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1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 1.向量的加法 (1)定义:求_的运算,叫做向量的加法. (2)法则:按照_法则或_法则进行. (3)规定:对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=_=a. (4)结论:|a+b|_|a|+|b|. 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=_. (2)结合律:(a+b)+c= _. 两个向量和 三角形平行四边形 0+a b+a a+(b+c) 1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个向量相加,所得结果有可能是一个数量. ( ) (2)两个向量相加就是两个向量的模相加. ( ) (3)向量的加法的平行四边形法则适合
2、任何两个向量相加.( ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)矩形ABCD中, = . (2)若a与b同向,则|a+b|= . (3) = . 知识点1 向量的加法 1.向量的和及其物理背景 两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位移 、力的合成等在数学运算中的抽象概括. 2.三角形法则和平行四边形法则 三角形法则平行四边形法则 物理模型位移的合成力的合成 使用条件任意两个非零向量任意两个不共线的向量 简记首尾相连,始终连线 共起点,为邻边,平行四 边形共起点的对角线 3.对|a|-|b|a+b|a|+|b|成立的说明 (1)当a,b有一个为零向量时,不
3、等式显然成立. (2)当a,b不共线时,作 =a, =b,则a+b= ,如图所示, 根据三角形边长关系,有|a|-|b|a+b|b|. 作 =a, =b,则a+b= ,如图所示,此时|a+b|=|a|- |b|.同理可证|a|b|,a+b与a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a与a同向,且 |b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a. 2.向量加法的结合律 在图(2)中, =a+b, =b+c,所以 = =(a+b)+c, =a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加 法满足结合律. 3.向量加法运算律的推广 向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立,恰当地使用 运
4、算律可以实现简化运算的目的.如在进行多个向量的加法运 算时,可以按照任意的次序和任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)= (a+d)+(b+c). 【微思考】 (1)向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗? 提示:可以.若b=0,则a+0=0+a=a. (2)试举例说明向量加法的运算律是如何简化运算的? 提示:用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接 的形式,实现简 化运算.如 【即时练】 1. 化简后等于 ( ) 2.在平行四边形ABCD中, = . 【解析】1.选B.因为 2. 答案: 【题型示范】 类型一 向量的加法及运算律 【典例1】 (1)设a= b是任一非零向量,则在下列
5、结 论中,ab;a+b=a;a+b=b;|a+b|b|,b0. 2.已知梯形ABCD,ADBC,O为对角线交点,则 = . 【解析】 答案: 【补偿训练】 如图,在平行四边形ABCD中, (1) = ; (2) = ; (3) = ; 【解析】(1) (2) (3) 答案:(1) (2) (3) 类型二 向量加法的实际应用 【典例2】 (1)若a表示向东走8 km,b表示向北走8 km,则|a+b|= km, a+b的方向是 . (2)一航船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航 行方向与水流方向成30角,求水流速度和船实际航行的速度. 【解题探究】1.题(1)中的长度及方向可借
6、助什么来求? 2.题(2)中求水流速度及船实际 航行的速度可用向量加法的什么法则? 【探究提示】1.借助直角三角形求解. 2.用加法的平行四边形法则. 【自主解答】(1)设 =a, =b,则 =a+b. 又因为| |=8,| |=8,所以| |=|a+b|=8 . 又因为AOC=45,所以a+b的方向是北偏东45. 答案:8 北偏东45 (2)如图所示, 表示水流速度, 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度, 表示船实际 航行的速度,AOC=30,| |=5.因为四边形 OACB为矩形,所以 故水流的速度为5 km /h,船实际 航行的速度为10 km /h. 【方法技巧】应用向量解决平面几何和物
7、理学问题 的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转 化为向量问题 . (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将相关向量进行运算, 解答向量问题 . (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题 . 【变式训练】作用在同一物体上的两个力,|F1|=60 N,|F2|= 80 N,当它们的夹角为90时,则这两个力的合力为 N. 【解题指南】求这两个力的合力就是求向量F1+F2.因为以F1和 F2为邻边 作的平行四边形是矩形,由此可利用勾股定理求矩形 的对角线的长,即合力的大小. 【解析】如图所示, 表示力F1, 表示力F2, 以OA,OB为
8、邻边 作OACB, 则 是F1和F2的合力. 在OAC中,| |=60,| |=| |=80 且OAAC, 则| |= =100(N), 即合力的大小为100 N. 答案:100 【补偿训练】1.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的 方向行驶,同时河水的流速为v2,船实际航行的速度的大小为 4 km/h,方向与水流间的夹角是60,求v1和v2的大小. 【解析】由题意,得|v1|=4sin 60=2 (km/h),|v2|=4 cos 60=2(km/h). 2.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使 BE=DF. 求证:四边形AECF是平行四边形.
9、 【证明】 因为四边形ABCD是平行四 边形,所以 因为BE=DF,且 与 的方向相同,所以 所以 即AE与FC平行且相等,所以四边形AECF 是平行四边形. 【易错误区】未能理解向量的加法而致误 【典例】小船以10 k m/h的静水速度按垂直于对岸的方向 行驶,同时河水的流速为10 km /h,则小船实际航行速度的大小 为 km /h. 【解析】如图, 设船在静水中的速度为|v1|=10 km/h,河水的流速为|v2|= 10 km/h,小船实际 航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得 (10 )2+102=|v0|2,所以|v0|=20 km/h,即小船实际 航行速度
10、的大小为20 km/h. 答案:20 【常见误 区】 错错解错错因剖析 10 +10 误误将船的实际实际 速度看成静水速加河水的流速 没有得出阴影处处关系式而致误误 【防范措施】 1.深入理解向量的和 向量的和一般不能直接用模作和,要注意向量的方向的合成,如本例中用两个速 度不能直接作和. 2.理解三种速度间的关系 船在静水中的航行速度,水流的速度,船实际 的航行速度三者间当航行方向与水 流方向不共线时 不能直接求实际 航行速度,如本例中两个方向垂直,利用勾股定 理求速度的大小. 【类题试解】一艘船以4 km /h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河 水流速为2 km /h,则经过3小时,该船的实际航程为 km.
