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1、动力系统建模 唐 云(清华大学数学科学系) ytang 引言 1。动力系统的基本概念与方法:从蝴蝶泉到 蝴蝶效应 2。机械与电力系统中的数学模型 3。生命科学的数学建模 4。分形模型 目 录 引言 动力系统是关于系统演化规律的数学学科 。数学建模是连接动力系统理论与应用的 桥梁。 特点:(1)广泛的应用前景;(2)深刻 的数学理论基础;(3)计算技术。 动力系统建模作用:(1)教学:数学建模 ;(2)科学研究:与国民经济及科学前沿 关系密切。 1.从蝴蝶泉到蝴蝶效应 1.1 蝴蝶的生态问题 云南大理蝴蝶泉,是影片五朵金花 里阿鹏和金花对歌的地方,也有名的游 览胜地。泉内蝴蝶种类繁多,每年农历4
2、月 15日白族的“蝴蝶会”前后,蝴蝶大的大如巴 掌,小的小如蜜蜂,成串悬挂于泉边的合 欢树上,盛况空前。明代徐霞客在其“游记” 中称:“真蝶万千,连须钩足,自树巅倒悬 而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉 时也曾留下“首尾联接数公尺,自树下垂疑 花序”的诗句。 令人惋惜的是,近十数年,人们已经 很难看到美丽的蝴蝶盛会,有时,虽有 蝴蝶聚集,但数量已少。据当地父老传 言:蝴蝶泉边,原有一蓬枝叶茂密、开 白花、发清香的茨蓬,花枝缠在横斜泉 面的树干上,蝴蝶沿着这些下垂的花枝 连成串。如今,茨蓬已除,泉面树干叶 枯,加上周围自然环境受到破坏,田野 大量使用农药,误伤不少蝴蝶,那连须 钩足悬于泉
3、面的奇观,久已不见。 1.2 数学模型: Logistic映射 f(x)= ax(1- x), x 在0,1内变化 xn+1= f(xn) 从0,1内点x0出发,由Logistic映射的迭代形成 xn= f n(x0), n = 0,1,2, 序列xn称为x0的轨道。由轨道迭代的极限集可组成 分岔图 种群数的模型简化: 相应的迭代为 了一个序列,即 Logistic映射 Logistic映射分岔图 关于吸引子 吸引子是动力系统相空间中的一类特殊 集合,它能把周围的轨道都“吸引”(收敛) 过来。 吸引子分类: (1)平衡点 (2)周期轨 (3)拟周期轨 (4)混沌吸引子 当0a 1时,由于 当1
4、a3时,任何(0,1)中初始值的轨道趋于 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个 xn 0 物种逐渐灭亡 x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解,为映射f 的不动点 (周期1点)例:a =1.5时 xn 1/3. 不稳定,轨道xn趋向稳定点。 数值迭代:倍周期分岔 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期 点失稳) 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动,它们满足 称为周期4点,对应轨道称周期4轨道(原有周期点 若a再增大,周期4点又会失稳,而产生新的稳定 又失稳) 周期8点,这个周期不断加倍的过程将重复
5、无限次, 会依次出现周期16点,周期32点,. , 这种过程称为倍周期分岔.相应的分岔值 c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck. 其极限值为c*=3.569945557391。 当c*a4时,Logistic映射进入混沌区域.反映出 遍历性:点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期 性,即不同初始值,即使它们离得非常近,它们的 的是: 轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何 一个子区间(a,b)内都会出现无数次. 敏感性:轨道表现出对初始条件的强烈敏感 轨道也终将以某种方式分离. 混沌的特点 Feigenbau常数 (ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无
6、穷时,趋于常数 q =4.6692016 这常数的意义在于普适性,例如周期3窗口,还有 存在周期窗口:混沌区域内某些地方仍有倍 周期分岔,例如a3.835附近 其他映射 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代 在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作 抛物线弧: xn+1a xn(1- xn) 的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由 x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛 织网,故称为蛛网迭代. 图像方法:蛛网迭代 1 1 xn xn1 x0 x1 x1x2 1a3 从(0,1)中 任何初值 出发的轨 道趋向不 动点 (周 期1点) 3a61/2+1 从任何初值 出发
7、的轨道 趋向周期2 点 61/2+1a 3.54409035 从任何初 值出发的 轨道趋向 周期4点 a=3.58轨 道进入浑沌 状态 a= 4 轨 道的浑沌 性表现充 分 蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺 点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节 密度分布图: 从密度:从一个初始点 x0出发,由迭代所 产生的序列xn (n一般很大)在区间 0,1上的 概率分布密度. 将具体算法:将0,1区间分成m个长度为 h=1/m的小区间,序列xnnN=0 落在各个小区间 ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间 的概率(即密度)为 pi=ki/N i=0,1,2,m 密度图:横轴为区间 0
