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1、重庆理工大学 硕士学位论文 Lipschitz条件在凸函数中的应用 姓名：李素斐 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：王良成 2011-05-21 I 摘 要 在 20 世纪中后期，世界上的数学家们对凸函数进行了广泛深入的研究。凸 函数有许多很好的性质，它的凸性和其本身的定义是建立在不等式基础上的，这 一事实使得凸函数成为了证明不等式的重要工具, 由此建立和改进了大量的不 等式。与凸函数有关的不等式在数学的基础理论和应用中都起着非常重要的作 用，凸函数的 Hadamard 不等式及 Jensen 不等式都是凸函数重要的经典内容。 Lipschitz 条件是德国数学家 Rudolf L
2、ipschitz 给出来的，是应用很广泛的 一个数学条件，其在一元函数与多元函数的一致连续性、泛函分析中的不 动点理论等问题中都有着很好的应用。 在 2000 年 S. S. Dragomir 发现一元凸函数在一定条件下满足 Lipschitz 条 件，但满足 Lipschitz 条件的函数并非都是凸函数。S. S. Dragomir 和王良成教 授先后将 Lipschitz 条件运用于凸函数的 Hadamard 不等式中，建立了一类具有 Lipschitz 条件的 Hadamard 型不等式。 本文第二节继续了 S. S. Dragomir 和王良成教授的工作，先将 Hadamard 不 等
3、式的凸函数换成具有 Lipschitz 条件的函数，然后建立一类新的具有 Lipschitz 条件的 Hadamard 型不等式。 本文第三节，运用了第二节的思想方法，将 Lipschitz 条件应用于 Jensen 不 等式中，由此获得了一类具有 Lipschitz 条件的 Jensen 型不等式。 本文第四节将第二、三节结果中的具有 Lipschitz 条件的函数还原成凸函数， 从而由凸函数的 Hadamard 不等式与 Jensen 不等式生成若干新型不等式。 本文极大地丰富了凸函数的 Hadamard 不等式与 Jensen 不等式的理论。 关键词：Lipschitz 条件，凸函数，H
4、adamard 不等式，Jensen 不等式。 II Abstract The mathematicians in the word have researched the convex functions extensively and widely since the middle stage of the 20th century. The convex functions have a lot of superior properties. The definition and the convexity of it are established on the base of ine
5、quality. The fact makes convex functions be important tools to prove inequality. So we can establish and improve lots of inequalities. The inequalities on convex functions take an important part in the application and the basic theory of mathematics. The Hadamard inequality and the Jensen inequality
6、 are the important and classic contents of convex functions. Lipschitz condition is given by German mathematician Rudolf Lipschitz. It is a widely used. It has wide application in the uniform of functions of one variable and multivariate function and in the fixed point theory of functional analysis.
7、 In 2000, S. S.Dragomir found that convex functions of one variable under certain conditions satisfied Lipschitz condition. But the functions satisfied Lipschitz conditions are not all the convex functions. S.S.Dragomir and professor Wang Liangcheng applied Lipschitz condition to Hadamard inequality
8、 of convex functions successively and established a group of Hadamard inequality satisfied Lipschitz condition. In the second part of this paper, the jobs of S.S.Dragomir and professor Wang Liangcheng are continued. We convert the convex function of Hadamard inequality into the function satisfied Li
9、pschitz condition and establish a new kind of Hadamard inequality with Lipschitz condition. In the third part of this paper, we use the methods of thought in the second part and apply Lipschitz condition to Jensen inequality, and then we get a kind of Jensen inequality with Lipschitz condition. In t
10、he fourth part of this paper, we revert the functions satisfied Lipschitz condition in the second and third part into the convex functions and create some new kind inequality based on Hadamard inequality and Jensen inequality of convex functions. The theory about Hadamard inequality and Jensen inequ
11、ality of convex functions is greatly enriched in this paper. Key words: Lipschitz condition, convex functions, Hadamard inequality, Jensen inequality 重庆理工大学 学位论文原创性声明 重庆理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究所 取得的成果。除文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果、作品。对本文的研究做出重要贡献的集体和个人， 均已在文中以明确方式
12、标明。 本人承担本声明的法律后果。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权声明 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权重庆理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于（请在以下相应方框内打“” ） ： 1.保密，在 年解密后适用本授权书。 2.不保密。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 1. 绪论 1 1 绪论 1.1 研究背景
13、 凸分析是介于分析与几何之间的一个数学分支,虽然最早有关凸性的某些 结果可追溯到 18 世纪中期，但近代所谓的凸分析则是在 20 世纪初由 H.Minkowski 等人创始。凸理论基础包括凸函数、凸集、赋范空间的凸性、凸 锥、正解理论等内容。到了 20 世纪中叶,由于最优化理论的发展,许多的基本理 论问题皆涉及到凸性，这使得凸分析日益受到重视并且得到深入发展。把凸分 析陈述为一个独立的数学分支发生在 20 世纪 50-60 年代, 70 年代以后, 由于非 线性分析等学科的需要和刺激, 凸分析得到了迅速的深入和广泛的发展。它的 研究对象是凸函数、凸集和凸泛函。由于其应用的广泛性, 使得凸分析已
14、越来 越成为了广大数学工作者的得力工具。凸分析的概念和方法在数学的各个分支 中得到了广泛的应用，例如极值理论, 凸规划，古典变分法, 数学物理, 整函 数论与数理统计等等。 凸函数是凸分析的一个基本研究对象，是现代数学中最广泛使用的概念之 一，其概念很重要，在这里我们引用 Jensen 曾经说过的已被完全证明是正确的 话： “我觉的凸函数的概念和正函数、增函数一样也是基本的。如果这一点我没 弄错的话，这个概念应当在初等的实变函数理论陈述中占有自己的位置。 ”凸函 数是一类有着广泛应用的特殊函数，其在最优化的各个领域、数学规划、控制 论等领域都有着广泛的应用，同时在逼近论、不动点理论和临界点理论
15、等许多 学科中也时常遇到。它与几何也有着密切的联系（例如边界结构、几何测度论、 优化论等） 。在 20 世纪中后期, 世界上的数学家们对凸函数进行了广泛深入的 研究。凸函数有许多很好的性质, 其凸性是证明不等式的重要工具。在不等式 的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。 不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 正如美 国“数学评论”中所指出的那样:“不等式的重要性无论怎么强调都不会过分” 。 不等式一直是 20 世纪非常活跃而又有吸引力的研究领域, 特别是上世纪 90 年 代不等式的研究空前活跃, 研究的深度和广度都在迅速地扩大。数学不等式的 研究存在并应用于数理科学的
16、方方面面, 无处不在。关于数学不等式的研究, 首先是从欧洲国家兴起的, 在东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯 拉夫国家。 G. H. Hardy, J. E. Littlewood 和 G. Polya 的名著 不等式 (Inequalities) 于 20 世纪 50 年代由剑桥大学出版社(Cambridge University Press)出版，这标志 重庆理工大学硕士学位论文 2 着数学不等式理论的成熟, 从此它登上了数学宝殿的大雅之堂。在近代数学的 发展中也离不开不等式，例如在复变函数论、黎曼流形、函数空间嵌入理论、 变分计算、近代调和分析等分支的发展中都离不开几何不等式；熟知的 Holder 不等式和 Minkowski 不等式是建立 P L 空间的基本工具；甚至从一个量的非负何 时导致另一个量的非负的问题看起来十分简单,却发展成正
