动力系统建模解析

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1、动力系统建模 唐 云（清华大学数学科学系） ytang 引言 1。动力系统的基本概念与方法：从蝴蝶泉到 蝴蝶效应 2。机械与电力系统中的数学模型 3。生命科学的数学建模 4。分形模型 目 录 引言 动力系统是关于系统演化规律的数学学科 。数学建模是连接动力系统理论与应用的 桥梁。 特点：（1）广泛的应用前景；（2）深刻 的数学理论基础；（3）计算技术。 动力系统建模作用：（1）教学：数学建模 ；（2）科学研究：与国民经济及科学前沿 关系密切。 1.从蝴蝶泉到蝴蝶效应 1.1 蝴蝶的生态问题 云南大理蝴蝶泉，是影片五朵金花 里阿鹏和金花对歌的地方，也有名的游 览胜地。泉内蝴蝶种类繁多，每年农历4

2、月 15日白族的“蝴蝶会”前后，蝴蝶大的大如巴 掌，小的小如蜜蜂，成串悬挂于泉边的合 欢树上，盛况空前。明代徐霞客在其“游记” 中称：“真蝶万千，连须钩足，自树巅倒悬 而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉 时也曾留下“首尾联接数公尺，自树下垂疑 花序”的诗句。 令人惋惜的是，近十数年，人们已经 很难看到美丽的蝴蝶盛会，有时，虽有 蝴蝶聚集，但数量已少。据当地父老传 言：蝴蝶泉边，原有一蓬枝叶茂密、开 白花、发清香的茨蓬，花枝缠在横斜泉 面的树干上，蝴蝶沿着这些下垂的花枝 连成串。如今，茨蓬已除，泉面树干叶 枯，加上周围自然环境受到破坏，田野 大量使用农药，误伤不少蝴蝶，那连须 钩足悬于泉

3、面的奇观，久已不见。 1.2 数学模型: Logistic映射 f(x)= ax(1- x)， x 在0,1内变化 xn+1= f(xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成 xn= f n(x0), n = 0,1,2, 序列xn称为x0的轨道。由轨道迭代的极限集可组成 分岔图 种群数的模型简化： 相应的迭代为 了一个序列，即 Logistic映射 Logistic映射分岔图 关于吸引子 吸引子是动力系统相空间中的一类特殊 集合，它能把周围的轨道都“吸引”（收敛） 过来。 吸引子分类： （1）平衡点 （2）周期轨 （3）拟周期轨 （4）混沌吸引子 当0a 1时，由于 当1

4、a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个 xn 0 物种逐渐灭亡 x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点 （周期1点)例：a =1.5时 xn 1/3. 不稳定，轨道xn趋向稳定点。 数值迭代：倍周期分岔 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期 点失稳) 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动，它们满足 称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定 又失稳) 周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复

5、无限次， 会依次出现周期16点，周期32点，. ， 这种过程称为倍周期分岔.相应的分岔值 c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck. 其极限值为c*=3.569945557391。 当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期 性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的 的是： 轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何 一个子区间(a,b)内都会出现无数次. 敏感性：轨道表现出对初始条件的强烈敏感 轨道也终将以某种方式分离. 混沌的特点 Feigenbau常数 (ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无

6、穷时，趋于常数 q =4.6692016 这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口，还有 存在周期窗口：混沌区域内某些地方仍有倍 周期分岔，例如a3.835附近 其他映射 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代 在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作 抛物线弧： xn+1a xn(1- xn) 的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由 x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛 织网,故称为蛛网迭代. 图像方法：蛛网迭代 1 1 xn xn1 x0 x1 x1x2 1a3 从(0,1)中 任何初值 出发的轨 道趋向不 动点 (周 期1点) 3a61/2+1 从任何初值 出发

7、的轨道 趋向周期2 点 61/2+1a 3.54409035 从任何初 值出发的 轨道趋向 周期4点 a=3.58轨 道进入浑沌 状态 a= 4 轨 道的浑沌 性表现充 分 蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺 点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节 密度分布图： 从密度：从一个初始点 x0出发，由迭代所 产生的序列xn (n一般很大)在区间 0,1上的 概率分布密度. 将具体算法：将0,1区间分成m个长度为 h=1/m的小区间，序列xnnN=0 落在各个小区间 ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间 的概率（即密度)为 pi=ki/N i=0,1,2,m 密度图：横轴为区间 0

8、,1, 纵轴为概率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间 上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1) (这是周期2情况) a=3.45 (这是周期4情况) a=3.55 (周期8的情况) 以上密度图显示在 0ac*的情况下,xn只有 极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相 等的概率落在周期点所在的小区间。 a=3.6 (进入混沌区) (最混沌状态) a= 4 Logistic模型的混沌自相似（分形） 图一 图二 图三：图二局部放大图图四：图三局部放大图 1.3 1.3 关于关于“ “蝴蝶效应蝴蝶效应” ” 1961年冬天E. Lorenz 进行关于天气预报的计

