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1、Anselin (1988) 空间面板模型的快速一致估计 Fast and Consistent Estimation of Spatial Panel Models of Anselin (1988) Specefi cation 张征宇 上海财经大学经济学院 朱平芳 上海社会科学院数量经济研究中心 摘要 与Kapoor, Kelijian and Prucha (2006)模型中的误差成分(error component)设定不同， 在Anselin (1988)模 型中，空间相关只存在于误差项中的的特异质成分(idiosyncratic innovations)中而不存在于不随时间而变化
2、的 个体效应中。在正态分布的假定下，极大似然方法虽然可以得到参数的有效估计，但因该方法在实际操作中涉 及复杂的非线性算法，当模型的维数很大时，极大似然方法对普通研究者未必是可行的或经济的；另外当误差 项不服从正态分布时，极大似然估计不一定能得到参数的一致估计。有鉴于此，在本文中我们对模型提出一种 可行的(feasible)广义最小二乘估计方法。我们证明了估计量的一致性和渐进正态性。Monte Carlo 实验表明， 在小样本情形，广义最小二乘法可以获得几乎和极大似然估计量相同的估计效果。与极大似然估计量相比，广 义最小二乘估计不需要假定误差项的分布， 而且在大样本的情况下， 更容易快速简便地得
3、到估计结果。 1引言 近来关于静态(static)空间面板模型的文献中，模型的误差成分设定通常有两种情形。其一假定空间 自相关只存在于除个体效应项之外的剩余部分， 而不存在于个体效应项中(见Anselin, 1988, Baltagi, Song, and Koh, 2003, Anselin, Le Gallo, and Jayet, 2005，Elhorst 2003, Su and Yang 2007,以下简称Anselin模型)。 在另一设定中， 空间自相关同时存在于个体效应成分与特异质成分(idiosyncratic component)中(见Kapoor, Kelejian and
4、 Prucha, 2006;以下简称KKP模型)1。以上两种设定尽管看起来类似，却意味着不同的空间 溢出(spill-over)机制2。这两种设定互不嵌套(non-nested)，有其各自的适用性和局限性。Anselin模型的局 限之处是它未能允许个体效应中可能存在的空间效应；KKP模型的局限性在于它未能区别对待对个体的 永久性冲击(permanent shock)的空间溢出效应与对个体的暂时性冲击(transitory shock)的溢出效应。 注意 到以前文献对Anselin模型的参数估计讨论中，通常假定正态的误差项并采用极大似然方法(Anselin 1988, Anselin, Le G
5、allo, and Jayet 2005, Elhorst 2003)。 极大似然估计的优点在于当误差项的确是正态分布的时 候， 估计量是一致而且有效的。 然而这一方法也同时存在着以下两大缺点。 其一， 当误差项不是正态分布 的时候， 极大似然估计量可能是不一致的； 其二， 空间面板模型对应的极大似然函数的特殊形式决定了实 电子邮箱：terrier zzy 1 Baltagi, Egger and Pfaff ermayr (2006)提出一个同时将Anselin模型与KKP模型纳为特殊情形的一般模型， 并通过检验模 型参数的线性与零约束来区分Anselin与KKP设定。 2见 Baltagi
6、, Egger and Pfaff ermayr (2006)中关于厂商生产力 (fi rm productivity)的论述。 1 际计算中必然要涉及大量的非线性算法(模型的极大似然函数形式见后)。 特别地， 当观测的维数很大的时 候，计算机需要进行大量繁重的非线行运算，因此大大增加了普通研究者估计模型的时间3。所以有必要 在不降低模型估计效果的情况下， 发展出更为快速简便的估计方法。 在本文中， 我们推广Kapoor, Kelijian and Prucha (2006)的对KKP模型的矩估计方法，提出一套针对于Anselin (1988)模型的可行广义最小二 乘法。通过两组互相正交的矩条
7、件， 模型中的多余参数(nuisance parameters)可以被一致地估计4， 接着我 们就可以运用广义最小二乘法获得回归系数的有效估计。Monte Carlo实验结果显示， 在小样本的情况下， 我们提出的可行广义最小二乘法具有良好的估计效果。具体来说，相比于未考虑误差项中空间相关结构 的简单最小二乘法， 广义最小二乘估计量的估计效果有明显提高； 相比于极大似然估计量， 广义最小二乘 估计量在保持一致性的同时， 估计效率并没有损失太多， 但是其计算过程却大大地简便了。 文章安排如下： 在第2节， 我们回顾Anselin模型的设定， 并将其与KKP模型进行对比。 在第3节中， 我 们提出4
8、步估计法来估计模型的参数。 我们给出了估计量大样本性质的证明。 在文章的第4节， 我们报告了 估计量的小样本性质， 第5节总结全文。技术性细节见附录。 2模型的设定 假设得到个体i = 1,2, ,n在时刻t = 1,2, ,T的观测。在本文中， 矩阵和向量的下标通常表示它 们各自的维数。 另一方面， 本文中的渐进分析基于T固定而n 的情形， 因此下标n有时候意味着矩阵 或向量中的元素依赖于个体总数n，例如Wn,Xn,n,n,yn。文中下标为零的参数表示生成数据的模型中 参数的真实值，例如0,0。一个n n的矩阵An被称为是行和与列和一致有界，如果存在一与n无关的 正常数c5， 使得maxi
