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1、第三章 地图的数学基础 l本章要点 l1.掌握地球椭球体、大地水准面、GPS、比例尺、地图投 影的概念。 l2.认识地图投影的方法、过程、地图投影变形和地图投影 选择。 l3.了解主要地图投影类型、变形分布规律及用途。 l4.一般了解地图投影判别 l一、地球椭球体 l地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面。 l为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海 洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面， 该面上的各点与重力方向（铅垂线）成正交，这就是大地水准面 。大地水准面包围的球体，叫大地球体，它是对地球形体的一级 逼近。 第一节 地球椭球体与大地控制 l由于受地球
2、内部物质密度分布不均等多种因素的影响而产生重力异常 ，致使铅垂线的方向发生不规则变化，故处处与铅垂线方向垂直的大 地水准面仍然是不规则的， l但大地水准面从整体上看，起伏是微小的，且形状接近一个扁率极小 的椭圆绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体，这个椭球体称为地 球椭球体。其表面是一个规则数学表面，可用数学公式表达，所以在 测量和制图中用它替代地球的自然表面。地球形体的二级逼近。 一、地球椭球体 l地球椭球体有长半径a（赤道半径）和短半径b（极半径）之分 ，f=(a-b)/a为椭圆的扁率。a、b、f是其三要素，决定地球椭 球体的形状和大小。因推算所用资料、年代和方法不同，许多 科学家所测定地
3、球椭球体的大小也不尽相同。 l我国1952年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫 斯基椭球体，这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。 l1978年，我国决定采用1975年第十六届国际大地测量及地球物 理联合会推荐的新椭球体，称为GRS(1975),建立了中国独立的 大地坐标系。 一、地球椭球体 一、地球椭球体 一、地球椭球体 l由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比 例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地 图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是 2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率， 将地球视为圆球体，地球半径为
4、6371km。 l制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。 l地球的形状确定之后，还需确定大地水准面与椭球体面之 间的相对位置。 一、地球椭球体确定大地水准面与椭球体面之间的相对 位置的方法是在地球表面适当位置选择 一点p,假设椭球体和大地球体相切于 P, P位于P点的铅垂线上，过椭球 体面上p的法线与该点对于大地水准 面的铅垂线相重合，椭球体的形状和大 小与大地球体很接近，从而也就确定了 椭球体与大地球体的相互关系。 这种与局部地区的大地水准面符合得最 好的一个地球椭球体，称为参考椭球体 。确定参考椭球体，进而获得大地测量 基准面和大地起算数据的工作，称为参 考椭球体定位。地球形体三级逼近
5、二、大地控制 大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置。包括两个方 面：一是点在地球椭球体面上的平面位置，即经度和纬度；二是确定点到 大地水准面的高度，即高程。 1.地理坐标系 l地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中 有三种描述： l天文经纬度：天文经度即本初子午面与过观测点的子午面所夹的二面 角；天文纬度即过某点的铅垂线与赤道面间的夹角。天文经纬度通过 天文测量方法得到，可作为大地测量中定向控制及校核数据之用。 l大地经纬度：大地经度（L）指过参考椭球面上某一点的大地子午面 与本初子午面之间的二面角，大地纬度（B）是指过参考椭球面上某 一点的法线与赤道面的夹
6、角。大地经纬度是以地球椭球面和法线为依 据，在大地测量中得到广泛采用。地图学中常采用大地经纬度。 l地心经纬度：地心经度等同于大地经度，地心纬度是指参考椭球面上 的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。地理研究和小比 例尺地图制图对经度要求不高时常采用此经纬度。 2.我国的大地坐标系统 l1954年北京坐标系：1954年，我国将原苏联采用 克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经 平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原 点，确定了过渡性大地坐标系，称1954北京坐标 系。缺点是椭球体面与我国大地水准面不能很好 地符合，误差较大。 2.我国的大地坐标系统 l1980年国家大地坐标系：
7、1978年采用新的椭球体参数GRS(1975)，以 陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位 和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的 大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。 l优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符 合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太 大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精 度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。 l与当今社会发展存在的矛盾：坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技 术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术； 精度 的矛盾。卫星定
8、位技术可达10-710-8的点位相对精度，而西安80系只 能保证310-6；坐标系统（框架）的矛盾。 数字地球的发展要求 用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。 3.高程系 l高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我 国利用青岛验潮站19501956年的观测记录，确定黄海平 均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设 了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程 控制系统，统称“1956年黄海高程系”。 l1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微 小的变化，由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用 新的高程基准面，即“1985年国家高程基
