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1、实验一用FFT进行信号谱分析一. 实验目的：A. 进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解（因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然使DFT得基本性质）。B. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。C. 学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的算法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。二. 实验原理：DFT是离散傅里叶级数（DFS）在时域和频域内的两个主值序列构成的变换对：Xk=DFTxn=n=0N-1xn 0kN-1xn=IDFTXk=1Nk=0N-1XkWn-kn 0kN-1用DFT来分析有限长序列的频谱特性。FFT是DFT的快速算法，
2、常用的两种快速算法有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法，其中按时间抽取的FFT算法如下式：Xk=X1k+WNkX2k k=0,1,2N2-1Xk+N2=X1k-WNkX2k k=0,1,2N2-1按频率抽取的FFT算法如下：Xk=n=0N2-1xn+-1kxn+N2WNk k=0,1,2N-1三. 实验数据1、x1(n)及其8点和16点DFT2、x2(n)及其8点和16点DFT3、x3(n)及其8点和16点DFT4、x4(n)的8点和16点波形及其DFT5、x5(n)的8点和16点波形及其DFT6、x6(n)的16点、32点和64点采样序列波形及其DFT选7时，计算并图示x7n=x
3、4n+x5n*R8(n)和x7n=x4n+x5n*R16(n)及其DFT。程序自动计算并绘图验证DFT的共轭对称性。当N=16时， x4n=x4N-n，x5n=x5N-n。即x4n为x7n的共轭对称分量，而x5n是x7n的共轭反对称分量。根据DFT的共轭对称性，应有以下结果：x7k=DFTx7n16点=ReX7k+jImX7kx7n=x4n+x5n的8点和16点波形及其DFTx4k=DFTx4n16点=ReX7kx5k=DFTx5n16点=jImX7k绘出ReX7k和jImX7k的模。它们正是图中16点的|X4k|和|X5k|。选8时，计算并图示x8n=x4n+jx5n*R8(n)和x8n=x
4、4n+jx5n*R16(n)及其DFT。程序自动计算并绘图验证DFT的共轭对称性的第二种形式：如果xn=xrn+jxin， Xk=DFTxn=Xepk+Xopk，则Xepk=DFTxrn，Xopk=DFTjxin。其中Xepk=12Xk+X*N-k， Xopk=12Xk-X*N-k。x8n的8点和16点DFT程序计算结果如下：X8ek=12|X8k+X8*N-k|及x4n=x8rn=IDFTX8ek，正好与图中x4n的16点|x4n|及x4n相同。jX8ok=12|X8k-X8*N-k|及x5n=x8in=IDFTX8ekj，正好与图中16点的|x5n|及x5n相同。四. 思考题（1）当N=8
5、时，x1n和x2n的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？（2）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？ 答：（1）当N=8时，x1n和x2n的幅频特性会相同. 当N=16时，x1n和x2n的幅频特性会不相同。（2）、如果xn的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即xMn=xnRMn XMn=DFTxMn 0kM-1 再将截取长度扩大1倍，截取x2Mn=R2Mn X2Mn=DFTx2Mn 0k2M-1 比较xMk和x2Mk，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以xMk或x2Mk近似表示 xn的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最
6、后截取长度为iM，则xiMk0表示=2iMk0点的谱线强度。通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2ND。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