9、Pn j=1|an,ij| c与maxj Pn i=1|an,ij| c同时成立。 定义nn矩阵或n1向量An的模 长kAnk = tr(A 0 nAn)1/2。 用T 表示全部元素为1的T 1列向量，In表示n阶的单位矩阵，表示Knoenker乘 积。 假设数据由以下回归模型生成 yn(t) = Xn(t)0+ un(t)t = 1, ,T(1) 其中yn(t)是被解释变量在时刻t的n 1维观测向量。Xn(t)为在时刻t的n k维外生变量矩阵(包含常数 项)。un(t)表示n 1维误差项。此处将外生变量矩阵Xn(t),t = 1, ,T看成常数矩阵。 Anselin模型与KKP模型的区别主要
10、是对模型(1)中误差项成分的设定不同。Anselin模型如下设定误 差项： un(t) = n+ n(t)(2) 以及 n(t) = 0Wnn(t) + n(t)(3) 其中Wn为一n n的常数矩阵，被称为空间权重矩阵(spatial weighting matrix)。空间权重矩阵刻画了截 面上个体的空间相关性结构6。0被称为是空间自回归系数，其绝对值刻画了空间相关性的强弱，其符号 表示空间相关性的方向。n= (n1, ,nn) 0， 为n 1的个体随机效应向量。 n(t) = (n1(t), ,nn(t) 0 3Kelijian and Prucha (1999)在文中对极大似然估计的缺点
11、作了详尽的阐述。 4本质上，我们估计多余参数的方法并非是有效的。然而，在Anselin模型中，研究者所关心的参数主要是回归系数(回归 方程的斜率)。在本文中， 我们可以证明只要多余参数能够被一致(非有效)地估计， 就可以用广义最小二乘法获得回归方程 系数的有效估计。 5矩阵行和与列和的一致有界性也可以从矩阵范数的角度来定义。 一个nn矩阵An最大列和范数kk1可以定义为kAnk1 = maxj ? i|an,ij|，最大行和范数k k可以定义为kAnk = maxi ? j|an,ij|。从这个意义上说，An行和与列和的一致有界 等价于序列kAnk1和kAnk有界。 6从(3)式中可以看出，
12、这种空间相关结构不随时间的变化而变化。 2 表示时刻t上的n1维既随时间又随个体而变化的独立同分布特异质成分向量。 在Anselin设定中， 误差项 先分为个体效应与特异质成分两部分，空间自回归过程只用于除个体效应之外的剩余特异质成分而不再 进入个体效应项。与Anselin设定不同，KKP设定先将空间自回归过程应用于整个误差项，然后再将误差 成分结构应用于空间自回归过程的残差部分， 即 un(t) = 0Wnun(t) + n(t)(4) n(t) = n+ n(t)(5) 以下假设规定了误差成分n, n(t)和空间权重矩阵Wn需满足的正则性条件： 假设1 (a) Wn对角元素为零。(b)记S
13、n() = In Wn，则Sn= Sn(0)可逆。 假设2固定T，(a)对于任意1 t T,1 i n,n 1 ni(t)零均值独立同分布且具有有限方差2 ,0 2 b与有限四阶矩。(b)对于任意1 i n, ni零均值独立同分布且具有有限方差2 ,0 2 b 与 有限四阶矩。(c) ni(t)与ni独立，对于任意t = 1, ,T,i = 1, ,n。 假设1的(a)部分是空间权重矩阵的一项正规化(normalization)要求， 意味着在截面上的任何个体都不 是它自身的邻居。(b)部分是说模型的设定是完备(complete)的， 即un(t)可由误差成分n与n(t)唯一地 决定7。假设2
14、中的第一句话意味着在本文中我们的大样本分析对应于T固定而n 的情形，这一分析 基础与微观计量经济学中大量的短面板(short panel)数据， 即n远大于T的情形刚好一致。 将Anselin模型(1)-(3)写成矩阵形式 ynT= XnT0+ unT(6) unT= (T In)n+ (IT S1 n )nT(7) 其中ynT= (y 0 n(1), ,y 0 n(T) 0, X nT= (X 0 n(1), ,X 0 n(T) 0, u nT= (u 0 n(1), ,u 0 n(T) 0, nT= ( 0 n(1), , 0 n(T) 0。 根据假定1-2，Anselin模型的误差项方差
15、矩阵为 n= EunTu 0 nT = 2 (T 0 T In) + 2 IT S1 n S 01 n (8) 或者n= 2 n， 其中 n= 2 2 (T 0 T In) + IT S1 n S 01 n (9) 当n N(0,2 In), nT N(0,2 InT)时， 模型的对数似然函数为 lnLn(,2 , 2 ) = ln|n(, 2 , 2 )| 1 2(ynT XnT) 01 n (,2 , 2 )(ynT XnT)(10) 估计量的求解需要对以上对数似然函数一阶导数方程求零点。鉴于n(,2 ,2)的复杂结构， 我们不难看 出极大似然估计方法在实际计算中不可避免地涉及到大量的非线性算法而大大增加普通研究者运算的时 间。 7事实上， 关于Wn我们时常需要加上比假定1更多地正则性条件。见文中假定4。空间权重矩阵的特点与空间计量模型估 计量的性质具有密切的关系。 例如Lee(2004)研究发现Wn中元素的阶数(order)与空间回归模型的极大似然估计量的收敛速 度有直接的关系。 3 3Anselin 模型的4步估计法 首先， 由模型设定与基本假设， 我们可以得到以下6个矩条件。 命题1在假设1-2下，以下两组矩条件成立: 第1组: n(T 1)1Eu
