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1、第 1 页 共 7 页 线性代数线性代数( (同济第同济第 6 版版) )复习复习要点要点 第一章第一章 行列式行列式 基本结论基本结论 1行列式的性质行列式的性质 （1 1） 互换行列式的两行，行列式变号. （2 2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. （3 3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列 式不变. 2行列式按行按列展开行列式按行按列展开 定理定理 3 3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ininiiii AaAaAaD 2211 ),2, 1(ni 主要计算主要计算 计算行列式： 1数字行列
2、式化为上三角形； 2计算有规律的 n 阶行列式. 例例 1 （例 7）计算行列式 3351 1102 4315 2113 D 2 （例 8）计算行列式 3111 1311 1131 1113 D 3(例 11）计算n2阶行列式 第 2 页 共 7 页 n n dc dc ba ba D 2 2 P.P.2 21 1, , 4 4（1 1）(2)(2)（6 6） ，6(5)6(5)，8 8（2 2） （） （4 4） （） （5 5） 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 基本概念基本概念 注意：1矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BAAB 3矩阵乘法有零因子出现：OBOA,，
3、但却有OAB 4消去律不成立：ABAC，0A，推不出CB 基本结论基本结论 1转置转置 (i) AA TT )( (ii) TTT BABA)( (iii) TT kAkA)( (iv) TTT ABAB)( 2方阵的行列式方阵的行列式 (i) |AAT（行列式性质 1） ； (ii) |AA n ; (iii) |BAAB 3A的伴随矩阵的伴随矩阵 EAAAAA| 4逆矩阵逆矩阵 第 3 页 共 7 页 是初等矩阵 可逆 is EEEEA EA nAR AA 21 )( 0| 推论推论 若EAB （或EBA ） ，则 1 AB 方阵的逆阵满足下述运算规律： （i）若A可逆，则 1 A亦可逆，
4、且AA 11) (. （ii）若A可逆，数0，则A可逆，且 11 1 )( AA （iii）若BA,为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 111 )( ABAB （iv）若A可逆，则 T A亦可逆，且 TT AA)()( 11 主要计算主要计算 求 1 A：公式法 A A A | 1 1 例例 1 （例 4）求矩阵 2012 1301 A 与 431 102 311 014 B 的乘积AB 2 （例 11）求方阵 343 122 321 A 的逆阵 3. 设A为 3 阶矩阵且2A，则 2 3A P.P.5252, , 1 1，2 2，4 4，5 5，9 9，1616 第 4 页 共 7 页 第
5、三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 基本结论基本结论 线性方程组解的判定： 1. . n元非齐次线性方程组bAx ，则 （1）( )( )R AR B bAx 无解； （2）( )( )R AR Bn bAx 有唯一解； （3）( )( )R AR Bn bAx 有无穷多解. 2n元齐次线性方程组0Ax （0Ax是bAx 的特殊情形） 由于0Ax永远满足)()(BRAR，故0Ax总有解（至少有零解）从而 （1）( )R An 0Ax有唯一零解； （2）( )R An 0Ax有非零解. 主要计算主要计算 1会用初等变换求矩阵的逆 初等变换)|()|( 1 AEEA
6、行 (包括求矩阵方程BAX ，用)|()|( 1B AEBA 行 ； 2会求矩阵的秩 3会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 例例 1 （例 2）设 032 203 120 A, 求 1 A 2 （例 3）求矩阵X，使BAX ，其中 231 221 312 A , 52 02 11 B 第 5 页 共 7 页 3 （例 5）设 41461 35102 16323 05023 A 求矩阵A的秩 4 （例 10）求解齐次线性方程组 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 5 （例 12）求解非齐次线性方程组 0895 4433 13 4
7、321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx P.P.7 77 7，4 4，6 6（1 1） ，） ，1010，1313，1414，1717 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 基本结论基本结论 1线性表出 定理定理 1 1 向量能由向量组 m , 21 线性表示(,)(, ) 1212mm RR 2向量组的线性相关性 定理定理 4 4 向量组 m , 21 线性相关（无关）mR m ),( 21 （= m） 3向量组的秩 定理定理 6 6 ( )( )( ) cr R AR AR A 4解的结构 （1）齐次线性方程组 0Ax的基础解系： rn , 1 ，通解是 r
8、nrn kkx 11 定定理理 7 7 设nm矩阵A的秩rAR)(， 则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩rnRS. （即：( ) S R ARn） 第 6 页 共 7 页 （2）非齐次线性方程组 bAx 的通解是： rnrn kkx 11 主要计算主要计算 1讨论向量组的线性相关性 2设矩阵A，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大 无关组线性表示 3设非齐次线性方程组bAX ，试问 （1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ （2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）. 主要主要证明证明 线性无关的证明 例例 1 （例 5）已
9、知 7 4 2 , 5 2 0 , 1 1 1 321 试讨论向量组 321 ,及向量组 21, 的线性相关性 2 （例 10）设矩阵 97963 42264 41211 21112 A 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 3 （例 16）设非齐次线性方程组 2 1 4321 4321 4321 32 13 0 xxxx xxxx xxxx ，试问 （1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ （2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）. 4 （例 6） 已知向量组 321 ,线性无关， 211 , 322 , 133
10、 ，试证向 量组 321 ,线性无关 第 7 页 共 7 页 P.109P.109，3 3，4 4，1010，1313（2 2） ，1414（2 2） ，） ，1515，2121（1 1） （） （2 2） ，） ，2727，2828，3131 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 基本结论基本结论 施密特正交化方法： 设 r , 21 线性无关 1正交化： 1 11 1 2 22 2 1 11 1 2 22 23 1 11 13 33 1 11 12 22 11 , , , , , , , , , , , , r rr rrrr rr 2单位化： r r r eee 1 , 1 , 1 2 2 21 1 1 主要计算主要计算 1正交化方法 2求矩阵的特征值和特征向量 例例 1 （例 2）设 0 1 4 , 1 3 1 , 1 2 1 321 ，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化。 2 （例 6）求矩阵 110 430 102 A 的特征值和特征向量。 P.13P.138 8，2 2，6 6
