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1、第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 ICA 方法在振动特征信号辨识中的应用方法在振动特征信号辨识中的应用 胡茑庆 1，张朝众1，李书灵2 （1. 国防科学技术大学机电工程与自动化学院机电工程研究所，长沙 410073；2. 总装备部第三十二基地，714200） 摘 要：摘 要：在复杂机械故障诊断和振动分析中，我们所能观察到的特征信号往往是多种源（包括噪声）引发的混合结 果。因此，辨识表征各种状态变化的特征信号以及分离出噪声是非常重要的。以往的研究中，大多假定噪声是高斯 分布的，并采用线性辨识方法来检测特征信号。但实际的复杂系统的响应，往往受到非高斯噪声的影响，
2、因而再采 用线性建模技术将存在一定的局限。最近，发展起来的独立分量分析（ICA）方法对于非高斯噪声分布的信号检测与 辨识问题提供了解决方案。本文简要分析了 ICA 方法的基本原理。在此基础上探讨了 ICA 在故障特征信号检测与分 离中应用前景。本文是在初步工作基础上的介绍性文章，以引起国内学者对 ICA 的进一步关注。 关键词：关键词：独立分量分析；信号处理；故障诊断 Application of Independent Component Analysis (ICA) to Vibration Signal Identification HU Niao-qing1, ZHANG Chao-z
3、hong1, LI Shu-ling2 （1.Institute of Mechatronics Engineering, College of Mechatronics Engineering and Automation, NUDT, ChangSha 410073； 2. 32th Base of Headquarters of Millitary Equipment 714200） Abstract: In Fault diagnosis and vibration analysis of complex machinery, only a mixture of several sou
4、rces (including noise source) can be observed. It is important to identify independent signal component indicating some fault behaviour and isolate the noise source. Most past research often supposed that the noise satisfies Gaussian distribution and used linear identification technique to detect si
5、gnature signal. Reccently, the emerging method named independent component analysis (ICA) gives a solution for detection of non-Gaussian mixture signals. The basis theory of ICA was analyzed simply. Based on this, the perspective of ICA to detect and isolate signature signal of fault behaviour is di
6、scussed. key words: independent component analysis(ICA); signal processing; fault diagnosis 基金资助：国防科技大学机电工程与自动化学院博士基金资助（873207） 作者简介：胡茑庆（1967-） ，男，湖南道县人，副教授，博士 1 1 引言1 引言 机械系统状态信号一般是由若干表征状态信息的信号和噪声叠加而成，从这些信号中分离出表 征状态或故障的信号成分一直是信号处理或特征提取的研究课题。Horace Barlow曾经指出：冗余蕴 含着知识。根据这个理论，统计的冗余包含了环境的结构信息。所以对一个可观测
7、的系统，要提取 的重要信息已隐含于这种冗余中。 ICA是近几年来兴起的一种用于盲源信息分离 （BBS， Blind Source Separation）的方法。经过人们不断的探索与研究，目前该领域取得了较大的进展。相比之下，传统 的主分量分析方法（PCA，Principle Component Analysis）算法所得到的各主分量仅仅考虑了信号的 二阶统计量，奇异值分解（SVD）也是基于信号二阶统计特性的分析方法，其目的只是用于去除信 号各分量之间的相关性。但是对于非高斯分布的随机变量，还有许多不能忽略的重要信息隐藏在其 高阶统计量中，而ICA正是基于信号高阶统计特性的分析方法，且经ICA分
8、解出的各信号分量之间是 相互独立的，因此在处理中可以分离出信号的独立分量（IC，Independent Component） ，这就是ICA 的本质。ICA的目标是将一系列的随机信号表示成为统计独立变量。它在一定条件下能有效地从多 通道观测信号中分离出源信号，是一种将混合信号分离为单个独立分量的方法1,2。 目前对ICA的研究大体分为两方面：对ICA的基本理论和算法的研究，到目前为止，已提出了多 种ICA算法；另一方面则集中于ICA的应用，包括盲源分离和特征提取2。目前已将ICA应用于图像 处理、人脸识别、CDMA通信、语音信号处理、生物医学信号处理、卫星遥感图像分析、金融数据 分析等方面。荷
