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1、、 学校代码! Q 丝2 学号至Q Q 昼! Q Q 2 Q Q Z 鱼 几类冠图的临界群 T h eC r i t i c a lG r o u po fS o m eK i n d so fC o r o n a 研究生姓名：谭 湘花 指导教师姓名、职称： 侯耀平教授 学科专 研究方 运筹学与控制论 图论及其应用 湖南师范大学学位评定委员会办公室 二零一一年三月 摘 连通图的临界群是定义在图上的一个有限交换群它是图的生成 树数目的一个加细，其群结构是图的一个精细不变量，与图的L a p l a c i a n 理论密切相关本文确定了任意树与圈、路、星图、完全图的冠图以 及圈与完全图的冠图的
2、临界群的代数结构，得到了如下结论： ( 1 ) 树与圈的冠图的临界群 ( 1 a ) 点冠图oG 的临界群为： 砜吲竺 ( z l 一。群善芝o ，耋：黼 其中厶为F i b o n a c c i 数列 ( 1 b ) 边冠图o G 的临界群为： 当n = 2 七4 - 1 时， K ( o G ) 皇( Z ( n + 2 m ) ) 一1o ( ) 一1o ( z 鲤她) 一1 ， ( n + 2 t q ) 当n = 2 k 且七为奇数时， I r ( 2 koC k ) 笺( z ( n + 2 ，) ) m 一1o ( z 逸生土! ：鸳1 2 ) m 一1o ( Z ! ! 竺!
3、 ! 班) m 一1 ， ( n + 2 o k )( n + 2 ，3 ”k ) 当n = 2 k 且七为偶数时， K ( Z no ( 矗) 笺( z l ! ! ：盐2 ) m 一1o ( z ! 觜1 2 ! ：! 錾2 ) m 一1o ( Z9 2 型! ) m 一1 ， 2 ( n + 2 t ” )( n + 2 ，3 ”k ) 其中序列t I 七定义为u 七= 4 u k l 一让七墙U o = 1 ，u l = 5 ；序列定义为 仇= 4 v k l 一仇一2 ，v o = 0 ，Y l = 1 ( 2 ) 树与路的冠图的临界群 ( 2 a ) 点冠图oR 的临界群为： K
4、( oR ) 星( z 口。+ 。一a n ) m ， 其中序列a 。定义为：a n = 3 a 。一1 一a n 一2 ，a 1 = 1 ，a 2 ：2 ( 2 b ) 边冠图R 的临界群为： K ( T m o R ) 冬 f ( z ( 删n ) ) 一1 。( z 黜) 一1 ， 当扎= 2 后+ 埘， ( z ( 2 ) ) m - 1 。( z 黼) m ，当n = 2 k 且k 为奇数时， l ( z 世当蝴) 一1o ( zi 兰趔鱼) 一1 ，当n = 2 k 且k 为偶数时 、 2 i n + 2 ，t 1 ) 其中序列厶定义为：t n = 4 t n l t n 一2 ，
5、t o = 0 ，t 1 = 1 ( 3 ) 树与星图的冠图的临界群 ( 3 a ) 点冠图o 最的临界群为： K ( T , no & ) 竺( z 2 ) ( 铲3 胁e ( Z 2 ( n + 1 ) ) m ( 3 b ) 边冠图& 的临界群为： 骗矧岂P n ( - 矿3 ) ( m - 1 3 ) ，：嚣乏茹Z ”3 ( n + 3 ，) P 判当31 ( ( 川n + 3 ) 时) E t a , ( 4 ) 树与完全图的冠图的临界群 ( 4 a ) 点冠图o 的临界群为： K ( O ) 竺( Z ，l + 1 ) m ( 4 b ) 边冠图o 的临界群为s K ( ) 竺(
6、+ 2 ) m I I ( 5 ) 圈与完全图的冠图的临界群 ( 5 a ) 点冠图Go 的临界群为： K ( G oK m ) 笺z ( n ，m + 1 ) o ( Z m + 1 ) ( m 一1 m 一1o Z 呈f 竺婪 m 十， ( 5 b ) 边冠图Go 的临界群为： K ( C k o j n ) 皇( Z m + 2 ) m 以一2oz 2 ( m + 2 ) n 关键词：L a p l a c i a n 矩阵；临界群；S m i t h 标准形；树；圈：路；星图；完 全图；点冠图；边冠图 I I I A B S T R A C T T i l ec r i t i c a
7、 lg r o u po fag r a p hi saf i n i t ea b e l i a ng r o u p I ti sar e f i n e m e n to f t h en u m b e ro fs p a n n i n gt r e e so ft h eg r a p h ，w h i c hi sas u b t l ei s o m o r p h i s mi n - v a r i a n to ft h eg r a p ha n di sc l o s e l yc o n n e c t e dw i t ht h eg r a p hL a p
8、l a c i a nm a t r i x I nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t u r eo ft h ec r i t i c a lg r o u p so ft h ec o r o n ao ft r e e sa n d c y c l e s ，p a t h s ，s t a r s ，c o m p l e t eg r a p h sa n dt h ec o r o n ao fc y c l e sa n dc o m p l e t e g r a p h sa r ed e t e r m i n e da n dt h ee
