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1、学 分 无限维模李超代数W ( m ，q ，r 1 ) 的导子超代数 D e r i v a t i o ns u p e r a i g e b r a so fi n f i n i t e - - d i m e n s i o nm o d u l a rL i e S u p e r a l g e b r a sW ( m ，q ，n ) 指导教师：张永正教授 学科专业：基础数学 研究方向：模李超代数 学位类型：学历硕士 东北师范大学学位评定委员会 2 0 10 年5 月 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有父保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留
2、并向国家有关部I 、J 或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有天数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用木授权书) 学位论文作者签名：遂 日 期：! 竺生! 生： 指导教师签名：盔丞垄 日期：趁丝：笸：f 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：霪型垡趋坐兰厶 园兰重 通讯地址： 电话：超生理! 呈蛰 邮编： 刃9 ) = 4 ( 2 ) ，V ，, V ，诺，。 定理C ：令彳= 红匀J ，耵嚣亏川，互= 捆l z ，耳，互u 鬈 厂= 互U 互U W
3、- I U W o ，那么由丁生成。 定理D ：眈彬I ：沥。嘭k 妲Y l i 石，亏一。 关键词：模李超代数， 型导，导子超代数 A b s t r a c t L e tt h ef i e l dF h a sc h a r a c t e r i s t i cp 2 ，I nt h i sp a p e r ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m eo ft h eb a s i c s o fm o d u l eL i es u p e r a l g e b r as , d e f i n et h e 纵易功- t y p em o d u
4、 l eL i es u p e r a l g e b r a sa n di t s h o m o g e n e o u sd e r i v a t i o n ，a n dg i v e st h es t r u c t u r eo f 职易功T h e nw es t u d yt h e 口一 t r u n c a t e de l e m e n tf r o mt h ed e r i v a t i o no ft h ez - h o m o g e n e o u sd e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r a s 。B
5、y a p p l y i n gt h eb a s ee l e m e n to f 纵磁易功( d e n o t e db yi f - ) w ec a ng e t 岛锄( 叨，V 日 a n d d e c o m p o s i t i o n a sd i r e c ts u m T h ef o l l o w i n ga r eaf e wc o n c l u s i o n so ft h i sa r t i c l e ： T h e o r e m A ：忍D e r 石( W ) ，V O T h e o r e m B ：l e tD e h ( D
6、e r t I O ，i f 烈吃) = 0 ，V m 夕，t h e r ee x i s t 0 O ，s u c ht h a t 刀杪2 ) = 岛( 2 ) ，V ，层V ，仨， T h e o r e m C ：l e t r l = 红9 I ，彬亏川，互= 乃名l 只，昂，五U 鬈 厂= 石U 互U 肛lU F ro t h e n , i sg e n e r a t eb y 7 T h e o r e m D ：厮：沥。脚蛔广I ，r 0 ，亏一 K e yw o r d s ：m o d u l a rL i es u p e r a l g e b r a s , O
7、 - t y p ed e r i v a t i o n d e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r a s n I l l 模李超代数与现代许多的数学分支有着密切的联系，而且在现代物理学等其他学科 的研究中也有着广泛而深刻的应用。例如，为了建立相对论的费米子与玻色子的统一理 论，在1 9 7 4 年Z u m i n o 和W e s s 提出了超对称性，并且把普通时空满足的P i o n c a r e 李代 数扩充为超P i o n c a r e 代数。由此，用李超代数的不可约表示研究有限个具有不同内部量 子数的玻色子与费米子。鉴于李超代数的重要
