变分不等式解集的稳定性及连通性

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1、广西师范大学硕士学位论文变分不等式解集的稳定性及连通性姓名：钟仁佑申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：范江华20080401变变变分分分不不不等等等式式式解解解集集集的的的稳稳稳定定定性性性及及及连连连通通通性性性研研研究究究生生生: 钟钟钟仁仁仁佑佑佑导导导师师师: 范范范江江江华华华专专专业业业: 基基基础础础数数数学学学研研研究究究方方方向向向: 泛泛泛函函函分分分析析析年年年级级级: 2005 级级级摘摘摘 要要要变分不等式理论在金融、经济、交通、最优化、算子研究以及工程科学等领域有着广泛的应用. 最近几年来, 许多学者对变分不等式（包括向量变分不等式）解集的稳定性和连通性进行了

2、广泛的研究. 在本论文中, 我们将主要研究集值向量变分不等式解集的稳定性和连通性, 本文内容具体安排如下：第一章, 我们主要对该领域的研究工作做简要的回顾. 此外还介绍了本文要用到的一些基本概念和引理.第二章, 在映射和集合同时扰动的情况下, 我们研究了自反 Banach 空间中集值变分不等式解集的稳定性. 当映射是真拟单调时, 我们获得了关于 Minty 变分不等式解集的稳定性结论. 进一步, 当映射是伪单调时, 我们还获得了一般集值变分不等式解集的稳定性结论. 本章的主要结论如下：定定定理理理 2.2.2 设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, u0 Z1, v0 Z2为任意给

3、定的点.L : Z17 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0) 6= . 假设存在 (u0,v0) 的一个邻域 U V 和 M =SuUL(u), 使得 F : M V 2X为非空的下半连续集值映射. 若(i) 对任意 v V , 映射 x 7 F(x,v) 在 M 上真拟单调.(ii) MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集非空有界.则 (i) 存在 (u0,v0) 的一个邻域 U0V0, U0V0 UV , 使得对任意 (u,v) U0V0, MV IP(F(,v),L(u) 的解集非空有界. (ii) limsup(u,v)(u0,v0)SM(u,v

4、) SM(u0,v0), 其中 SM(u,v) 和 SM(u0,v0) 分别表示 MV IP(F(,v),L(u) 和 MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集.定定定理理理 2.2.3 设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, u0 Z1, v0 Z2为任意给定的点.L : Z17 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0) 6= . 假设存在 (u0,v0) 的一个邻域 U V 和 M =SuUL(u), 使得 F : M V 2X是取非空弱紧凸值的下半连续集值映射. 若I(i) 对任意 v V , 映射 x 7 F(x,v) 在 M 上上次连续,

5、 伪单调.(ii) MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集非空有界.则 (i) 存在 (u0,v0) 的一个邻域 U0 V0, U0 V0 U V , 使得对任意 (u,v) U0 V0, GV IP(F(,v),L(u) 的解集非空有界. (ii) limsup(u,v)(u0,v0)S(u,v) S(u0,v0), 其中 S(u,v) 和 S(u0,v0) 分别表示 GV IP(F(,v),L(u) 和 GV IP(F(,v0),L(u0) 的解集.第三章, 我们主要讨论了 Rn空间中集值弱向量变分不等式解集的稳定性. 在映射 f 和约束集 K 同时扰动的情况下, 建立了集值弱向量变

6、分不等式解映射的上半连续性和下半连续性, 并且, 这些结果不需要任何的紧性假设. 作为应用, 我们进一步讨论了 Rn空间中一类向量优化问题解集的稳定性. 本章的主要结论如下:定定定理理理 3.2.3 若以下条件成立,(i)fi: Rn Z2 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii) f(,v) 在 Rn上伪单调, fi(,v)(i = 1,2, ,p) 在 Rn上上半连续.(iv) 存在某个 (u0,v0) Z1Z2, 使得 Sw(u0,v0) 有界且 Si(u0,v0)(i = 1,2,p)非

7、空.则 Sw(,) 在 (u0,v0) Z1 Z2处上半连续.定定定理理理 3.2.5 若以下条件成立,(i)fi: Rn Z2 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii)L : Z17 2Rn是取非空闭凸值的连续集值映射.(iii)f(,v) 在 Rn上严格伪单调, fi(,v)(i = 1,2, ,p) 在 Rn上上半连续.(iv) 存在某个 (u0,v0) Z1 Z2, 使得 Sw(u0,v0) 非空有界.则 Sw(,) 在 (u0,v0) Z1 Z2处下半连续.第四章, 我们讨论了 Rn空间中伪单调和严格伪单调集值弱向量变分不等式解集的连通性. 与之前

8、已获得的一些结果相比, 我们不要求映射是单调的或者是严格单调的, 也不需要任何的紧性假设, 而以往的连通性结果需要定义域是紧致的. 此外, 我们还把这些结果应用到一类凸最优化问题和严格凸最优化问题. 本章的主要结论如下:定定定理理理 4.2.1 设 K 为 Rn中非空闭凸集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的上半连续集值映射, 设 f = (f1,f2, ,fp) 在 K 上伪单调. 若对任意II的 d K 0, 存在 y K 和 ui fi(y)(i = 1,2, ,p) 使得hui,di 0,i = 1,2, ,p.则 Sw(f,K) 是非空紧, 并且连通的.

9、定定定理理理 4.2.2 设 K 为 Rn中非空闭凸集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的上半连续集值映射, 设 f = (f1,f2, ,fp) 在 K 上严格伪单调. 若对任意的 d K 0, 存在 y K 和 ui fi(y)(i = 1,2, ,p) 使得hui,di 0,i = 1,2, ,p.则(i) Sw(f,K) 是非空紧的, 并且道路连通.(ii) S(f,K) 是非空有界的, 并且道路连通.关关关键键键词词词: 变分不等式; 向量变分不等式; 稳定性; 连通性; 障碍锥; 负极锥中国图书资料分类号: O177.IIIStability and

10、connectedness analysis ofsolution set for variational inequalitiesGraduate student: Zhong RenyouSupervisor: Fan JianghuaSubject: Pure MathematicsMajor :Functional AnalysisGrade:2005AbstractVariational inequality theory has wide applications in finance, economics, trans-portation, optimization, opera

11、tions research, and engineering sciences. In recentyears, the stability and connectedness of variational inequality (vector variationalinequality included) have been extensively studied by many researchers.In thisthesis, we focus on stability and connectedness of vector variational inequality. Theth

