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1、 一、两直线平行与垂直的条件 l1:yk1xb1 l2:yk2xb2 l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20 平行 垂直 直 线 方 程 充 要 条 件 位 置 关 系 k1k2且b1b2 A1B2A2B10 且B2B10 或A2A10 A2B1B20 k1k21 1.两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积是1, 这句话正确吗? 提示:不正确.当两条直线l1,l2的斜率不全存在时, 则两条直线垂直时,推不出其斜率乘积等于1. 二、两条直线的夹角与到角 l1到l2的角l1与l2的夹夹角 定义 直线l1与l2相交,l1依 方向 旋转到与l2重合时所转的角1 l1到l2的角与l2到l
2、1 的角中的锐锐角2 计算公式 tan1tan2 逆时针 三、距离公式 1.点到直线的距离公式 已知点P0(x0,y0),那么点P0到直线AxByC0的距离 为 d 2.两条平行线间的距离公式 两平行线AxByC10与AxByC20的距离 为d 2.在应用点到直线的距离公式时,应将直线方程化 成何种形式? 提示:将直线方程化为一般式. 1直线xay10,2xy30平行,则a为 ( ) C2 D2 解析:由 答案:A 2已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1, 则a等于 ( ) 解析:由 1且a0,a 1. 答案:C 3若三条直线y2x,xy3,mxny50相交于同一点, 则点(m
3、,n)可能是 ( ) A(1,3) B(3,1) C(3,1) D(1,3) 解析:由得 m2n50,点(m,n)可能是(1,3) 答案:A 4直线y2与直线xy20的夹角是_ 解析:直线xy20的倾斜角为 所求夹角为 答案: 5若直线ax2y60与x(a1)y(a21)0平行, 则它们之间的距离等于_ 解析:因为两直线平行,所以有a(a1)2,即a2a2 0,解得a2或1,但当a2时,两直线重合,不合题 意,故只有a1,此时两直线方程分别为x2y60 和x2y0,它们之间的距离 答案: 1.说明位置关系时用 的关系来考查, 那不是充要 关系,如2x10与3x40表示的两直线平行,却无法 用
4、来说明 2“k1k2l1l2”,“k1k21l1l2”是以k1,k2都存在 为前提的,且两直线在y轴上的截距b1b2,k1k2时,才 有l1l2. 3讨论两直线的位置关系时,利用直线方程的斜截式几何 意义较明显,但需注意斜率不存在的情况 已知两条直线l1:axby40和l2 :(a1)xyb0,求满足下列条件的a,b的值 (1)l1l2,且l1过点(3,1); (2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等 由条件可知,直线l2的斜率为1a,可通过对1 a的 取值情况的讨论来解决该题. 【解】 (1)由已知可得l2的斜率必存在,k21a. 若k20,则1a0,a1. l1l2,直线l1的斜率
5、k1必不存在,即b0. 又l1过点(3,1), 3ab40,即b3a410(不合题意), 此种情况不存在,即k20. 若k20,即k1、k2都存在, k21a,k1 l1l2, k1k21,即 (1a)1. 又l2过点(3,1),3ab40. 由联立,解得a2,b2. (2)l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在, k1k2,即 1a. 又坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1l2, l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即 b, 则联立解得 1已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1) ya210, (1)试判断l1与l2是否平行; (2)l1l2时,求a的值 解:(1)法一:当a
6、1时,l1:x2y60, l2:x0,l1不平行于l2; 当a1时,两直线可化为 l1:y 3,l2:y (a1), l1l2 解得a 1, 综上可知,a1时,l1l2,否则l1与l2不平行 法二:由A1B2A2B10,得a(a1)120, 由A1C2A2C10,得a(a21)160, l1l2 a1, 故当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行 (2)法一:当a1时,l1:x2y60,l2:x0, l1与l2不垂直,故a1不成立 当a1时,l1:y 3, l2:y x(a1), 由 1a 法二:由A1A2B1B20, 得a2(a1)0a 1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的
7、公式,应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d|y0|. (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d|x0|. (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线ya的距离 d|y0a|. (4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线xb的距离 d|x0b|. 已知点P(2,1) (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大 距离是多少? 设出直线方程,利用点到直线距离公式求系数即可. 【解】 (1)当l的斜率k不存在时显然成立, l的方程为x2; 当l的斜率k存在时, 设l:y1k(x2),即kxy2k10. 由点到
8、直线距离公式得 2, k l:3x4y100. 故所求l的方程为x2或3x4y100. (2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线,由lOP,得klkOP1, 所以kl 2. 由直线方程的点斜式得y12(x2), 即2xy50. 即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线 ,最大距离为 2设两条直线的方程分别为xya0,xyb0, 已知a、b是方程x2xc0的两个实根,且0c 求这两条直线之间的距离的最大值和最小值 解:a、b是方程x2xc0的两个实根 ab1,abc. (ab)2(ab)24ab14c. 又两直线间的距离d 两直线间的最大值为 最小值为 1.
9、中心对称 (1)若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点 坐标公式得 (2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取 两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两 点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称 点, 再利用l1l2,由点斜式得到所求直线方程 2轴对称 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:AxByC 0对 称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线 垂直于对称轴l,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0, x1x2) (2)直线关于直线的对称 此类问
10、题一般转化为关于直线的对称点来解决,若已 知 直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线l2上, 然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2, 那么经过交点及点P2的直线就是l2;若已知直线l1与对称 轴l平行,则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等,由 平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l1的对称 直线 已知直线l:2x3y10,点A(1, 2),求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程 (1)直线l为线段AA的垂直平分线,利用垂直关系, 中点坐标公式解方程组求出A点坐标; (2)转化为点关于直线的对
11、称 【解】 (1)设A(x,y),再由已知 (2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的 对称点必在m上,设对称点为M(a,b)则 设m与l的交点为N,由 得N(4,3) 又m经过点N(4,3), 方程为9x46y1020. 3在本例条件下,求直线l关于点A(1,2)对称的直线 l的方程 解:设P(x,y)为l上任一点 则P(x,y)关于点A(1,2)的对称点为 P(2x,4y), P在直线l上, 2(2x)3(4y)10, 即2x3y90. 从近几年高考试题分析,对本节内容的考查是两 直线的平行与垂直的判定,点到直线距离的应用,这一部 分内容很少单独命题,多与充要条件、圆
12、相结合.2009年 全国卷考查了两平行线间的线段长问题,代表了新的考 查方向. (2009全国卷)若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy 30所截得的线段的长为2 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号) 解析 如图,由两平行线间距离可得 d 故m与两平行线的夹角 都是30,而两平行线的倾斜角为45, 则m的倾斜角为75或15. 答案 解决本问题易忽视以下几个方面: (1)审题过程不知道求出两平行线间的距离,导致问题目 标不明确. (2)求出平行线间距离,看不出m与l1、l2的夹角均为30致 使思路受阻. (3)不会借助于图形分析m的各种可能性而导致少选,从而 失误. 直线m到l1的角为多少?