstedt19792implicit Cundall19802explicit Dowding et al.19832ex
4、plicit Belytschko19842explicit Hocking et al.19853explicit Shi and Goodman19882DDA (implicit) Cundall19882explicit Ghaboussi et al.19902explicit Lin19903explicit Shi19922NMM (implicit) Wang & Garga19932explicit Shi20013DDA (implicit) 图1-5 分析方法与Q值的关系（Barton，1995） Q为岩体分类的一个指标： 当Q100，基于连续介质的计算方法（如：FEM）
5、 当Q=0.1100，基于连非续介质的计算方法（如：DEM） 樱井建议： 岩体工程数值分析 方法的选用，不仅 要根据岩体内部的 非连续性特点，还 要根据结构的尺寸 效应。 二、非连续岩体的数值方法 刚体极限平衡法(LEM) 刚体界面元法(RBSM) 关键块理论(KBT) 离散单元法(DEM) 离散有限单元法(DFEM) 非连续变形分析(DDA) 数值流形方法(NMM) 无单元法(EFM) 图2-1 非连续块体位移示意图 1、刚体极限平衡法(LEM) Limit Equilibrium Method是对岩体的简化系统进行极限平衡分析。理论 简单，概念清晰。 图2-1-1 刚体极限平衡法示意图（H
6、oek & Bray, 1977） (Limit Equilibrium Method) 刚体极限平衡法(LEM)的改进 Sarma提出了对滑坡体进行斜分条的改进极限平衡法，沿 滑坡体进行斜分条，以模拟断层节理等不连续面，且假定 条块侧面也达到了极限平衡，这样通过静力平衡条件即可 唯一地确定边坡的安全系数与超载系数。Donald和陈祖煜 将Sarma的静力平衡方程转化为微分方程，并通过求解该 微分方程的闭合解得到边坡的安全系数。 2、刚体界面元法（RBSM） 由Kawai于1976年提出，最初被用于梁板结构。Kawai 认为刚架结构的抗弯刚度远小于其法向刚度，因而假定其轴 向刚度为无穷大，轴向
7、变形可以忽略不计。在两个刚性杆中 用转向弹簧连接作为模拟梁的基本单元，在两个刚性三角板 中间用转动弹簧连接作为模拟板的基本单元，从而较多地减 少了自由度。 Kawai于1977年推广到平面应变问题中，根据节理划分 单元，认为每个单元是刚性的，相邻单元通过接触面中点的 法向、切向和转动弹簧相连，从而用来分析线性或几何非线 性问题。比较接近刚体界面元法了(Rigid Body Spring Method)。 Belytschko 于1986年提出了分析节理岩体的刚体界面 元法，该法要求块体之间接触关系保持不变，且为边边接触 模式，这种模型只局限于研究节理岩体的小变形问题。 图2-2-1 具有2个三
8、角形单元的刚体界面元示意图(Kawai,1977,1991) （Rigid Body Spring Method） 图2-2-2 变形后两个单元的相对位置（RBSM） 3、关键块理论(KBT) 在洞室、露天边坡及基础等岩体工程中，常发生某些被节理 裂隙完全分割的块体滑落，这些本身在几何形状上具备滑动 可能的块体称为关键块。 关键块理论（Key Block Theory）由石根华和Goodman 提出并发展，它适用于切割体为凸体的情况，只能分析滑动 而不能考虑倾倒转动，分析力的作用时采用静力平衡公式。 关键块理论中关键块的寻找是其关键，整体系统的稳定以分 析关键块的稳定为判别标准。 4、离散单元
9、法（DEM） 离散元法(Distinct Element Method)是Cundall于1971年 提出来的。它也像有限元那样，将区域划分成若干单元， 单元之间可以看成是角角接触、角边接触或边边接 触，由于单元受节理等不连续面控制，在以后的运动过程 中，单元节点可以分离，且随着单元的平移和转动，允许 调整各个单元之间的接触关系。单元之间相互作用的力由 力和位移的关系求出，单元的运动则完全根据单元所受的 不平衡力和不平衡力矩的大小按牛顿定律确定。块体单元 可能达到平衡状态，也可能一直运动下去。 图2-4-1 离散元法未知量示意图（Cundall, 1971） (Distinct Element
10、 Method) 图2-4-2 DEM计算过程简图 力位移法则： 假定所有变形发生在角边接触上，力是由变形产生的。力 和位移采用增量，即一个位移变化将产生一个力，且作用在 接触已存在的力上。在一个时步内，对一个给定的接触，切 向和法向位移增量由（u，v，r）增量计算，而新的切向和 法向力根据原作用力通过力位移关系求得。然后这些接触 力被重新分解为等效的X、Y分力和转动R，并与其他X、Y 分力和转动叠加作用到每个块体上。 运动法则： 某一块体上，力和运动的总和被用于计算在X、Y和R 方向的加速度， 通过积过积 分求得速度和位移，有了这这个新的位移，就可进进行下一步计计算 。 在时间时间 域内，D
