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1、电子测t与仪器学报2 0 0 ( ) 增刊 用于传感器有限元法计算中的稀疏方程组解法 曲国明 庄庆德 陈书旺 ( i j 北科技大 学， 石家 庄 0 5 0 0 5 4 ) 【 摘要l 本文报告了在用有限元法计算传感器特性的研究中， 高阶线性稀疏方程组的几种解法的比 较， 就占 用内存容i t 、运算速度、编程的难易等方面，提出了一种较好的解决方法。 关镇词:传感鹅有限元稀琉方程 侄 宜1 l 引言 有限元方法是一种将连续问 题离散化. 近似地求解数学物理问 题的 方法。 利用该方法分析计 算热型传感器内墓板上的 温度分布， 对传感器性能参数的优化和传感器的设计提供了一种重要的 手段。 一般
2、在计算机上用有限元法计算热型传感器墓板上稳定温度场的步蕊是: 先将一定形状的传 感器墓板划分成单元并编制节点号和单元号， 确定单元号与边界号的关系， 单元的导热系数和边 界条件以 及节点坐标等有关数据: 然后把这些数据输入计算机，由 计算机按有限元变分计算公式 自 动生成沮度刚度矩阵K和右端向 量P ，最后求解关于温度的N阶线性有限元方程组: K】 ， = P ( 1 ) 其中K为N x N的 对称正定刚度矩阵. N为区域内划分的节点总数; T为墓板上N个节点 温 度组成的列向f矩阵:P为己知的右端列向f矩阵。 显然， 要求得高精度的近似解. 必须采用十分辅细的有限单元划分， 从而大大增加了区
3、 域内 的节点总数， 必然会遇到求解几百阶至几万阶， 甚至几十万阶的大型有限元方程组问题。 在复杂 结构的有限 元分析中，这往往占 去总计算I的四分之三以 上，同时总刚度矩阵 K的存储常占 去 大里的微机内存。 因 此如何选择高效的有限元方程组的解法， 及选择占 用内 存较少的存储温度刚 度矩阵的方法。 对用有限元法求解传感器的 温度分布有着十分重要的愈义， 亦是迫切需要解决的 问题。下面就这两个问硬分别加以 讨论. 2温度刚度矩阵的基本特征 为得到温度刚度矩阵的有效存储方法，必须注愈温度有限元方程组的如下墓本特征: ( ) 对称正定 性和半正定性 经典的基于 极小势能原理得到的有限元方程组，
4、 其温度总刚度矩阵总是 对称正定性的。据此 我们只需存储其下三角阵中的元素.对角线上部的元素依对称原则即可得到. ( 2 ) 离度稀硫性 当 要提高计算结果的精度或遇到大型复杂组合结构有限元时， 有限 元方程组的阶数可达到几 万或数十万阶。 尽管在传感器墓板上有数万个节点， 但与某一特定节点相邻的节点数一般不超过 本论文得到河北省自 然科学基金 ( 6 0 0 2 4 9 ) 资助。 曲 国明:.徽授:庄庆恤:教授;陈书旺:讲师. 4 6 7 电 子 测 盆 与 仪 器 学 报 _ _ 一 一一一一一一一一一一一一一一一一一2 丝塑 到万分之几.故尽量少存储刚度矩阵的零元素，必将大大节省占 用
5、计算机内 存空间。 ( 3 )非零元素分布的规则性 合理编排所划分单元的节点号， 可使非零元素在刚度矩阵内的排列具有很强的规则性。 一般 分布在主对角线附 近相当 狭小的一定宽 度内。 常见的分布有等带宽、 变带宽、 子结构等带宽和子 结构变带宽等. 根据温度总刚度矩阵及其非零元素分布特征， 可以构造出不同的存储方法，以 适应不同的求 解方法。 3有限元方程组的存储方法 ( 1 ) 等带宽 压 缩存 储 在有限元方程组 ( 1 ) 式中，温度刚度矩阵K为N阶带型矩阵，即K满足: K ij二 0x 0 ( 1 i+ l ) ( i - 1 -.5 i 5 i + 1 ) ( 2 ) 称为半带宽为