9、 x p l i c i te x p r e s s i o no ft h eS m i t hn o r m a lf o r m s o fc r i t i c a lg r o u po nt h e s eg r a p h sa r eg i v e n w ep r o v e dt h a t ( 1 ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h e c o r o n ao ft r e e sa n dc y c l e s ( 1 a )t h ec r i t i c a lg r o u p o ft h ev e r t e xc
10、o r o n ao ft r e e sa n dc y c l e s ： 隅吲垒k 一。群善毁。m i 摭嚣 w h e r e | ni st h eF i b o n a c 癌s e q u e n c e ( 1 b ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ee d g ec o r o n ao ft r e e sa n dc y c l e s ： i fn = 2 k + 1i so d d ， K ( 2 k ( 死) 竺( Z ( n + 2 ，u 。) ) m 一1o ( ) m 一1o ( z5 1 善2 1 ) m 一1 ，
11、t 忆十Y ，“kJ a n di fn = 2 ka n dki so d dt h e n K ( T m 。G ) 垒( z ( n 讹旷1 。( z 糍裂) 州。( z 器端) m 1 ， a n di fn = 2 ki se v e na n dki Se v e lt h e n K ( T m G ) 兰( z 掣) 州( Z w 2 v k ( n + 2 , 3 V k ) ) 州。( z 踹糌) 州， V w h e r et h es e q u e n c eU ki sd e f i n e da su 知24 U k 一1 一钆知一2 ，钆o = 1 ，U 1 =
12、 5 ；t h e s e q u e n c e 讥i sd e f i n e da s 讥24 V k 一1 一仇一2 ，V o = 0 ，饥21 t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ec o r o n ao ft r e e sa n dp a t h s ( 2 a ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ev e r t e xc o r o n ao ft r e e sa n dp a t h s ： K ( oR ) 笺( Z + 。一口。) m ， w h e r et h es e q u e n
13、c ea ni sd e f i n e da sa n = 3 a n l 一一2 ，a 1 = 1 ，a 2 = 2 ( 2 b ) t h ec r i t i c a lg r o u p o ft h ee d g ec o r o n ao ft r e e sa n dp a t h s ： I ( z ( n + 2 ，t ，I ) ) m 一1o ( z5 2 箕2 1 萼 m - l ,i f n = 2 k + 1 ， K ( R ) 垒 ( z ( n + 2 ，t 。) ) m 1o ( z 辫轴m - l , i f 佗= 2 ka n dki so d d ， I
14、 ( z f 竺坌堕2 ) m 一1o ( z5 竺丝n ) m 一1 ， i f7 l = 2 ka n dki se v e n 、2f n + 2 t o l w h e r et h es e q u e n c et ni sd e f i n e da st n = 4 t n 一1 一t n - 2 ，t o = 0 ，t 1 = 1 ( 3 ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ec o r o n ao ft r e e sa n ds t a r s ( 3 a ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h
15、 ev e r t e xc o r o n ao ft r e e sa n ds t a r s ： K ( o & ) 竺( Z 2 ) ( n 一3 胁o ( Z 2 ( n + 1 ) ) m ( 3 b ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ee d g ec o r o n ao ft r e e sa n d s t a r s ： 隅笺P 嚣，：! 嚣2 熬r 1 i 艄f 3 1 m ( n + 删3 ) ( 4 ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ec o r o n ao ft r e e 燃
16、a n dt h ec o m p l e t eg r a p h s ( 4 a ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ev e r t e xc o r o n ao ft r e e sa n dt h ec o m p l e t e g r 印h s ： V I K ( T mO 玩) 竺( + 1 ) ( 4 b ) t h ec r i t i c a lg r o u po ft h ee d g ec o r o n ao ft r e e sa n d t h ec o m p l e t eg r a p h s ( K k ) 兰( Z 。+ 2 ) m 一1 ( 5 ) t h ec r i t i c a lg