8、作用，近几年来，对于李超代数的研究十 分热门。 根据基域的特征，李超代数分为非模李超代数与模李超代数，即特征零域上的李超 代数和素特征域上的李超代数。1 9 7 7 年，K a c 对特征零域上的有限维单李超代数进行了 完全分类。1 9 9 8 年K a c 又对特征零代数闭域 ：无限维单的线性紧致李超代数进行分类。 因此，特征零上的李超代数的研究结果是十分丰富的，而模李超代数尚有许多重要的研 究课题。 1 9 9 7 年文献 1 】构造了四类有限维C a r t a n 型模李超代数形墨和髟，并证明了它 们的单性。从此，开始了对C a r t a n 型模李超代数的进一步研究T 作。例如，对
9、导子超代 数，结合型，阶化模等方面的研究。 本文借助文献 1 的思想，在无限维C a r t a n 犁模李超代数的底代数上，张景了一 个截头多项式，从而得到了一类无限维的模李超代数，进而确定了它们的生成元和导子 超代数。 东北师范大学硕士学位论文 第一章预备知识 在本篇文章中，我们假设域，的特征数尸 2 ，在此前提下，我f r i 3 1 进一些定义及 符号，在接卜来对无限维模李超代数( 码易功的讨论中将会用到，此外，在本篇论文 中，如果荆出现在摸个表达式中，则约定z 是互- 齐次元素，且z 的互一次数为荆。 我们用碳回表示李超代数口的所有互一齐次元素的集合，碳回= 瓴uq 。 设为正整数集
10、，形为非负整数集，对于朋，a ，= 。，a ：a ，) 盯定义 脚 川：= 口，令即( 功表示具有生成元素引b 盯 的，卜的除幂代数。 ，_ 1 令矿以尸= r a + q ，我们用人( 力表示具有矿个未定元，的外代数，定义 反力= J m + l i 左 r , 1 后办U ，若= 以力， 则令= 后，= ，约定I I = o ，= 1 ，那么 ，恤卢( 力) 构成了人) 的一个 ，- 基底。令厅彤= 厂+ 塌，；+ 仍，刀= 塌+ 仍。 我们用爿功：= 如州肠：，以，以+ l ，办】表示截头多项式代数，其中= 1 ( ，= ，+ 1 ，) 。 假设r ：= 0 1 ，尸一1 ) ，= 1
11、1 ”。设y = p ，+ l ，) ，其中，I ，= ，+ l ，。定 义：= 兀二。彭，那么么功= E H k 乃。我们令G = 荆。人。鳓互= - i ) 为模2 剩余类环，J J l j z , ，人( 力的互阶化与剀乡的自然互阶化诱导了G 的一个 互- 阶化：锈= 以功 人( 力i 嘲功，6 ；= 砌) 。人。爿功。 此时G 是一个结合超代数，如果以以g e 人( 办居0 ( 4 ，我们将圆o 乃简 记为励，那么 “e y b W ，反办，H ) 构成了口的，一基底。 2 令r o = 1 ，功，彳= ，= 石U ，= Y U 当，K 时，定义s ， 暑峨，如，丸) ： ，= I 互
12、。 令z = 肼+ l ，厂 ，则z 础) 当，石时，用衫表示( 功的特殊导子，满足4 1 0 , ) ：1 一) 当，彳时，令衫：= 乡么为人( 力对的偏导子， 当，五时，令z ：= 乡乞为乡为彤的偏导子，当，鬈时，令彰：= ( 恒等映射) 若召，忍，口为G 上的线性变换，且满足 D ，( z 扣， ) = 易见，口( “，) = 、。，y ，w 。 矿( z 。) z ”y v , V ，石 z 叫矿( z ”) ，V ，彳 z D z “矿( 少”) ，V ，t ( z ( “) z ”少”) ，V i e 墨 令6 ；= s p a n F x ( 口一少忙I + 川= 4 V v 仍
13、那么，G = o 危。q 是二阶化的结合超代数， 令J ，定义6 以五u 鬈，= Z 我们有9 ( 一忍) = 0 ， 那么 妒眩。乌) = 9 ( k ，口，相】) = 0 所以9 ( 召) = 0 。而9 ( 忍) = 9 ( 盈，玉岛】) = O ，综上有 9 ( 9 ) = 0 。 ( i i ) 往证9 ( 9 ) = o ，V ，t t , V i , j z ，J 。考虑z - 次数，我们设 妒( 9 ) = 白么，G ，令后，e ， 力，由( i ) 9 ( 岛) = o ，用妒作用 拓1 【口，以口】= o 。町得白易= o ，进而咯= 0 。那么9 ( 9 ) = 哆9 。
14、用9 作用 口，9 】- 9 。可得k 口，0 9 _ 0 9 进而可得e = 0 ，故9 ( 9 ) = 0 。 下面往证，9 ( 口) = o ，V ，H , V i e ，。令妒( 9 ) = 刃忍，瓴，用妒作 用【口，9 】- o ，v 八 矗，可得 4 ，9 】= o ，进而得到衫= o 。故 X = 1 9 ( 忍) = Z 口，由于9 ( 口) = 0 en 力。我们用9 作用 9 ，易】_ 易，可 得 Z 口，彩】_ 0 ，直接计算，得矿= O ，因此，9 ( 口) = o 。 下面往证r p 0 D , ) = o ，V ，凰V 点。令9 口) = 鹕，哆玩， 由于 妒( 而
15、易) = O ，V k eY ，用妒作用等式沙口，厂”4 】= - - V ，诈毋，进而可得， 嘭易，以厂4 】- o ，所以有厂毋= o ，V 后Y 。因此9 ( k 易) = o ，V y 属 ，- I V ，。 V i e 鬈，只需将9 作用等式D ，2 ，桫- D ，】= 一忍即可得到q = O ，V 后y 。 ( i i i ) 由( i ) 和( i i ) 町知妒作用1 厩的基底元素都为零，即妒( ：一0 ) = o 。 1 5 桫q = 【，q ，五4 】，玉桫9 = 【，少曰，2 刚9 】T , V 石。 下证y 口T , V J ，分三种情况讨论： ( i ) 如果石 l ，桫9 = 【召，王桫9 】T 如果= 1 ，那么，桫甥= 研召，五y 9 】，故当石时，y 9 7 ( i i 、苇