6、I w = 2 w + 1 , ( 2 ) 式可表示为: K二 ，、 K，、 0 K ， K . . KN - I CI KN . N - 1 KN - 1 ,N KN . N ( 3 ) O 对温度刚度矩阵只需存储带区内的非零元素，这既可节省内 存又减少了许多物入工作t。用 一个N行I w列的矩阵A 来表示K 矩阵. 且A的前w + 1行和后w + l 行的元素均以左对齐顺序放 在A 中相应行. 而最右边的空余部分均填入零。即矩阵K 用人 来表示格式为: !胜州州|J a , 丁 a翻 啼 、叭、 K 1 K. . , K , ， ， Q K，、 ，、 。 。 ， ( 4) 一- ，托沁汁
7、翻:a-.l:奴: a - - a 时L K，、 K， 、 ， ， K “ 一 ，0 all:勘:阮:如 = ( 2 ) 变带宽下 半带按行一维压绷存储 该方法有效地利用了 温度刚度矩阵的 对称性， 只存储沮度刚度矩阵的一半， 同时利用了非零 元素的 稀疏性和其分布的变带宽特征。 具体方法是: 把总刚度矩阵的下三角元素按行， 从第一个 非零元素到该行对角元素止的所有元素存放在一维数组C中。另外，用一维数组I D ( i ) 依次记录 各 主对 角元 素 排在 数组C 中 的 序号. 对于 大 型 方 程组用 数 组N A ( i) 记 录各 行第 一 个非 零 元素 的 列 号。 在计算程 序
8、中 可 依N A ( i) 推算I D ( i 因 为I D ( l ) 必然为1 而且I D ( i) = 1 D ( i- 1 ) + i 一 N A ( i ) 十1 . 按此法矩阵K中的 元素K Y ( i j ) 处 在数组C中的 第I D ( i) 一 i + j 的位1上， 第i 行的第一个非 零元素的列标号是 N A M= i 一 F I D ( i ) 一 I D ( i- 1 ) 1 +1 ( 5 ) 且当 jN A ( i )时，a i j二0 . (L3 下半带紧凑存储 此法充分 利用了 温度总刚度矩阵的 对称性和稀疏性。 其体做法是:按行序号把矩阵中每行从 4 6 8
9、 _. 一 . . . . . 电子测t与仪器学报z o o ( ) 增刊 第一个非 零元素到对角 元素， 按列序号顺序放于 数组C中; 非 零元素的 信息 存放于另一 数组I D ( i) 中， 它按行顺序存放每行对角线元素在数组中的序号，以 及每行非零元素的列标号。 按此法存储 时刚度矩阵中的第i 行第一个非零元素的列标号是 N L=I 以 N + I D ( i 一 1 ) + 1 )( b ) 而当JN L时， a ; j = D . 4 有限元方程组的解法 求解有限元方程组的方法主要有两大类:即直接法和迭代法。 每一类又有多种不同的算法。 但不论采用何种算法都必须既要保证解的 精度又
10、要尽量少占用计算机内存。 提高运算速度， 特别 考虑到有限 元方程组的阶数一般都很高， 因此， 在求解过程中必然伴随着有效的数据组织与管理: 算法的选择上必须考虑温度刚度矩阵的 存储结构， 以实现合理的数据调度和管理。 我们在P C机 上使用V H 语言. 对常见的一些算法， 就其占 用内存容A和运算速度及编程的难易程度进行了比 较。给出如下结果。 ( 1 )高 斯 一赛德尔 迭代法 考虑到A度刚度矩阵K具有主对角线占 优的特点，故其迭代格式为 T W O 0 P _ D j可 W O 一 艺 气 叮 阅 / K 、 (i = 议. . . 冈 ( 7) 其中T ;(m j)为 第M + 1