9、兰学者A. Ypma将ICA应用于旋转机械特征源信号分离中进行了开拓性工作3,4。但就 目前相关的资料来看，国内开展这方面的研究刚起步，见得更多的还是国外研究者的工作成果。 采用统计特征变量模型可对 ICA 进行严格定义 （以下有关 ICA 及其算法的描述大部分参考文献 1，除非强调，一般不再标注） 。假定观测了个独立分量的个线性混合， nn n xxx, 21 L njnjjj sasasax+=L 2211 ，对所有的j （1） 在 ICA 模型中，省略时间t，假定混合、独立分量是随机变量。代入适当的时间指数，观 测是随机变量的样本。不失一般性，假定混合变量和独立分量具有零均值（不为零均值
10、容易化 为零均值结果） 。 j x k s ( )txj 令x为随机矢量，其元素为混合。随机矢量的元素为， n xxx, 21 Ls n sss, 21 LA表示元素 为的矩阵。式（1）混合模型可表示为 ij a Asx = （2） 若用表示 j aA的列，模型可表示为 = = n i iis 1 ax （3） 假定可观测的仅是。必须使用来估计xxA和。假设条件是：分量统计独立，且为非高斯 分布。假设未知混合矩阵为方阵。估计了矩阵 s i s A后，可以计算其逆阵W，从而得到独立分量 Wxs = （4） 2 在许多应用中，测量噪声是现实存在的，这时须在模型中追加噪声项。为分析简单起见，省略 了
11、噪声项，因为对没有噪声的模型本身的估计已经相当困难，且对许多应用来说是充分的。 从上面分析可知，ICA归结为对W的估计问题。已经发展了多种算法5。 2 2 ICA 估计原理估计原理 2.1 非高斯性即独立性 2.1 非高斯性即独立性 估计 ICA 模型的关键是非高斯性。概率论中经典的中心极限定理表明，独立随机变量的和的分 布在特定条件下趋于高斯分布。因此，两独立随机变量的和通常具有的分布将比两个源随机变量中 任一个更接近高斯分布。 现假设据式（2）而分布，即它是独立分量的混合。为简单起见，下面假设所有独立分量具有 统一分布， 为了估计其中一个独立分量， 考虑的线性组合 （式 （4） ） ， 并
12、表示为， 其中是要确定的矢量，如果是矩阵 x i x = iii T xwyxw wwA的逆阵的其中一行，这种线性组合实际上等价于其中一 个独立分量。现在的问题是：如何使用中心极限定理来确定使得它将等于w 1 A的其中一行？实际 上不能精确地确定这样的，因为没有已知wA，但可以对它进行良好的估计。 为了理解如何导出 ICA 估计的基本原理，定义，那么。y是 的线性组合，具有由给出的加权值。因为两个独立随机变量的和比原始变量更接近高斯分布， 比中任一个更接近高斯分布，当它等于中任一个时将变得不那么接近高斯分布了。在这种 情况下，显然 wAz T =szAswxw TTT y= i s i z s
13、zT i s i s z中仅有一个元素非零（注意此处的假设具有同样的分布） 。 i s 因此，把当作一个矢量以最大化的非高斯性，这样一个矢量必须对应（在变换坐标系 中）一个仅有一个非零分量的 wxwT z。这就意味着等于其中一个独立分量。 szxw TT = 最大化的非高斯性可以给出一个独立分量， 事实上， 矢量的维空间中的非高斯性优化 情景中具有个局部极大值，其中两个对应一个独立分量，对应于和 xwTwn n2 i s i s。为了发现个独立分 量，需要发现所有这些局部极大值。这并不困难，因为不同的独立分量是互不相关的。我们总可以 约束这种搜索到一个空间中，使得给出的估计与前一个互不相关，这
14、个过程对应于适当变换（如白 化）空间中的正交变换。 n 2.2 非高斯性测量2.2 非高斯性测量 为了在 ICA 估计中使用非高斯性，对随机变量如的非高斯性必须有一个定量的测度。为简单 起见，假设已零均值化且具有单位 1 方差，实际上这是 ICA 算法的预处理函数之一。 y y 2.2.1 峭度峭度 非高斯性的经典测度是峭度或四阶累积量。的峭度的经典定义为 y ( ) () 2 24 3KurtyEyEy= （5） 对于高斯随机变量，峭度为零。对于大多数（不是全部）非高斯性随机变量，峭度非零。峭度可能 为正， 也可能为负。 具有负峭度的随机变量称作亚高斯型的， 具有正峭度的随机变量称作超高斯型
15、 。 典型的非高斯性由峭度的绝对值或平方量来测量。对于高斯变量，峭度测度值为零。对于大多 数非高斯随机变量，则大于零。非高斯随机变量也有零峭度值的情况，但很罕见。 3 峭度及其绝对值，在 ICA 及相关领域中广泛用来作为非高斯性测度。主要原因是它理论分析简 单，计算简单。计算上，峭度可以简单地通过样本数据的 4 阶矩进行估计。理论分析也简单，因为 它具有线性特性。考虑一个 2 维模型Asx =，假设独立分量和分别具有峭度值 1 s 2 s( ) 1 Kurt s和 ，且非零。独立分量假设具有单位方差。我们寻找其中一个独立分量为。 ( ) 2 Kurt sxwTy= 再作变换，那么。基于峭度可加
16、性，有wAz T = 2211 szszy TTT +=szAswxw ( )=yKurt()()( )( ) 2 4 21 4 12211 KurtKurtKurtKurtszszszsz+=+。另一方面，基于有关和同样 的假设，对作方差为单位 1 的约束。这就对 1 s 2 s yz隐含了一个约束： 1 2 2 2 1 2 =+=zzyE，从几何上 说，这就意味着矢量z约束在 2 维平面的单位圆上。最大值处于z的其中一个元素为零而其它元素 非零的点处。由于单位圆的限制，非零元素必须等于 1 或1，这些点就是等于其中一个独立分量 的点，从而问题获得了求解。 y 实际中，从一些加权矢量开始，计算的峭度增大最