12、esis consists of four chapters.In chapter 1, we make a brief review of the current research in stability andconnectedness of variational inequality; and introduce some basic notations andpreliminaries which are used in this thesis.In chapter 2, we study the stability of a variational inequality in r

13、eflexive Ba-nach space, when both the mapping and the set are perturbed. We established thestability of the solution set of the Minty variational inequality when the mappingis properly quasimonotone; and the stability of the variational inequality as themapping is pseudomonotone. The main conclusion

14、s in chapter 2 are following:Theorem 2.2.2 Let (Z1,d1), (Z2,d2) be metric spaces, u0 Z1, v0 Z2be givenpoints. Let L : Z17 2Xbe a continuous set-valued mapping with nonempty closedconvex values and int(barr(L(u0) 6= . Suppose that there exists a neighborhoodU V of(u0,v0) and M =SuUL(u) such that F :

15、M V 2Xis a lowersemicontinuous set-valued mapping with nonempty values. Suppose that(i) For each v V , the mapping x 7 F(x,v) is properly quasimonotone on M.(ii) The solution set of MV IP(F(,v0),L(u0) is nonempty and bounded.IVThen (i) there exists a neighborhood U0V0of (u0,v0) with U0V0 UV , suchth

16、at for every (u,v) U0V0, the solution set of MV IP(F(,v),L(u) is nonemptyand bounded; (ii) limsup(u,v)(u0,v0)SM(u,v) SM(u0,v0), where SM(u,v) andSM(u0,v0) are the solution sets of MV IP(F(,v),L(u) and MV IP(F(,v0),L(u0)respectively.Theorem 2.2.3 Let (Z1,d1), (Z2,d2) be metric spaces, u0 Z1, v0 Z2be

17、givenpoints. Let L : Z17 2Xbe a continuous set-valued mapping with nonempty closedconvex values and int(barr(L(u0) 6= . Suppose that there exists a neighborhoodU V of(u0,v0) and M =SuUL(u) such that F : M V 2Xis a lowersemicontinuous set-valued mapping with nonempty weakly compact convex values.Supp

18、ose that(i) For each v V , the mapping x 7 F(x,v) is upper hemicontinuous andpseudomonotone on M.(ii) The solution set of GV IP(F(,v0),L(u0) is nonempty and bounded.Then (i) there exists a neighborhood U0 V0of (u0,v0) with U0 V0 U V ,such that for every (u,v) U0 V0, the solution set of GV IP(F(,v),L

19、(u) isnonempty and bounded; (ii) limsup(u,v)(u0,v0)S(u,v) S(u0,v0), where S(u,v)and S(u0,v0) are the solution sets of GV IP(F(,v),L(u) and GV IP(F(,v0),L(u0)respectively.In chapter 3, we study the stability of a set-valued weak vector variational in-equality (WV V I) in Rn. We established the upper

20、semi-continuity and the lowersemi-continuity of the solution set mapping for the set-valued WV V I, when boththe mapping and the set involved in the weak vector variational inequality are per-turbed, without putting the compactness assumption on the mapping or the set. Asan application, we obtain a

21、stability result for a class of parametric vector optimiza-tion problems in Rn. The main conclusions in chapter 3 are following:Theorem 3.2.3 If the following assumptions hold,(i)fi: Rn Z2 2Rnis a lower semicontinuous set-valued mapping withnonempty compact convex values for every i = 1,2, ,p.(ii) L

22、 : Z17 2Rnis a continuous set-valued mapping with nonempty closedconvex values.V(iii) f(,v) is pseudomonotone on Rnand fi(,v) is upper semicontinuous on Rnfor every i = 1,2, ,p.(iv) There exists some (u0,v0) Z1 Z2, such that Sw(u0,v0) is bounded andSi(u0,v0) is nonempty, for every i = 1,2, ,p.Then S

23、w(,) is upper semicontinuous at (u0,v0) Z1 Z2.Theorem 3.2.5 If the following assumptions hold,(i)fi: Rn Z2 2Rnis a lower semicontinuous set-valued mapping withnonempty compact convex values for every i = 1,2, ,p.(ii) L : Z17 2Rnis a continuous set-valued mapping with nonempty closedconvex values.(ii

24、i) f(,v) is strictly pseudomonotone on Rnand fi(,v) is upper semicontinuouson Rnfor every i = 1,2, ,p.(iv) There exists some (u0,v0) Z1 Z2, such that Sw(u0,v0) is nonempty andbounded.Then Sw(,) is lower semicontinuous at (u0,v0).In chapter 4, we study the connectedness of the solution set for a set-

25、valuedWV V I in Rnwhen the mapping is pseudomonotone and strictly pseudomonotone,which is weaker than monotone mapping and strongly monotone mapping. We canobtain our results without putting the compactness assumption on the set. More-over, we show that the connectedness result in vector variational

26、 inequality problemcan be applied to a convex vector optimization problem and a strictly convex vectoroptimization problem. The main conclusions in chapter 4 are following:Theorem 4.2.1 Let K be a unbounded closed convex subset of Rn; let fi: K 2Rn,i = 1,2, ,p, be upper semicontinuous set-valued map

27、pings with nonemptycompact convex values, let the mapping f = (f1,f2, ,fp) be pseudomonotone onK. If for any d K 0, there exist y K and ui fi(y) such thathui,di 0, for all i = 1,2, ,p.(1)Then Sw(f,K) is nonempty, compact and connected.Theorem 4.2.2 Let K be a unbounded closed convex subset of Rn; le

28、t fi: K 2Rn,i = 1,2, ,p, be upper semicontinuous set-valued mappings with nonemptyVIcompact convex values, let the mapping f = (f1,f2, ,fp) be strictly pseudomono-tone on K. If for any d K 0, there exist y K and ui fi(y) such thathui,di 0, for all i = 1,2, ,p.(2)Then(i) The solution set Sw(f,K) is c

29、ompact, path-connected.(ii) The solution set S(f,K) is bounded, path-connected.Keywords: Variational inequality; Vector Variational inequality; Stability; Con-nectedness; Barrier cone; Negative polar coneVII论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 本论文不含其他个人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果. 对本

30、文的研究作出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的法律责任.研究生签名：日期：论文使用授权声明本人完全了解广西师范大学有关保留、使用学位论文的规定. 广西师范大学、中国科学技术信息研究所、清华大学论文合作部, 有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档, 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致. 除在保密期内的保密论文外, 允许论文被查阅和借阅, 可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容. 论文的公布（包括刊登）授权广西师范大学学位办办理.研究生签名：日期：导师签名：日期：第第第一一一章章章绪绪绪论论论1.1 相相相