11、次 迭 代 近 似 解， T (m 为 第M次 迭 代 近 似 解. 初 值T ( o ) 既 可 取 零 亦 可 取任惫值。 该方法优点是程序简单， 系数矩阵 的内存少 ( 2 ) 。 缺点是由于迭代次数较多， 全选主元高斯消去法 K的一切零元素都不必存储， 也不参加运算。 故占用机器 致使求解时间过长，运算速度过慢。 该方法分为以下几步:( w取值从1 开始直到N + 1 ) ( a ) 全选主元。 即从系数矩阵的第w行、 第w列开始的子矩阵中， 选取绝对值最大的元素， 并将其交换到主元素位置上。 0(iJ ( b ) 归一化 ( c ) 消元 ( d ) 回代 K ， / K . ， K
12、 川 屹j - K. K . j -K . j = w + 一 留 W 十1 N + 1 ) N +1 ) ( 8 ) T . = K . ， K . ， 一 K . , K ; . ; . r - K . ， + .( w=N - 1 ， 1 ) 此方法在温度刚度矩阵K采用在第3 节中 所述的压缩存储方法时. 所占 用计算机内 存比 迭 代法增加的并不多，但却大大减少了 运算时间. 提高了运算速度。 ( 3 ) L D L T 分 解 法 这是一种与变带宽下半带按行存储格式相适应的直接求解方法。 ( a ) 分 解计算:K二 L D 口 计算过程如下: L ij ( 9) ( 1 0 ) 0
13、. 山 山n口 厂!1月.fL 卜 一|曰 ILQ rlesl几ee.L 电卜 其 4 6 9 - - 一 钟 ， ， 碑 ， ， 种 种门 . . 电子测t与仪器学报2 0 0 0 增刊 i =1 久刘 i =m m , 二 ， , i- 1 ( 1 1 ) 如如 械轼喊 L tr = K ,j I 峨夕 其中m ; 为第i 行第一个非零元素的列标号. ( b ) 正代和回代 用上 述 矩阵分 解 的 方 法。 使 方程 组K T = P 变成以 D L T I = P 可 等价于 求 解下 面 两个 三 角 型方 程组:L Y 二 P 和L T T = D - Y .计 算公 式分 别是:
14、 Y = P , 一 氛又 79 = Y I t4 ， 一 芝 从 1兀 ( i = 议 . ， N ) ( 1 2 ) ( i = N , N - 1 ， 二 ， 1 ) 用该解法求解大型稀疏方程组，既可高效地节省微机内 存. 亦可大大提高徽机运算速度。 5结语 以上， 分析了用有限元方法计算传感器特性时， 求解稀琉线形方程组的几种算法及特点。 在 保证运算精度的前提下， 尽A减少占 用徽机内 存和提高运算速度， 实现合理的数据调度与管理是 评价各种解法优劣的关键。 结果表明， 求解小型稀疏方程组用迭代法比 较方便， 而对于中型和大 型 稀疏 方 程组 用 压 缩 存储 法存 储 温度总 刚
15、 度 矩 阵. 同 时 选用L D L T 分 解 法求 解效率 较高。 用上 述方 法实际 地 计算了 平板结构的 热型传感器， 计算结果 请参阅参考文献川。 参考文献 D 庄庆 德 ， 陈书 旺 ， 曲 国 明有限 元 法计 算 热型 传 感 器的 特性( 特 发表) 1 2 1 王 助 成 ， 邵 敏， 有 限 单 元 法基 本原 理与 教 值 方 法， 清华 大 学出 版 社. 1 9 8 8 口 孔样谁，有限单元法 在 传热学中的 应用. 科学出 版社出 版， 1 9 8 6 S o l u t i o n o f S p a r s e Ma t r i x E q u a t i o n s A p p l i e d i n C a l c u l a t i o n o f S e n s o r U s i n g F i n i t e E l e m e n t Me t h o d Q u G u o m i n g , Z h