11、EM采用显显式数值值方法，块块体间间的相互作用由接触和块块 体的运动检查动检查 算出。因此，DEM可以跟踪每个块块体每一步的行为为。 图2-4-3 DEM块体接触时的力学模型 DEM采用显式方法求解方程，优点是在解运动方程时，由 于假设作用力右端项是已知的，不需要解联立方程。但是 法向接触弹簧的长度是块体位移的函数，而在接触计算中 位移是未知的，因此，在接触发生时，假设是不满足的。 第n-1步法向接触弹簧的长度产生的法向接触力是第n步假 设的力。这种逼近不能产生正确的接触力，有时会破坏能 量守恒而使得解答发散。于是，需要引入一个阻尼，使得 系统稳定。这样，DEM的接触模型可以表示如下。 离散单
12、元法的动态松弛法和静态松弛法 动态松弛法是把非线性静力学问题化为动力学问题来求解， 用显式中心差分法来近似积分运动方程，并用适当的阻尼来 吸收系统的动能，使系统的振动尽可能快地消失，同时场函 数收敛于静态值。它按时步在计算机上迭代求解，整个计算 过程只需要直接代换，即利用前一步迭代的函数值近似求解 新函数值，对非线性问题也可以考虑。 静态松弛法是直接寻找块体失去平衡后再次达到平衡时的力 位移关系，采用隐式法联立平衡方程组，并以完全消除块 体的残余力和力矩为目标进行迭代求解。静态松弛法避免了 动态松弛法中的难点，即粘性阻尼的确定及计算时步的选取 ，但它在求解联立平衡方程组时，有时会碰到数值奇异或
13、病 态问题，有待进一步改进。目前，工程中广泛使用的离散单 元法多采用动态松弛法。 5、离散有限单元法(DFEM) 有限元法在模拟岩体的非连续特性时存在一些缺限，如块体的接触 、相对位移、分离等。近10多年来，一些学者对FEM作了一些修正，形 成离散优先单元法（Discrete Finite Element Method）主要有两类： 采用特殊单元模拟非连续特性。 采用接触判断模拟非连续特性而不增加附加单元。 (1) Goodman(1976)最早提出 “joint element”，用于模拟非连续缝面 ，就是众所周知的“Goodman element”。Nakazawa(1979) 利用FEM
14、 讨论不同摩擦条件下的接触分析，用于研究非线性接触问题。Lei（ 2001）介绍了一种简单的界面单元用于接触分析，他将节点位移作为未 知量，模拟两个具有初始接触或间隙的块体的接触滑动、解耦和再结合 。 缺点：根本点都是基于小位移和小变形，难以很好地解决大位移问 题。 (2)为模拟非连续体的大位移特性，出现了利用法向和切向弹簧来进行接触 计算，但是块体之间不设特殊单元，有两类：(a)接触预确定FEM和(b)接触 搜索算法FEM。 (a) Chaudhary（1986）、Laursen and Simo（1993）给出了一种FEM 方式来处理多块体、大变形摩擦接触问题，它采用连续理论，应用通常的
15、FEM离散方法，继承了连续FEM 的优点。Solberg等人（1998）利用固体 力学中无摩擦接触问题的数值解答，将微分代数方程的分析思想应用于 FEM。这种方法采用预确定接触模式（pre-determined contact）来求解 问题，可以模拟块体间的接触、相对滑动、分离等。 (b) 为模拟真正的非连续问题（接触是每步都在变化，且预先未知的） ， Belytshko and Neal（1991）提出了一种弹球算法“pinball algorithm” 。该方法将块体视为弹球，并置于块体表面，认为只有在弹球交迭的地方 发生接触，从而把复杂形状的接触判断转化为圆形的接触判断。由于过于 粗略，
16、Zhong（1993）介绍了一种基于几何形状的接触算法来解决接触/嵌 入的大变形问题。 图2-5-1 二维“弹球”模型示意图 (b) Belytshko and Neal（1991）提出了一种弹球算法“pinball algorithm” 。该方法将块体视为弹球，并置于块体表面，认为只有在弹球 交迭的地方发生接触，从而把复杂形状的接触判断转化为圆形的接触判断 。由于过于粗略，Zhong（1993）介绍了一种基于几何形状的接触算法来 解决接触/嵌入的大变形问题。 6、非连续变形分析(DDA) 石根华和Goodman于1989年提出了一种称为非连续变形分析 (Discontinuous Deformation Analysis DDA)的数值方法，它是在 非连续体位移反分析法的基础上推广而来的一种正分析方法，它可以从