31、关关关工工工作作作自从 1966 年 Hartman 和 Stampacchia 提出第一个变分不等式以来, 变分不等式理论已被广泛应用于金融、经济、交通、最优化、算子研究以及工程科学等领域. 在本论文中, 我们将主要研究变分不等式理论的两个重要方面: 变分不等式解集的稳定性和连通性.经典的广义变分不等式问题 (也称为标量变分不等式问题), 记为 GV IP(F,K),研究如下问题: 找到 x K 和 x F(x) 使得hx,y xi 0,y K.其中 X 为 Banach 空间, X为对偶空间, K 为 X 中非空闭凸子集, F : K 2X为非空集值映射.在广义变分不等式的基础上, Gia

32、nnessi 1 于 1980 年提出了 Rn空间中向量变分不等式的概念, 向量变分不等式包含广义变分不等式作为其一种特殊情形, 从而把变分不等式从标量推广到了向量的情形. 在本文中, 我们主要考虑以下向量变分不等式问题:(V V I) 找到 x K 使得存在 ti fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :(ht1,y xi,ht2,y xi, ,htp,y xi) 6 Rp+0, y K.以及相应的弱向量变分不等式问题:(WV V I) 找到 x K 使得存在 ti fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :(ht1,y xi,ht2,y xi, ,htp,y xi) 6 Rp

33、+, y K.其中 K 为 Rn中非空闭凸子集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的集值映射. 记 hx,yi 表示欧几里德空间中向量 x 和 y 的内积. Rp+和Rp+如第 1章 1.2 所定义.带参数扰动变分不等式的稳定性一直是变分不等式理论研究的一个重要方向.许多学者对此问题进行了深入研究. Dafermos 2, Noor 3 以及 Yen 4 利用度量算子在 Euclidean 空间或 Hilbert 空间中研究了变分不等式解集的连续性或 Lipschitz连续性. Demokos 5 把这些结果推广到了自反 Banach 空间.1利用隐函数方法, Ro

34、binson 6 证明了广义方程解映射是 Lipschitz 连续且是方向可导的. Levy 7 研究了自反 Banach 空间中多面体上含参变分不等式解映射的稳定性.Robinson ( 见文献 8 和 9) 引进了某种类型的正规映射用来研究变分不等式解的存在性与连续性. 利用正规映射与度理论方法, Robinson 得到了有限维空间中非凸集合上变分不等式解集的稳定性结果.利用度理论与自然映射方法, Kien 和 Wong 10 证明了含参变分包含解映射是下半连续的.以上所提到的诸多研究结果是在 Rn空间或 Hilbert 空间中得到, 所涉及的映射主要是单值连续的. 所用的方法主要有拓扑度

35、理论, Wiener-Hopf 方程和 Yosida 近似等.最近, 许多作者把这些结果推广到了自反 Banach 空间中, 且所涉及的映射是集值的. 假设障碍锥的内部非空, McLinden 11 对极大单调集值变分不等式解集的稳定性进行了深入研究. 文献 12 和 13 研究了半强制集值变分不等式解集的稳定性. He 14 研究了自反 Banach 空间中带映射扰动或集合扰动情况下的伪单调集值变分不等式解集的稳定性.另一方面, 据我们所知, 关于 Minty 变分不等式稳定性的研究比较少. 而且, 许多扰动也仅限于某一个参数, 或者是集合或者是映射. 这就激发了我们对带映射和集合同时扰动情

36、况下的变分不等式解集的稳定性研究.需要注意的是, 以上所提到的研究工作都是关于标量变分不等式的. 而对于向量变分不等式的情形, 由于它是研究向量优化、多目标决策以及向量平衡等问题的有力工具, 在考虑多种因素的共同影响时, 能为解决实际问题提供了很好的数学模型, 因此, 向量变分不等式得到越来越多学者的关注, 许多学者对向量变分不等式进行了深入的研究, 主要工作集中在解的存在性方面 (见文献 15-29).而在向量变分不等式 (V V I) 解集的诸多性质中, 稳定性一直是关注的焦点. 然而, 目前关于 (V V I) 解集的半连续性研究仍很少, 特别是至今还没有一般的下半连续性结果. (V V

37、 I) 解集的下半连续性比上半连续性要求的条件更强. 由于问题的复杂性, 要想获得保证下半连续性的条件非常困难.最近, Li, Chen 和 Teo 30 在某些紧性假设下, 建立了广义集值拟向量变分不等式问题解集的上半连续性和经典变分不等式解集的下半连续性. Cheng 和 Zhu31 研究了 Rn中单值弱向量变分不等式 (WV V I) 解集的上半连续性和下半连续2性. Khanh 和 Luu 32 证明了拓扑向量空间中含参拟向量变分不等式解集的上半连续性.我们注意到许多关于 (V V I) 的稳定性结果都基于这样的假设, 即映射是单值的或集合是紧的. 这就引发了我们去思考非紧集上的集值向

38、量变分不等式解集的稳定性.关于变分不等式的连通性, 也是最近几年来的另一研究热点. 由于连通性在求变分不等式的算法时起着重要的作用, 因此激发人们了对这个领域的研究. 在某些紧性和单调性假设的基础上, 一些作者讨论了单值弱向量变分不等式 (WV V I) 解集的连通性 (参见文献 33-36). 假设映射是严格伪单调的, Chen 33 研究了 Rn中紧子集上单值弱向量变分不等式 (WV V I) 解集的连通性. 假设映射为强单调的,Lee et al. 34 研究了单值弱向量变分不等式 (WV V I) 解集的连通性并将所得结果运用于可微向量优化问题. Lee 和 Bu 35 研究了非紧多面

39、体上仿射向量变分不等式解集的连通性. 这些研究工作都引发了我们对 Rn中非紧集上弱向量变分不等式 (WV V I) 解集连通性的研究.31.2 常常常用用用符符符号号号, 基基基本本本概概概念念念和和和引引引理理理本节中, 我们将介绍本文需要用到的一些基本概念和引理.设 X 为 Banach 空间, X为对偶空间. 记 h,xi 为 X与 x X 的配对.K 为 X 中非空闭凸子集. 记号 ” ” 和 ” * ” 分别表示强收敛和弱收敛. B(0,r)表示以 0 为中心 r 为半径的开球.设 Y 为拓扑空间, A Y , A 的内部, 闭包和边界分别记为 intA,A,A.记 barr(K)