8、,1, 纵轴为概率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间 上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1) (这是周期2情况) a=3.45 (这是周期4情况) a=3.55 (周期8的情况) 以上密度图显示在 0ac*的情况下,xn只有 极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相 等的概率落在周期点所在的小区间。 a=3.6 (进入混沌区) (最混沌状态) a= 4 Logistic模型的混沌自相似(分形) 图一 图二 图三:图二局部放大图图四:图三局部放大图 1.3 1.3 关于关于“ “蝴蝶效应蝴蝶效应” ” 1961年冬天E. Lorenz 进行关于天气预报的计
9、算 。他考虑下面加热的流体由热传导进入对流,然 后产生湍流的过程, 对Rayleigh-Bernard方程 进行约化,得到下面的Lorenz方程。 D. Gulick, Encounters with Chaos, Mc-Graw Hill, Inc., New York, 1992. Lorenz Lorenz 方程方程 和 为正数. , , 和 与流体的物理性质相关. Lorenz 取 , , 和 . Lorenz 吸引子 对初值条件的敏感依赖性 10,000 个几乎相同的 初值条件 从这10,000 个初值出 发的每条轨道经过同样 时间后其终点很不一致 . 这些点都在同一个吸引 子范围内
10、. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994. 所谓“蝴蝶效应”是指: 初始值很小的改变会引起绝然不 同的结果. 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 明年在得克萨斯的大风暴吗?E. Lorenz 数学的伟大使命在于从混沌中 发现秩序。 倍尔 在那个混沌的体制中,结构上的微 小差异几乎都会造成行为方式上的巨大 变化,可控制的行
11、为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼 关于混沌 一个动力系统是混沌的,如果它满足: (1) 有一个由周期轨道组成的稠密集合; (2) 轨道敏感地依赖于其初值条件; (3) 为拓扑传递的. 混沌的度量性质: (1)正Lyapunov指数 (2)拓扑熵与测度熵 (3)分形结构 混沌出现在各个领域的一种现象:数学、物理、 由此引起的复杂而有趣的现象 “侏罗纪公园”中的恐龙重现 生物、金融、经济、管理等等: 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 东南亚金融危机爆发 可以从某些简单的离散的数学模型开始, 讨论 2. 机械和电力系统的数学模型 2.1 动力学模型 Newton力学体系是第一个,也是最基本的
12、 动力系统数学模型。建模过程: (1)数据积累:第谷(Tycho Brahe, 1546- 1601) (2)经验公式:开普勒(J. Kepler, 1571- 1630)的行星“三大定律”。 (3)数学模型:牛顿(I. Newton, 1642-1727) 的“万有引力”。 (4)验证:如哈雷彗星和海王星的发现。 非线性振动 Duffing 方程 Duffing 方程 位移x 位移x 时间T dx/dt 位移x 时间T dx/dt 位移x 耗散系统相体积的演化 解释初值敏感和奇怪吸引子要用到相体积的伸展与折叠,定量 描述这一特征的量是李雅普诺夫指数,这要证明三维(以上)相体 积 而 中要有正
13、有负。讲混沌时专门解释或用初等的例子 说明不严格,并且要花费一定学时。但只要在前面讲正则方程和刘 维定理时稍做改动就可以自然引出耗散系统相体积演化公式,概念 的引入严格、定量,学时反而减少。 通常讲刘维定理,对相空间保守体系 其证明用到 过去教材都是代入保守体系的正则方程。实际上,对 一力学体系,如果除保守力外还含非保守力,则正则方程 应写为 其中 代表非保守力,代入前式后得出, 积分马上得到 容易证明,对保守力 对非保守力(如 ) 对高维耗散系统,自然导出指数形式 形式 其中 (i=1f)可正可负总和为正。 极限环与分岔 考虑一个数学例子: 用二维极坐标表示,作代换 得到 当 时有 方程有三
14、个根 : , ,点是稳定定态(焦点) (硬激励) 稳定定态(焦点); 不稳定的极限环; 稳定的极限环。 黑洞 (软激励) 是稳定的极限环 不稳定的焦点 极限环 分岔 叉式分岔:定性举例,旋转单摆 Hopf 分岔:点到极限环的突变 稳定定态; 稳定极限环; 终态稳定点与初始条件有关 (亚临界Hopf 分岔)。 倍周期分岔: 周期成倍突变 阻尼单摆的强迫振动方程引入无因次量后化为 : 时 , 稳定的定态, ,不稳定点, 摆长为l ,小球质量为m的单摆,相对与平衡的下垂位置的角位 移为,重力加速度为g ,则其运动方程为: (1) 或 (2) 等式右边是周期性的驱动力,其角频率为。把方程式无量纲化 ,用去除每一项,将无量纲的时间叫做t ,即得 (3) 式中 都是无量纲化的。 阻尼单摆的强迫振荡 旋转数 其中 Henon-Heiles 星体势模型 等势图 粒子真实轨迹 粒子的庞加莱截面 激励转子 2