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1、第八节 函数与方程,【教材知识精梳理】 1.函数的零点,0,f(a)f(b)0,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,2,1,0,【教材拓展微思考】 1.所有的基本初等函数都有零点吗?为什么? 提示:不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如:指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点;对数函数有唯一一个零点.,2.当函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点时,是否一定有f(a)f(b)0.,3.若连续不断的函数y=f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有几个零点? 提示:至多有一个零点,因为
2、已知函数f(x)与x轴最多有一个交点,所以至多有一个零点.,4.若函数y=f(x)在区间a,b上的图象不是连续不断 的曲线,满足f(a)f(b)0.,【教材母题巧变式】,1.函数f(x)= 的零点个数为_.,【解析】函数f(x)= 的零点个数是方程 =0的解的个数,即方程 的解的个数, 也就是函数y= 与y= 的图象的交点个数.在同 一坐标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1. 答案:1,2.若方程mx2-6x+2=0只有一个实数解,则m=_. 【解析】当m=0时,方程为-6x+2=0,符合题意. 当m0时,若方程只有一个实数解. 则有=36-8m=0,解得m= 答案:0或,3.函数f(x
3、)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n=_.,【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻正整数的函数值,因为f(2)=-1+ln2,由于ln21,所以f(3)0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2. 答案:2,考向一 判断函数零点所在区间 夯基练透 【技法点拨】 判断函数零点所在区间的三种方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.,(2)定义法:利用函数零点的存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=
4、f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【基础保分题组】 1.若x0是方程 的解,令h(x)= 则 _0.(用不等号连接),【解析】令 答案:,2.(2017宿迁模拟)设函数y=x3与y= 的图象的 交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间 是_. 世纪金榜导学号97062055,【解析】设f(x)=x3- ,则x0是函数f(x)的零点,在 同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示.,因为f(1)=1- =-10, 所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2). 答案:(1,2),【拓展
5、提升高考模拟预测】 3.若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别所在的区间是_.(填序号) (a,b)和(b,c) (-,a)和(a,b) (b,c)和(c,+) (-,a)和(c,+),【解析】易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a), f(c)=(c-a)(c-b).又a0,f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内. 答案:,4.(2017温州模拟)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,若函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的区间是(
6、k,k+1)(kZ),则k=_.,【解析】由图象知 0,所以g(0)g(1)0,所以g(x)=ex+f(x)的零点所在的区间是(0,1),故k=0. 答案:0,【加固训练】1.(2017南昌模拟)已知函数 f(x)=lnx- 的零点为x0,则f(2)f(3)_ 0.(用不等号连接),【解析】易知f(x)=lnx- 在(0,+)上是单调 增函数, 又f(2)=ln2- 0,所以f(2)f(3)0. 答案:,2.方程log3x+x=3的根所在的区间为(n,n+1),nZ,则n=_.,【解析】方法一:方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f(2)=log32+2-
7、3=log32-10且函数f(x)在(0,+)上为单调增函数.所以函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根,所在区间为(2,3).故n=2.,方法二:方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x 与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示. 由图知方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).故n=2. 答案:2,3.(2016河南十所名校联考)设函数f(x)= x-lnx, 则函数y=f(x)的下列结论正确的是_.(填序号) 在区间 ,(1,e)内均有零点 在区间 ,(1,e)内均无零点 在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 在区间 内无零点,在区间(1