40、为 K 的障碍锥, 定义为barr(K) := x X: supxKhx,xi 0,x0 K.记 K为 K 的负极锥, 定义为K:= x X: hx,xi 0, x X.易知, 若 K 为 X 中闭凸子集, 则 K为闭凸锥. 由文献 37 中命题 3.10, 有barr(K)= K.(1.2.1)定定定义义义 1.2.1 设 Y , Z 为拓扑空间, F : Y 2Z为非空集值映射.F 称为:(i) 在 x0 Y 处上半连续的, 若对 F(x0) 的任意邻域 N(F(x0), 存在 x0的邻域 N(x0) 使得F(x) N(F(x0), x N(x0).(ii) 在 x0 Y 处下半连续的,

41、若对任意 y0 F(x0) 及 y0的任意邻域 N(y0), 存在 x0的邻域 N(x0) 使得F(x)N(y0) 6= , x N(x0).显然, F 在 x0 Y 处下半连续, 当且仅当对任意序列 xn x0及 y0 F(x0),存在序列 yn F(xn) 使得 yn y0.我们称 F 在 x0处连续, 若 F 在 x0处既上半连续又下半连续; 称 F 在 Y 上连续, 若 F 在 Y 上任何一点既是上半连续又是下半连续的.4定定定义义义 1.2.2 设 F : K X 2X为非空集值映射. F 在 K 上称为:(i) 单调 (严格单调) 的, 若对任意 (x,x),(y,y) graph

42、(F), (x 6= y), 有hy x,y xi 0 (hy x,y xi 0).(ii) 伪单调 (严格伪单调) 的, 若对任意 (x,x),(y,y) graph(F), (x 6= y), 有hx,y xi 0 hy,y xi 0 (hy,y xi 0).(iii) 拟单调的, 若对任意 (x,x),(y,y) graph(F), 有hx,y xi 0 hy,y xi 0.(iv) 真拟单调的, 若对任意 x1,x2, ,xn domF, 及任意 x cox1, ,xn,存在 i 1,2, ,n 使得hx,xi xi 0,x F (xi).(v) 上次连续的, 若对任意 x K, F

43、在 x 处从 K 中的线段到 X上的弱拓扑是上半连续的.易知伪单调映射是真拟单调的, 真拟单调映射是拟单调的.定定定义义义 1.2.3 拓扑空间 Y 称为连通的, 若不存在 Y 的非空开子集 Vi(i = 1,2),使得 V1 V2= Y 且 V1 V2= .Y 称为道路连通的, 若对 Y 中任意两点 x 和 y, 存在连续映射 : 0,1 Y 使得 (0) = x 及 (1) = y.定定定义义义 1.2.4集值映射 G : Y 2Z称为闭映射, 若它的图像 GraphG :=(y,z) Y Z : z G(y) 在 Y Z 中是闭的.引引引理理理 1.2.147若集值映射 G : Y 2Z

44、为闭映射, Z 为紧的, 则 G 为上半连续的.引引引理理理 1.2.248若 Y 为连通的, 集值映射 G : Y 2Z为上半连续的. 且对任意 y Y , G(y) 非空连通, 则 G(Y ) 也连通.以下引理 1.2.3 显然成立.引引引理理理 1.2.3 若 Y 为道路连通的, A : Y Z 为连续的. 则集合 A(Y ) 为道路连通的.本文中我们将使用以下标记:5Rp+= x = (x1,x2, ,xp) : xi 0,i = 1,2, ,p,Rp+= x = (x1,x2, ,xp) : xi 0,i = 1,2, ,p, = x Rp+:pPi=1xi= 1, = x Rp+:

45、pPi=1xi= 1.6第第第二二二章章章 自自自反反反 Banach 空空空间间间中中中集集集值值值变变变分分分不不不等等等式式式解解解集集集的的的稳稳稳定定定性性性本章主要研究自反 Banach 空间中集值变分不等式的稳定性. 在映射和集合同时扰动的情况下, 我们获得了集值变分不等式解集的一些稳定性结论. 具体来说, 当映射为真拟单调时, 我们获得了 Minty 变分不等式解集的稳定性结论 (定理 2.2.2); 当映射为伪单调时, 我们还获得了一般集值变分不等式解集的稳定性结论 (定理 2.2.3). 2.1 预预预备备备知知知识识识设 X 为自反 Banach 空间, X为对偶空间.

46、K 为 X 中非空闭凸子集, F : K 2X为非空集值映射. 我们考虑如下广义变分不等式问题, 记为 GV IP(F,K), 即找到 x K 和 x F(x), 使得hx,y xi 0, y K.(2.1.1)众所周知, 广义变分不等式问题 GV IP(F,K) 与它的 Minty 对偶变分不等式问题密切相关, 记为 MV IP(F,K), 即找到 x K, 使得supyF(y)hy,x yi 0, y K.(2.1.2)Minty 变分不等式最初由 Minty 在 40 中提出, 之后许多学者对其进行了深入研究.设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, 非空闭凸集 L X 被参数

47、 u 扰动, 其中 u (Z1,d1), 即 L : Z1 2X为取非空闭凸集的集值映射; F : X 2X被参数 v 扰动, 其中 v (Z2,d2), 即 F : X Z2 2X为非空的集值映射. 我们考虑如下广义参数集值变分不等式问题 GV IP(F(,v),L(u): 找到 x L(u)和 x F(x,v), 使得hx,y xi 0, y L(u).(2.1.3)以及相应的参数 Minty 变分不等式问题 MV IP(F(,v),L(u): 找到 x L(u),使得supyF(y,v)hy,x yi 0,y L(u).(2.1.4)设 An 为 X 中集列, 定义 limsupnAn:

48、= x X : nk 和 xnk Ank使得 xnk* x.7下面引理在以后的证明中起着重要作用.引引引理理理 2.1.114设 K 为 X 中非空闭凸子集. 若 int(barr(K) 6= , 则不存在任何序列 xn K 使得 kxnk 且xnkxnk* 0. 此外, 若 K 是锥, 则不存在任何序列 dn K, kdnk = 1 使得 dn* 0.引引引理理理 2.1.2 设 K 为 X 中非空闭凸子集, 若 int(barr(K) 6= , 则不存在任何序列 dn K, kdnk = 1 使得 dn* 0.证证证明明明 因 barr(K) = (K) barr(K) 且 int(bar