9、算 。他考虑下面加热的流体由热传导进入对流，然 后产生湍流的过程， 对Rayleigh-Bernard方程 进行约化，得到下面的Lorenz方程。 D. Gulick, Encounters with Chaos, Mc-Graw Hill, Inc., New York, 1992. Lorenz Lorenz 方程方程 和 为正数. , , 和 与流体的物理性质相关. Lorenz 取 , , 和 . Lorenz 吸引子 对初值条件的敏感依赖性 10,000 个几乎相同的 初值条件 从这10,000 个初值出 发的每条轨道经过同样 时间后其终点很不一致 . 这些点都在同一个吸引 子范围内

10、. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994. 所谓“蝴蝶效应”是指： 初始值很小的改变会引起绝然不 同的结果. 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 明年在得克萨斯的大风暴吗？E. Lorenz 数学的伟大使命在于从混沌中 发现秩序。 倍尔 在那个混沌的体制中，结构上的微 小差异几乎都会造成行为方式上的巨大 变化，可控制的行

11、为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼 关于混沌 一个动力系统是混沌的，如果它满足： (1) 有一个由周期轨道组成的稠密集合； (2) 轨道敏感地依赖于其初值条件； (3) 为拓扑传递的. 混沌的度量性质： (1)正Lyapunov指数 (2)拓扑熵与测度熵 (3)分形结构 混沌出现在各个领域的一种现象:数学、物理、 由此引起的复杂而有趣的现象 “侏罗纪公园”中的恐龙重现 生物、金融、经济、管理等等： 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 东南亚金融危机爆发 可以从某些简单的离散的数学模型开始, 讨论 2. 机械和电力系统的数学模型 2.1 动力学模型 Newton力学体系是第一个，也是最基本的

12、 动力系统数学模型。建模过程： （1）数据积累：第谷(Tycho Brahe, 1546- 1601) （2）经验公式：开普勒(J. Kepler, 1571- 1630)的行星“三大定律”。 （3）数学模型：牛顿(I. Newton, 1642-1727) 的“万有引力”。 （4）验证：如哈雷彗星和海王星的发现。 非线性振动 Duffing 方程 Duffing 方程 位移x 位移x 时间T dx/dt 位移x 时间T dx/dt 位移x 耗散系统相体积的演化 解释初值敏感和奇怪吸引子要用到相体积的伸展与折叠，定量 描述这一特征的量是李雅普诺夫指数，这要证明三维（以上）相体 积 而 中要有正

13、有负。讲混沌时专门解释或用初等的例子 说明不严格，并且要花费一定学时。但只要在前面讲正则方程和刘 维定理时稍做改动就可以自然引出耗散系统相体积演化公式，概念 的引入严格、定量，学时反而减少。 通常讲刘维定理，对相空间保守体系 其证明用到 过去教材都是代入保守体系的正则方程。实际上，对 一力学体系，如果除保守力外还含非保守力，则正则方程 应写为 其中 代表非保守力，代入前式后得出， 积分马上得到 容易证明，对保守力 对非保守力（如 ） 对高维耗散系统，自然导出指数形式 形式 其中 （i=1f）可正可负总和为正。 极限环与分岔 考虑一个数学例子： 用二维极坐标表示，作代换 得到 当 时有 方程有三

14、个根 ： ， ，点是稳定定态（焦点） （硬激励） 稳定定态（焦点）； 不稳定的极限环； 稳定的极限环。 黑洞 （软激励） 是稳定的极限环 不稳定的焦点 极限环 分岔 叉式分岔：定性举例，旋转单摆 Hopf 分岔：点到极限环的突变 稳定定态； 稳定极限环； 终态稳定点与初始条件有关 （亚临界Hopf 分岔）。 倍周期分岔: 周期成倍突变 阻尼单摆的强迫振动方程引入无因次量后化为 : 时 ， 稳定的定态， ，不稳定点， 摆长为l ，小球质量为m的单摆，相对与平衡的下垂位置的角位 移为，重力加速度为g ，则其运动方程为： (1) 或 (2) 等式右边是周期性的驱动力，其角频率为。把方程式无量纲化 ，用去除每一项，将无量纲的时间叫做t ，即得 (3) 式中 都是无量纲化的。 阻尼单摆的强迫振荡 旋转数 其中 Henon-Heiles 星体势模型 等势图 粒子真实轨迹 粒子的庞加莱截面 激励转子 2