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1、第四节 玻尔兹曼方程 本节主要内容： 6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程 6.4.2 弛豫时间近似 金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加 电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场 引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输 运现象。 电流密度： 为金属的电导率。 中的电子数： 取单位体积VC=1 中的电子对电流密度的贡献为： 6.4 玻尔兹曼方程 不同状态电子的分布函数不同， 是在外场下的非平衡分 布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子
2、的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程 电子分布函数f是波矢 、空间坐标 和时间t的函数。 温度梯度变化 f变化 变化f变化 在外电场 和磁场 中，电子的运动规律是 以波矢 坐标 为变量组成的空间称为相空间。 在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。 1.相空间 描述t时刻电子在晶体内 处波矢为 的概率。 电子分布函数的变化表示为 碰撞引起的分布函数的变化 2.分布函数的变化 漂移作用引起的分布 函数的变化 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移 碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因 ，电子不
3、断发生从 态的跃迁，电子态的这种变化常称为 散射。 只考虑相同自旋态之间的跃迁。 处单位体积中处在 间的电子数(1) 态的散射概率为 (2 ) 态空状态数为(3) 单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为(4) (只考虑自旋相同的跃迁) 单位时间内由于碰撞而离开 态的电子数为(4) 单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为(5) 如果系统处于稳定状态，则 ，即 它是一个微分-积分方程。由于难于求出此方程的解，因 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 6.4.2 弛豫时间近似 式中 是平衡时的费米狄拉克分布函数，是一个参量 ，称为弛豫时间，是k的函数。 电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡 分布 表示分布函数对平衡的偏离 1.无外场，无温度梯度 总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无 休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定 程度而达到稳定分布。 2.外场和温度梯度存在 玻尔兹曼方程为：
