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1、 一、两直线平行与垂直的条件 l1：yk1xb1 l2：yk2xb2 l1：A1xB1yC10 l2：A2xB2yC20 平行 垂直 直 线 方 程 充 要 条 件 位 置 关 系 k1k2且b1b2 A1B2A2B10 且B2B10 或A2A10 A2B1B20 k1k21 1.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积是1， 这句话正确吗？ 提示：不正确.当两条直线l1，l2的斜率不全存在时， 则两条直线垂直时，推不出其斜率乘积等于1. 二、两条直线的夹角与到角 l1到l2的角l1与l2的夹夹角 定义 直线l1与l2相交，l1依 方向 旋转到与l2重合时所转的角1 l1到l2的角与l2到l
2、1 的角中的锐锐角2 计算公式 tan1tan2 逆时针 三、距离公式 1.点到直线的距离公式 已知点P0(x0，y0)，那么点P0到直线AxByC0的距离 为 d 2.两条平行线间的距离公式 两平行线AxByC10与AxByC20的距离 为d 2.在应用点到直线的距离公式时，应将直线方程化 成何种形式？ 提示：将直线方程化为一般式. 1直线xay10,2xy30平行，则a为 ( ) C2 D2 解析：由 答案：A 2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1， 则a等于 ( ) 解析：由 1且a0，a 1. 答案：C 3若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点， 则点(m
3、，n)可能是 ( ) A(1，3) B(3，1) C(3,1) D(1,3) 解析：由得 m2n50，点(m，n)可能是(1，3) 答案：A 4直线y2与直线xy20的夹角是_ 解析：直线xy20的倾斜角为 所求夹角为 答案： 5若直线ax2y60与x(a1)y(a21)0平行， 则它们之间的距离等于_ 解析：因为两直线平行，所以有a(a1)2，即a2a2 0，解得a2或1，但当a2时，两直线重合，不合题 意，故只有a1，此时两直线方程分别为x2y60 和x2y0，它们之间的距离 答案： 1.说明位置关系时用 的关系来考查， 那不是充要 关系，如2x10与3x40表示的两直线平行，却无法 用
4、来说明 2“k1k2l1l2”，“k1k21l1l2”是以k1，k2都存在 为前提的，且两直线在y轴上的截距b1b2，k1k2时，才 有l1l2. 3讨论两直线的位置关系时，利用直线方程的斜截式几何 意义较明显，但需注意斜率不存在的情况 已知两条直线l1：axby40和l2 ：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值 (1)l1l2，且l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 由条件可知，直线l2的斜率为1a，可通过对1 a的 取值情况的讨论来解决该题. 【解】 (1)由已知可得l2的斜率必存在，k21a. 若k20，则1a0，a1. l1l2，直线l1的斜率
5、k1必不存在，即b0. 又l1过点(3，1)， 3ab40，即b3a410(不合题意)， 此种情况不存在，即k20. 若k20，即k1、k2都存在， k21a，k1 l1l2， k1k21，即 (1a)1. 又l2过点(3，1)，3ab40. 由联立，解得a2，b2. (2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在， k1k2，即 1a. 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2， l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即 b， 则联立解得 1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1) ya210， (1)试判断l1与l2是否平行； (2)l1l2时，求a的值 解：(1)法一：当a
6、1时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 当a1时，两直线可化为 l1：y 3，l2：y (a1)， l1l2 解得a 1， 综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行 法二：由A1B2A2B10，得a(a1)120， 由A1C2A2C10，得a(a21)160， l1l2 a1， 故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行 (2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0， l1与l2不垂直，故a1不成立 当a1时，l1：y 3， l2：y x(a1)， 由 1a 法二：由A1A2B1B20， 得a2(a1)0a 1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的
7、公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|. (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离 d|y0a|. (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离 d|x0b|. 已知点P(2，1) (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大 距离是多少？ 设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可. 【解】 (1)当l的斜率k不存在时显然成立， l的方程为x2； 当l的斜率k存在时， 设l：y1k(x2)，即kxy2k10. 由点到
8、直线距离公式得 2， k l：3x4y100. 故所求l的方程为x2或3x4y100. (2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1， 所以kl 2. 由直线方程的点斜式得y12(x2)， 即2xy50. 即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线 ，最大距离为 2设两条直线的方程分别为xya0，xyb0， 已知a、b是方程x2xc0的两个实根，且0c 求这两条直线之间的距离的最大值和最小值 解：a、b是方程x2xc0的两个实根 ab1，abc. (ab)2(ab)24ab14c. 又两直线间的距离d 两直线间的最大值为 最小值为 1.
9、中心对称 (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点 坐标公式得 (2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取 两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两 点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称 点， 再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程 2轴对称 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC 0对 称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线 垂直于对称轴l，由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0， x1x2) (2)直线关于直线的对称 此类问
10、题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已 知 直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上， 然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2， 那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称 轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由 平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称 直线 已知直线l：2x3y10，点A(1， 2)，求： (1)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程 (1)直线l为线段AA的垂直平分线，利用垂直关系， 中点坐标公式解方程组求出A点坐标； (2)转化为点关于直线的对
11、称 【解】 (1)设A(x，y)，再由已知 (2)在直线m上取一点如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的 对称点必在m上，设对称点为M(a，b)则 设m与l的交点为N，由 得N(4,3) 又m经过点N(4,3)， 方程为9x46y1020. 3在本例条件下，求直线l关于点A(1，2)对称的直线 l的方程 解：设P(x，y)为l上任一点 则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， P在直线l上， 2(2x)3(4y)10， 即2x3y90. 从近几年高考试题分析，对本节内容的考查是两 直线的平行与垂直的判定，点到直线距离的应用，这一部 分内容很少单独命题，多与充要条件、圆
12、相结合.2009年 全国卷考查了两平行线间的线段长问题，代表了新的考 查方向. (2009全国卷)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy 30所截得的线段的长为2 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号) 解析 如图，由两平行线间距离可得 d 故m与两平行线的夹角 都是30，而两平行线的倾斜角为45， 则m的倾斜角为75或15. 答案 解决本问题易忽视以下几个方面： (1)审题过程不知道求出两平行线间的距离，导致问题目 标不明确. (2)求出平行线间距离，看不出m与l1、l2的夹角均为30致 使思路受阻. (3)不会借助于图形分析m的各种可能性而导致少选，从而 失误. 直线m到l1的角为多少？