49、r(K) 6= , 故 int(barr(K)6= . 再根据引理 2.1.1, 可得结论.引引引理理理 2.1.3 设 (Z,d) 为度量空间, u0 Z 为任意给定的点. L : Z 7 2X为非空集值映射, L 在 u0处上半连续. 则存在 u0的邻域 U, 使得对任意 u U,有 (L(u) (L(u0).证证证明明明 对任意 0, L(u0) + B(0,1) 为 L(u0) 的邻域. 因为 L 在 u0处上半连续, 则存在 u0的邻域 U, 满足L(u) L(u0) + B(0,1), u U.(2.1.5)我们证明如下结论:barr(L(u0) barr(L(u), u U.(2

50、.1.6)事实上, 对任意 x barr(L(u0), 由 (2.1.5), 有supyL(u)hx,yi supyL(u0)hx,yi +supbB(0,1)hx,bi supyL(u0)hx,yi + kxk.这表明 x barr(L(u), 因此 (2.1.6) 成立.由负极锥的定义和 (2.1.6), 我们有(barr(L(u) (barr(L(u0).(2.1.7)由 (1.2.1), 可得(barr(L(u)= (L(u)以及 (barr(L(u0)= (L(u0).(2.1.8)结合 (2.1.7) 和 (2.1.8), 我们有(L(u) (L(u0).(2.1.9)8由于 (L

51、(u)and (L(u0)为闭凸锥, 由 Banach 双极化定理, 有 (L(u)=(L(u). 再由 (2.1.9) 易知 (L(u) (L(u0). 证毕.引引引理理理 2.1.414设 K 为 X 中非空闭凸子集, 则对以下命题:(i) MV IP(F,K) 的解集为非空有界的.(ii) K F (K)= 0.(iii) 存在有界集 C K, 对任意 x KC, 存在某个 y C, 使得supyF(y)hy,x yi 0我们有如下蕴涵关系: (i) (ii); 若 barr(K) 内部非空, (ii) (iii); 若 F 在 K 上是真拟单调的, (iii) (i).关于伪单调或拟单

52、调变分不等式问题, 许多学者进行了深入研究, 可参见文献 38, 39 等.引引引理理理 2.1.542若 F 在 K 上伪单调, 则 GV IP(F,K) 的解集包含于 MV IP(F,K)的解集; 若 F 在 K 上上次连续且取非空弱紧凸值, 则 MV IP(F,K) 的解集包含于 GV IP(F,K) 的解集.引引引理理理 2.1.614设 K 为自反 Banach 空间 X 中非空闭凸子集. F 在 K 上为伪单调取非空弱紧凸值的上次连续映射. 则对以下命题:(i) GV IP(F,K) 的解集非空有界.(ii)MV IP(F,K) 的解集非空有界.(iii) K F (K)= 0.我

53、们有如下蕴涵关系: (i) (ii), (ii) (iii); 若 int(barr(K) 6= , 则 (iii) (ii),因而三者等价.2.2 主主主要要要结结结果果果本节我们将建立真拟单调 Minty 变分不等式解集的稳定性, 以及伪单调变分不等式的稳定性.下面的定理 2.2.1 在我们的证明中起着关键作用.定定定理理理 2.2.1 设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, u0 Z1, v0 Z2为任意给定的点.L : Z17 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0) 6= . 假设存在 (u0,v0) 的一个邻域 U V 和 M =SuUL(

54、u), 使得 F : M V 2X是非空的下半连续集值映射. 若(L(u0) F(L(u0),v0)= 0.(2.2.1)9则存在 (u0,v0) 的邻域 U0 V0, U0 V0 U V , 使得(L(u) F(L(u),v)= 0, (u,v) U0 V0.(2.2.2)证证证明明明 反证法. 若结论不成立, 则存在 Z1Z2中序列 (un,vn), 满足 (un,vn) (u0,v0), 但 (L(un) F(L(un),vn)6= 0.因为 (L(un)F (L(un),vn)是闭凸锥, 则可以找到序列 dn, dn (L(un)F (L(un),vn), 满足 kdnk = 1 (

55、n = 1,2, ). 由于 X 是自反的, 不失一般性, 可假设 dn* d0, n +. 因为 L() 是连续集值映射, 从而 L 在 u0处是上半连续和下半连续的. 由 L 的上半连续性和引理 2.1.3, 当 n 充分大, 有 (L(un) (L(u0).因此, 当 n 充分大时, dn (L(u0).因 (L(u0)是闭凸锥, 从而是弱闭的.dn* d0表明 d0 (L(u0). 再根据引理 2.1.2 可知 d06= 0.对任意 y F(L(u0),v0), 存在 y L(u0) 使得 y F(y,v0). 因为 un u0,由 L 的下半连续性可知, 存在 yn L(un) 使得

56、 yn y.结合 vn v0, 可得 (yn,vn) (y,v0). 由 F 的下半连续性, 存在 yn F(yn,vn) 使得 yn y.因为 dn F(L(un),vn), 我们有 hyn,dni 0, 结合 yn y以及 dn* d0, 可得 hy,d0i 0.由于 y为任意的, 由以上讨论可知, d0 F (L(u0),v0). 从而 d0 (L(u0)F (L(u0),v0)且 d06= 0, 与假设矛盾. 定理得证.由定理 2.2.1, 我们获得以下真拟单调 Minty 变分不等式解集的稳定性结论.定定定理理理 2.2.2 设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, u0

57、Z1, v0 Z2为任意给定的点.L : Z17 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0) 6= . 假设存在 (u0,v0) 的一个邻域 U V 和 M =SuUL(u), 使得 F : M V 2X为非空的下半连续集值映射. 若(i) 对任意 v V , 映射 x 7 F(x,v) 在 M 上真拟单调.(ii) MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集非空有界.则 (i) 存在 (u0,v0) 的一个邻域 U0V0，U0V0 U V , 使得对任意 (u,v) U0V0, MV IP(F(,v),L(u) 的解集非空有界. (ii) limsup(u,v)

58、(u0,v0)SM(u,v) SM(u0,v0), 其中 SM(u,v) 和 SM(u0,v0) 分别表示 MV IP(F(,v),L(u) 和 MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集.证证证明明明 由引理 2.1.4 和条件 (ii) 可知 (L(u0) F (L(u0),v0)= 0. 再由定理 2.2.1, 存在 (u0,v0) 的邻域 U0 V0, U0 V0 U V , 使得对任意的 (u,v) 10U0 V0, (L(u) F (L(u),v)= 0. 因为 F 是真拟单调的, 再根据引理 2.1.3和引理 2.1.4 可知, 对任意 (u,v) U0 V0, MV IP(F