8、,e)内有零点,【解析】方法一:当x 时,函数图象是连续的, 且f(x)= 0,f(1)= 0, f(e)= e-lne0, 所以函数有唯一的零点在区间(1,e)内.,方法二:令f(x)=0得 x=lnx.作出函数y= x和y=lnx 的图象,如图,显然y=f(x)在 内无零点,在(1,e) 内有零点. 答案:,考向二 确定函数零点的个数 提能互动 【典例】(1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)在区间-4,4上的零点个数为_.,(2)(2017连云港模拟)函数f(x)= 的零点个数是_.,【解题指南】(1)先将f(x)=x3-x进
9、行因式分解,结合周期函数的性质求出f(x)=0在-4,4上的根即可. (2)当x0时,画图判断,当x0时,直接解方程求解.,【规范解答】(1)因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0x2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), 所以当0x2时,f(x)=0有两个根, 即x1=0,x2=1; 由周期函数的性质知,当-4x-2时,f(x)=0有两个根,x3=-4,x4=-3;当-2x0时,f(x)=0有两个根, x5=-2,x6=-1;当2x4时,f(x)=0有两个根, x7=2,x8=3;x9=4也是f(x)=0的根, 故函数f(x)在-4,4上有9个零点. 答案:9,(2)当x0时
10、,作函数y=lnx和y=x2-2x的图象, 由图知,当x0时,f(x)有2个零点; 当x0时,由f(x)=0得x= 综上,f(x)有3个零点. 答案:3,【母题变式】 1.若本例题(1)条件不变,试求函数f(x)在区间 -2018,2018上所有零点的和.,【解析】由典例(1)解析知,函数f(x)在-2018,2018上的零点分别为-2018,-2017,-2016,-2,-1, 0,1,2,3,2017,2018共4037个,其和为(-2018 +2018)+(-2017+2017)+(-1+1)+0=0.,2.若本例题(1)的条件变为:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x)
11、+f(2),x(0,2)时,f(x)=2x2-3x+1,则函数f(x)在-4,4上有几个零点?,【解析】因为f(x+4)=f(x)+f(2),令x=-2,则f(2)= f(-2)+f(2),所以f(-2)=0.又函数f(x)是定义域为R的 奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,所以f(2)=0,所以f(x+4)= f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(0)=0,f(4)=0, f(-4)=0.当x(0,2)时,令f(x)=2x2-3x+1=0,得x= 或x=1,即f(1)=0, =0.所以f(-1)=0, =0,所以f(3)=0, =0,f(-3)=0, =0.综上, 函数f(x)在
12、-4,4上有13个零点.,【技法点拨】 确定函数零点个数的方法及思路 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.,(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.,(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 提醒:用数形结合法确定零点个数时,关键是准确画出函数的图象,前提是熟悉基本初等函数的图象画法.,【拓展提
13、升高考模拟预测】 1.已知函数f(x)= 则函数g(x)=f(1-x)-1 的零点个数为_.,【解析】由题意得f(1-x)= 即f(1-x)= 当x1时,由f(1-x)-1=x2- 4x+2=0,解得x=2+ 或x=2- (舍去);当x1时,由 f(1-x)-1=|lg(1-x)|-1=0,解得x=-9或x= 满足条 件.综上所述,函数g(x)的零点有3个. 答案:3,2.已知函数f(x)= 若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x的零点个数为_.,【解析】依题意得 由此解得b=-4,c=-2.由g(x)=0得f(x)+x=0, 该方程等价于,解得x=2,解得x=-1或
14、x=-2. 因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3. 答案:3,3.(2017青岛模拟)已知函数f(x)= 则函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数为_. 世纪 金榜导学号97062056,【解析】函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数,也就是 2|x|f(x)-2=0的实根个数,也就是y=f(x)与y= 的图 象交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象如图 所示,由图象可得函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数是2. 答案:2,【加固训练】1.(2017哈尔滨模拟)已知函数f(x)= 则函数y=f(x)的零点个数是_. 【解析】令f(x)=0,得 解得x=-1或x
15、=1. 答案:2,2.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是_.,【解析】由题意知,f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图:,观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点. 答案:4,3.函数f(x)=2sinxsin -x2的零点个数为 _.,【解析】函数f(x)=2sinxsin -x2的零点个数等 价于方程2sinxsin -x2=0的根的个数,即函数 g(x)=2sinxsin =2sinxcosx=sin2x与h(x)=x2的 图象交点个数.分别画出其函数图象如图所示,由图可 知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点. 答案:2,考向三 函数零点的应用 高频考点微课 【考情快递】,【考题例析】 命题点1:已知函数的零点或方程的根的个数求参数 【微思考】如何求解根据函数零点或方程根的个数求参数的问题? 【微提示】根据所给函数或方程构建函数,画出其图象,数形结合求解.,【典例】(
