6-1一维波动方程的达朗贝尔公式

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1、第九章 行波法与积分变换 法 李莉 lili66 1 n求解定解问题 q分离变量法求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示） q行波法求解无界区域内波动方程的定解问题 q积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无 界区域，但对有界区域也能应用 2 9.1 一维波动方程的DAlember(达朗 贝尔)公式 n就一维波动方程建立通解公式 一维波动方程：(6.1.1) 作如下的变换： (6.1.2) 利用复合函数微分法则有： (9.1.3) (9.1.4) 3 (9.1.1) （9.1.1)化为： （9.1.5） 将式（9.1.5）

2、对 积分，得： 再将此式对 积分，得： （9.1.6） 其中 都是任意二次连续可微函数。 (9.1.3) (9.1.4) 4 （9.1.6） 式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。 下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。 （9.1.7） 将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得： （9.1.8） （9.1.9） 5 （9.1.8） （9.1.9） 式（9.1.9）两端对 积分一次，得： （9.1.10） 由式（9.1.8）与式（9.1.10）解出 把确定出来的

3、代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在 条件（9.1.7）下的解： （9.1.11） 无限长弦自由振动的DAlembert（达朗贝尔）公式。 6 （9.1.11） DAlembert解的物理意义： n先讨论初始条件只有初始位移情况下DAlembert解的物理意义。 此时式（9.1.11）给出 先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为： 若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看到 的波形为： 由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。 7 所以 代表以速度a沿x轴的正向传

4、播的波，称为正行 波。而第一项 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波 ，称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移 。 n再讨论只有初速度的情况。此时式（9.1.11）给出： 设 为 的一个原函数，即 则此时有 由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的 叠加（相减）给出弦的位移。 综上所述，DAlembert解表示正行波和反行波的叠加。 8 n例1 求解下列初值问题 解： 本题中 直接应用DAlembert 公式，有： 9 *9.2 三维波动方程的Poisson公式 n三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题： 这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个

5、，不能直 接利用6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。 10 9.2.1 三维波动方程的球对称解 n球对称：u与 都无关。 在球坐标系中，三维波动方程为： 当u不依赖于 时，这个方程可简化为： 或写成 11 这是关于ru的一维波动方程，其通解为： 或 12 6.2.2 三维波动方程的Possion公式 n对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而 是考虑u在以M(x,y,z)为球心、以r为半径的球面上的平均 值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。 这个平均值可以写成： 其中 表示以点 为中心、以r为半径的球面； 表示r=1的单位球面。 13 是球面 上点

6、的坐标， 是 上的面积元素。 是单位球面上的面 积元素。 在球坐标系中， 显然有 由平均值 的定义和u的连续性可知， 14 经过推导，可得 满足的微分方程： 这是一个关于 的一维波动方程，它的通解为： 其中 是两个二次连续可微的任意函数。 由初始条件定得： 15 于是 将 拓广到r0的范围内，并且使 。 即 是偶函数。 同理， 与 也是偶函数。 因此，可将上式写成： 16 令 利用LHospital（洛必塔）法则得到： 或简记成 上式称为三维波动方程的Poisson公式。 17 n例2 求解定解问题 解：这里 将这些给定的初始条件代入到Poisson公式并计算其中的积分，就 可以得到问题的解：

7、 18 9.3 Fourier积分变换法求定解问题 所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)经过某种可逆的积分运算 变成另一函数类B中的函数F(p)。 F(p)称为f(x)的像函数，而f(x)称为F(p)的像原函数。 k(x,p)是x，p的已知函数，称为积分变换的核。在这种变换下，原来的 偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程。 原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简 化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所求的解 。 19 9.3.1 预备知识Fourier变换及性质 1.Fourier变换 函数f(x)的Fourier变换： 称为

8、f(x)的像函数。 Fourier逆变换: f(x)称为 的像原函数。 因此，当f(x)满足Fourier积分条件时，有 20 2.三维Fourier变换 若记 则三维Fourier变换及反演公式分别： 21 3.Fourier变换的性质 设 （1）线性性质 为任意常数，则任意函数 和 有： （2）延迟性质 为任意常数 22 （3）位移性质 设 为任意常数 （4）相似性质a为不为零的常数 （5）微分性质 若 时， 则 23 （6）积分性质 （7）卷积性质 卷积定义： 已知函数 和 卷积定理为： （8）象函数的卷积定理 24 9.3.2 Fourier变换法解定解问题 n例1 求解弦振动方程的初

9、值问题 解：视t为参数，将方程和相应的条件对x进行Fourier变换，并记 则 25 这是带参数 的常微分方程的初值问题。 解得： 再进行反演，得到原定解问题的解为： 26 n例2 求无界杆的热传导问题 解：对方程和定解条件两端关于x分别进行Fourier变换，并记 则： 这是带参数 关于变量t的常微分方程的初值问题，解得： 27 应用反演公式，得原定解问题的解为： 再由卷积定理 而 28 这里利用了积分公式 所以 由此例看到，用Fourier变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次 方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。 29 9.4 Laplace变换法解定解问题 9

10、.4.1 Laplace变换及其性质 1.Laplace变换 定义： 逆变换（或称反演）： 30 2.Laplace变换的性质 （1）线性性质 （2）延迟性质 其中 （3）位移性质 则 31 若 时， （4）相似性质 则 （5）微分性质 32 （6）积分性质 （7）卷积定理 其中，定义 33 9.4.2 Laplace变换法 n例1 求解半无界弦的振动问题 解：对方程两边关于变量t作Laplace变换，并记： 则 34 代入初始条件，得： 再对边界条件关于变量t作Laplace变换，并记 ： 则有： 35 上述常微分方程的通解： 代入到边界条件中，得： 故： 由位移定理： 所以： 36 n例2

11、 求解长为l的均匀细杆的热传导问题 解：对方程和边界条件（关于变量t）进行Laplace变换并考虑到初始 条件，则有： 37 其中方程的通解为： 由边界条件定 ，得： 38 由变换公式 知 又有 所以 从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与 边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。Laplace变换同样可以用来 求解无界区域内的问题。 39 n例3 在传输线的一端输入电压信号 ，初始条件均为零 ，求解传输线上电压的变化 解：这是个半无界问题，定解条件如下： 将方程和边界条件施以关于t的Laplace变换，并考虑初始条件，得 到： 40 其中方程的通解为： 常数

12、在实际问题中，一个很重要的情形 这时 41 其次，有自然条件 取 ，则： 再由边界条件得： 通过反演 ，由延迟定理得： 42 总结 n积分变换方法不仅能求解无界问题，而且也能 够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。 n求解的步骤 q第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变 换；得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问 题或初值问题； q第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初 值或边值问题，得到象空间中的解； q第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间 中的解。 43 n求积分变换的反演： q（1）直接查表，常见函数的Fourier和Laplace等 积分变换和反变换已有列表； q（2）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求 出象函数的反演； q（3）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识 ，计算反演中的无穷积分； q（4）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的 无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。 44