59、(,v),L(u) 的解集非空有界.由此结论 (i) 得证.下面, 我们将证明结论 (ii): limsup(u,v)(u0,v0)SM(u,v) SM(u0,v0). 等价于要证明如下结论: 对任意给定的序列 (un,vn) U0 V0, (un,vn) (u0,v0),有 limsupnSM(un,vn) SM(u0,v0).对任意 n = 0,1,2, , 定义泛函 fn: X R 为fn(x) :=supyL(un),yF(y,vn)hy, x yi(y, y),其中 (y,y) := maxkyk,1maxkyk,1. 同时对任意非负整数 n, 定义 An:=x L(un) : fn

60、(x) 0.由 fn的定义, 对任意的 n = 0,1,2, , 我们有: An= x L(un) : fn(x) 0 = SM(un,vn) , 其中 SM(un,vn) 表示 MV IP(F(,vn),L(un) 的解集. 因此, 对任意非负整数 n, 由条件 (ii) 和结论 (i) 可知, An非空有界.根据上讨论, 要证明结论 (ii) 我们只需证明 limsupnAn A0.设 x limsupnAn. 则存在序列 xnj, 任意 xnj Anj使得 xnj弱收敛于 x. 我们证明存在 znj L(u0) 使得 limjkxnj znjk = 0.事实上, 若结论不成立, 则存在

61、xnj 的子序列 xnjk 和某一 0 0, 使得 d(xnjk,L(u0) 0(k = 1,2,).由此可知 xnjk/ L(u0) + 0B(0,1), 从而 L(unjk) 6 L(u0) + 0B(0,1), 这与引理 2.1.3 中式 (2.1.5) 相矛盾, 因此得证.其次, 由于 L(u0) 是 X 的闭凸子集, 因而是弱闭的, 由此可得 x L(u0).现在我们证明 f0(x) 0, 从而 x A0.对任意 y L(u0) 和 y F(y,v0). 因为 un u0, 由 L() 的下半连续性可知, 对任意的 n, 存在 yn L(un) 使得 limnyn= y. 又因为 F

62、 是下半连续的且 yn y, vn v0, 则存在序列 yn F(yn,vn) 使得 yn y. 由于 xnj Anj,有 fnj(xnj) 0, 即hynj, xnj ynji(ynj, ynj) 0.令 j , 可得hy, x yi(y, y) 0.11因为 y L(u0) 以及 y F(y,v0) 都是任取的, 上式表明 x A0. 从而结论 (ii)得证.注注注 2.2.1 在映射 F 和集合 K 同时扰动的情况下, 定理 2.2.2 讨论了 Minty 集值变分不等式解集的稳定性. 由文献 42 命题 1, 我们有 SM(u,v) S(u,v). 再由定理 2.2.2 的结论 (i)

63、, 对任意 (u,v) U0 V0, SM(u,v) 非空有界, 因此我们有 S(u,v) 非空. 在映射 F 单独扰动的情况下, He 14 得到了定理 2.2.2 的相应结论 (参见文献 14 定理 4.1 (i) ).以下例子说明定理 2.2.2 中条件的必要性.例例例 2.2.1 设 Z1= Z2= 1,1, u0= v0= 0,L(u) 0,1,F(x,v) =0,v 6= 0.12,1,v = 0.可知 F(,v) 在 0,1 上是伪单调的, 但 F(x,v) 在 (0,0) 处不是下半连续的. 经计算可得, SM(0,0) = 0, SM(0,v) = 0,1(v 6= 0).

64、则 limsupv0SM(0,v) = 0,1 6SM(0,0).例例例 2.2.2 设 Z1= Z2= 1,1, u0= v0= 0,L(u) =0,1,u 6= 0,0,2,u = 0,F(x,v) 1, x L(u),v Z2.可知 F(,v) 在 0,2 上是伪单调的, L(u) 在 u = 0 处是上半连续的, 但不是下半连续的. 经计算可得, SM(0,0) = 2, SM(u,0) = 1(u 6= 0). 则 limsupu0SM(u,0) =1 6 SM(0,0).例例例 2.2.3 设 Z1= Z2= 1,1, u0= v0= 0,L(u) =0,2,u 6= 0,1,2,

65、u = 0,F(x,v) 1, x L(u),v Z2.可知 F(,v) 在 0,2 上是伪单调的, L(u) 在 u = 0 处是下半连续的, 但不是上半连续的. 经计算可得, SM(0,0) = 1, SM(u,0) = 0(u 6= 0). 则 limsupu0SM(u,0) =0 6 SM(0,0).由定理 2.2.2 和引理 2.1.6, 我们获得以下伪单调集值变分不等式稳定性结论.定定定理理理 2.2.3 设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为度量空间, u0 Z1, v0 Z2为任意给定的点.L : Z17 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0)

66、 6= . 假设存在 (u0,v0) 的一个邻域 U V 和 M =SuUL(u), 使得 F : M V 2X是取非空弱紧凸值的下半连续集值映射. 若12(i) 对任意 v V , 映射 x 7 F(x,v) 在 M 上上次连续, 伪单调.(ii) MV IP(F(,v0),L(u0) 的解集非空有界.则 (i) 存在 (u0,v0) 的一个邻域 U0V0，U0V0 U V ，使得对任意 (u,v) U0V0，GV IP(F(,v),L(u) 的解集非空有界. (ii)limsup(u,v)(u0,v0)S(u,v) S(u0,v0), 其中 S(u,v) 和 S(u0,v0) 分别表示 G

67、V IP(F(,v),L(u) 和 GV IP(F(,v0),L(u0) 的解集.证证证明明明 由于 F 在 M 上伪单调, 上次连续取且非空弱紧凸值, 则由引理 2.1.6,MV IP(F(,v),L(u) 的解集等价于 GV IP(F(,v),L(u) 的解集. 再注意到伪单调映射为真拟单调的, 定理 2.2.3 可由定理 2.2.2 直接得到.注注注 2.2.2 定理 2.2.3 推广了 14 中的定理 4.2.在映射 F 单独扰动的情况下, 我们获得以下推论 2.2.1 和推论 2.2.1.推推推论论论 2.2.1 设 (Z,d) 为度量空间, v0 Z 为任意给定的点. K 是 X

68、中非空闭凸集, int(barr(K) 6= . 假设存在 v0的邻域 V , 使得 F : K V 2X是非空集值映射. 若(i) 对任意 v V , 映射 x F(x,v) 在 K 上为真拟单调的.(ii) 对任意 x K, 映射 v 7 F(x,v) 在 v0处下半连续.(iii) MV IP(F(,v0),K) 的解集非空有界.则 (i) 存在 v0的邻域 V0, V0 V , 使得对任意 v V0, MV IP(F(,v),K) 的解集非空有界; (ii) limsupvv0SM(v) SM(v0), 其中 SM(v) 和 SM(v0) 分别为 MV IP(F(,v),K) 和 MV