9、准”。高程控制 点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影 响则可忽略不计。 4大地控制网 l大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包 括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控 制意义的点，它是测制地图的基础。 l平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面 位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主 要方法是三角测量和导线测量。 4大地控制网 l三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经 测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测 绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角 网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边 长在2025km左右，基本上沿
10、经纬线方向布设；二等三角 网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为 13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图 时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个 控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。 三角测量示意图 4大地控制网 l导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折 线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点 坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。 l建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的 天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校 核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。 高程控制网 l是在
11、全国范围内按照统一规范，由精确测定了高 程的地面点所组成的控制网，是测定其它地面点 高程的基础。 l表明地面点高程位置的方法有两种：绝对高程， 即地面点到大地水准面的高度。相对高程，即地 面点到任意水准面的高度。 l建立高程控制网的目的是为了精确求算绝对高程 ，即高程。 水准测量 l借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建 立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA 为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H 三、全球定位系统 lGPS（global positioning system）是美国国防部开发的星 际全球无线电导航系统，它可为全球范围的飞机、舰船、 地面部
12、队、车辆、低轨道航天器，提供全天候、连续、实 时、高精度的三维位置、三维速度以及时间数据。 lGPS应用于测量工程与经典大地测量相比的优势：观测 站之间无需通视；定位精度高；提供三维坐标；操 作简便；全天候作业。 lGPS的组成主要有空间星座部分、地面监控部分和用户设 备部分组成 GPS 的 组 成 卫星 导航 系统 工作 原理 1.空间星座 lGPS卫星星座由24颗卫 星构成，均匀分布在6 个轨道面内，每个轨道 面有4个卫星；卫星轨 道面与地球赤道面的倾 角为60；轨道平均高 度20183km，卫星运行 周期11小时58分。保证 至少可以同时接收到4 颗卫星的定位数据。 2.地面监控部分 监
13、控站 主控站 注入站 2.地面监控部分 v主控站一个，设在美国的科罗拉多的斯普林斯。主控站负责协 调和管理所有地面监控系统的工作，包括：根据所有地面监测 站的观测资料推算编制各卫星的星历、卫星钟差和大气层修正 参数等，并把这些数据及导航电文传送到注入站；提供全球定 位系统的时间基准；调整卫星状态和启用备用卫星等。 2.地面监控部分 v注入站又称地面天线站，主要任务是通过一台直径为36m的 天线，将来自主控站的卫星星历、钟差、导航电文和其它控制 指令注入到相应卫星的存储系统，并监测注入信息的正确性。 注入站现有3个，分别设在印度洋的迭哥加西亚、南太平洋的卡 瓦加兰和南大西洋的阿松森群岛。 2.地
14、面监控部分 l夏威夷设有一个监测站。主要任务是连续观测和接收所有GPS 卫星发出的信号并监测卫星的工作状况，将采集到的数据连同 当地气象观测资料和时间信息经初步处理后传送到主控站。 l地面监控系统除主控站外均由计算机自动控制，勿需人工操作 。各地面站间由现代化通讯系统联系，实现了高度自动化和标 准化。 3.用户设备部分 lGPS接收机 lGPS数据处理软件 l微处理机及终端设备 欧洲伽利略卫星导航定位系统欧洲伽利略卫星导航定位系统 l2002年3月24日，欧盟首脑会议批准了建设伽利略卫星导航定位系统 的实施计划。由于在科索沃战争以及阿富汗战争期间，欧洲军队使用 GPS技术事实上都受到了限制。因
15、此，欧盟首脑们意识到：“如果放 弃伽利略计划，我们将在今后20-30年间失去防务上的主动权。”此 外，伽利略计划带来的经济利润也是不容忽略的。欧盟的一项研究预 测表明，发展伽利略卫星导航定位技术，仅在欧洲就可以创造出14万 多个就业岗位，每年创造的经济收益将会高达90亿欧元，到2020年， 伽利略系统的经济收益将达到740亿欧元。 l2008年年底，建成（27+3）伽利略卫星工作星座。 l我国已成为建设伽利略系统的合作伙伴，并于2004年1月10日，在长 江上进行了EGNOS欧洲静地卫星导航重叠系统的动态应用测试，为 合作建设伽利略系统进行科技准备。 俄罗斯的俄罗斯的GLONASSGLONAS
16、S 1995年俄罗斯耗资30多亿美元，完成了GLONASS导航卫星星 座的组网工作。它也由24颗卫星组成，分布在3个轨道平面上， 每个轨道平面有8颗卫星，原理和方案都与GPS类似。 GLONASS一开始就没有加SA干扰，GLONASS导航定位精度 较低，约为30100米，测速精度0.15米/秒。 其应用普及情况远不及GPS，这主要是俄罗斯没有开发民用市 场；另外，GLONASS卫星平均在轨道上的寿命较短，由于经 济困难无力补网，在轨可用卫星少，不能独立组网。 “ “北斗一号北斗一号” ”卫星导航定位系统卫星导航定位系统 l我国独立自主的卫星导航定位系统；我国已建立完善的卫星导 航定位系统；区域卫星导航定位系统 l2004年5月25日零时34分，“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发 射中心成功将第三颗“北斗一号”导航定位卫星送上太空。前两 颗分别于2000年10月31日和12月21日发射