69、 IP(F(,v0),K) 的解集.证证证明明明 在定理 2.2.2 的证明过程中, 令 L(u) K 及 yn y, 与定理 2.2.2 同样的讨论, 可得结论.结合推论 2.2.1, 引理 2.1.5 及引理 2.1.6, 可得以下推论 2.2.2.推推推论论论 2.2.2 设 (Z,d) 为度量空间, v0 Z 为任意给定的点. K 为 X 中非空闭凸集, int(barr(K) 6= . 假设存在 v0的邻域 V , 使得 F : K V 2X为取非空弱紧凸值的集值映射. 若(i) 对任意 v V , 映射 x F(x,v) 在 K 上伪单调为上次连续的.(ii) 对任意 x K, 映

70、射 v 7 F(x,v) 在 v0处为下半连续的.(iii) GV IP(F(,v0),K) 的解集非空有界.则 (i) 存在 v0的邻域 V0, V0 V , 使得对任意 v V0, GV IP(F(,v),K)的解集非空有界; (ii) limsupvv0S(v) S(v0), 其中 S(v) 和 S(v0) 分别表13示 GV IP(F(,v),K) 和 GV IP(F(,v0),K) 的解集.在集合单独扰动的情况下, 我们获得以下推论 2.2.3 和推论 2.2.4.推推推论论论 2.2.3 设 (Z,d) 为度量空间, u0 Z 为任意给定的点. L : Z 7 2X为取非空闭凸值的

71、连续集值映射, 满足 int(barr(L(u0) 6= . 假设存在 u0的邻域 U,M =SuUL(u) 使得 F : M 2X为非空的下半连续集值映射. 若(i) F 在 M 上为真拟单调的.(ii) MV IP(F,L(u0) 的解集为非空有界的.则 (i) 存在 u0的邻域 U0, U0 U, 使得对任意 u U0, MV IP(F,L(u) 的解集非空有界; (ii) limsupuu0SM(u) SM(u0), 其中 SM(u) 和 SM(u0) 分别为 MV IP(F,L(u) 和 MV IP(F,L(u0) 的解集.证证证明明明. 定义映射 F1: M Z 2X为 F1(x,

72、v) := F(x). 易知 F1满足定理 2.2.2的所有条件, 因此结论成立.结合推论 2.2.3, 引理 2.1.5 以及引理 2.1.6 可得推论 2.2.4 .推推推论论论 2.2.4设 (Z,d) 为度量空间, u0 Z 为任意给定的点. L : Z 7 2X为取非空闭凸值的连续集值映射, int(barr(L(u0) 6= .存在 u0的邻域 U及 M =SuUL(u) 使得 F : M 2X为取非空弱紧凸值的下半连续集值映射. 若(i) F 在 M 上为上次连续, 伪单调的.(ii) GV IP(F,L(u0) 的解集非空有界.则 (i) 存在 u0的邻域 U0, U0 U,

73、使得对任意 u U0, GV IP(F,L(u)的解集非空有界; (ii) limsupuu0S(u) S(u0), 其中 S(u) 和 S(u0) 分别为 GV IP(F,L(u) 和 GV IP(F,L(u0) 的解集.14第第第三三三章章章 弱弱弱向向向量量量变变变分分分不不不等等等式式式与与与向向向量量量优优优化化化问问问题题题解解解集集集的的的稳稳稳定定定性性性本章, 我们主要研究 Rn中集值弱向量变分不等式问题解集的稳定性. 若映射为伪单调, 我们建立集值弱向量变分不等式解映射的上半连续性 (定理 3.2.3); 进一步, 若映射为严格伪单调, 我们建立集值弱向量变分不等式解映射下

74、半连续性 (定理 3.2.5). 作为应用, 我们把所获结论应用到一类向量优化问题中. 3.1 预预预备备备知知知识识识设 K 为 Rn中非空闭凸集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的集值映射. 令f := (f1,f2,fp), f(x)(y) := (ht1,yi,ht2,yi,htp,yi) : ti fi(x),i = 1,2,p其中 x K, y Rn, hx,yi 表示 Euclidean 空间中向量 x 和 y 的内积.设 Rp+与Rp+如第一章 1.2 中所定义. 令F(x,) =pXi=1ifi(x) = pXi=1iti: ti fi(x),

75、x K, Rp+.本章我们考虑如下向量变分不等式问题:(V V I) 找到 x K 使得存在 ti fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :(ht1,y xi,ht2,y xi, ,htp,y xi) 6 Rp+0, y K.以及如下弱向量变分不等式问题:(WV V I) 找到 x K 使得存在 ti fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :(ht1,y xi,ht2,y xi, ,htp,y xi) 6 Rp+, y K.记 (V V I) 与 (WV V I) 的解集分别为 S(f,K) 与 Sw(f,K).设 (Z1,d1), (Z2,d2) 为两个度量空间, 非空闭凸集

76、 L Rn被参数 u 扰动, 其中 u (Z1,d1), 即 L : Z1 2Rn为取非空闭凸集的集值映射; fi: Rn 2Rn(i =1,2, ,p) 被参数 v 扰动, 其中 v (Z2,d2), 即 fi: RnZ2 2Rn(i = 1,2, ,p)为非空集值映射. 本章我们考虑如下形式的参数弱向量变分不等式 (WV V I)(u,v):找到 x L(u) 使得存在 ti fi(x,v),i = 1,2, ,p, 满足:(ht1,y xi,ht2,y xi, ,htp,y xi) 6 Rp+, y L(u).15记 (WV V I)(u,v)的解集为 Sw(u,v). 当 Sw(u,v

77、) 在 Z1 Z2上取值时, 我们称 Sw(,) 为参数弱向量变分不等式 (WV V I)(u,v)的解映射.弱向量变分不等式 (WV V I) 问题与标量变分不等式问题密切相关, 记为 V I(g,K), 其定义如下:V I(g,K) 找到 x K 使得存在 x g(x), 满足 :hx,y xi 0, y K.V I(g,K) 的对偶变分不等式, 记为 DV I(g,K), 其定义如下:DV I(g,K) 找到 x K 使得supyg(y)hy,x yi 0, y K.显然, V I(g,K) 和 DV I(g,K) 分别与 GV IP(g,K) 和 MV IP(g,K) 等价.考虑如下变

78、分不等式问题:V I(fi,K) 找到 x K 使得存在 ti fi(x), 满足 :hti,y xi 0, y K.以及如下相应的参数变分不等式问题:V I(fi(,v),L(u) 找到 x L(u) 使得存在 ti fi(x,v), 满足 :hti,y xi 0, y L(u).记 V I(fi,K) 和 V I(fi(,v),L(u) 的解集分别为 S(fi,K) 和 Si(u,v). 显然, 我们有 Si(u,v) Sw(u,v).对任意 Rp+0, 我们考虑如下标量变分不等式问题:(V I)找到 x K 使得存在 ti fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :hpXi=1it

79、i,y xi 0, y K.以及如下参数标量变分不等式问题:(V I)(,u,v): 找到 x L(u) 使得存在 ti fi(x,v)(i = 1,2, ,p), 满足 :hpXi=1iti,y xi 0, y L(u).16记 (V I)和 (V I)(,u,v)的解集分别为 S(f,K) 和 S(u,v).定定定义义义 3.1.1设 fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为非空的集值映射.f =(f1,f2, ,fp) 在 K 上称为伪单调 (严格伪单调) 的, 若对任意 = 1,2, ,p RP+ 0, F(,) : K 2Rn在 K 上为伪单调 (严格伪单调) 的, 即对任意

80、的 x,y K, (x 6= y), ui fi(x),vi fi(y),i = 1,2, ,p, 我们有hpXi=1iui,y xi 0 = hpXi=1ivi,y xi 0 (hpXi=1ivi,y xi 0).下面的例子 3.1.1 用来说明定义 3.1.1.例例例 3.1.1 设K = R,f1(x) = 1, 2.5 + sinx,f2(x) = 1, 2.5 + cosx.显然, 对任意 R2+, F(,) 是严格伪单调的, 从而也是伪单调的. 因此, f =(f1,f2) 是严格伪单调的, 也是伪单调的.注注注 3.1.1 (i) 若 fi(i = 1,2, ,p) 是单值的,

81、则定义 3.1.1 中的伪单调性弱于文献 21 中的伪单调性:hf(x),y xi 6Rp+00 = hf(y),y xi Rp+0.事实上, 若对任意 = 1,2, ,n RP+ 0,x,y X, 若 hpPi=1ifi(x),y xi 0, 则 hf(x),y xi 6Rp+00, 进而可得 hf(y),y xi Rp+0. 这意味着 hpPi=1ifi(y),y xi 0.(ii) 若 fi(i = 1,2, ,p) 是严格单调的, 则pPi=1ifi也是严格单调的, 因而pPi=1ifi是严格伪单调的.(iii) 若 f(,v) 是伪单调的, 易知 fi(,v)(i = 1,2, ,p

82、) 是伪单调的.(iv) 即使 fi(i = 1,2, ,p) 是伪单调的, 但pPi=1ifi不一定是伪单调的. 因而 f = (f1,f2, ,fp) 不一定是伪单调的. 如下面例 3.1.2 所示.例例例 3.1.2 设K = 1,2,f1(x) = 1,4,f2(x) = 4 + x.显然, f1和 f2在 K 上是伪单调的. 我们将证明 1f1+2f2在 K 上不是伪单调的. 事实上, 任取 1= 2= 1, x0= 1, y0= 2, u1= 4 f1(x0), u2= 4+1 = 3 f2(x0),17v1= 1 f1(y0), v2= 4 + 2 = 2 f2(y0), 则我们

83、有 h1u1+ 2u2,y0 x0i =h4 3,2 1i 0, 但 h1v1+ 2v2,y0 x0i = h1 2,2 1i 0, L(u0) + B(0,1) 是 L(u0) 的一个邻域. 由于 L 在 u0处是上半连续的, 则存在 u0的邻域 U, 使得L(u) L(u0) + B(0,1), u U.显然, 由引理 3.1.1, 我们有(L(u) (L(u0) + B(0,1), u U.(3.1.3)现在我们来证明(L(u0)= (L(u0) + B(0,1).(3.1.4)事实上, 由引理 3.1.1, (L(u0) (L(u0) + B(0,1)显然成立. 我们只需证(L(u0)

84、 + B(0,1) (L(u0).(3.1.5)对任意 d (L(u0)+B(0,1), 由引理 3.1.1, 存在序列 xn L(u0)+B(0,1)以及 tn , 使得d = limnxntn.(3.1.6)其次, 对任意 xn L(u0)+B(0,1), 存在 x0n L(u0), 使得 kxnx0nk 0, 由 L 的上半连续性知, 存在 k0 N, 使得当 k k0时, 对任意的 xnk L(unk), 存在某个 x0nk L(u0) 使得 kxnk x0nkk 0.(3.2.14)这与 (3.2.13) 矛盾. 因此, S(u,v) 是单值的.最后, 我们证明 S(u,v) 在 (

85、u0,v0) 处连续.任取 (un,vn) (u0,v0), 我们令 zn= S(un,vn), S(u0,v0) = x. 与定理 3.2.2 类似的证明, 我们可知 zn 有界, 且假设 zn z. 我们将证明 z = x.25对任意的 y L(u0) 与 ti fi(y,v0), 由 L 的下半连续性知, 存在 yn L(un)使得 yn y. 结合 vn v0, 则有 (yn,vn) (y,v0). 由 fi的下半连续性知, 存在 tin fi(yn,vn) 使得 tin ti.由 zn= S(un,vn), 则存在 rin fi(zn,v0),i = 1,2, ,p, 满足:hpXi

86、=1irin,x zni 0, x L(un).(3.2.15)由 yn L(un), 我们有hpXi=1irin,yn zni 0.(3.2.16)由 f(,v) 的伪单调性以及 (3.2.16), 我们有hpXi=1itin,yn zni 0.(3.2.17)令 n , 我们得hpXi=1iti,y zi 0.(3.2.18)这说明 z 是对偶变分不等式 (DV I)(,u0,v0)的一个解.由于 fi(,v)(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的上半连续映射, 可知pPi=1ifi(,v)也为取非空紧凸集的上半连续集值映射. 由引理 3.1.2, 我们有 z S(u0,v0).由

87、S(u0,v0) 的单值性, 有 z = x. 这就证明了 S(u,v) 的连续性.结合定理 3.2.4 和引理 3.1.4, 我们现在来建立弱向量变分不等式 (WV V I) 解映射的下半连续性.定定定理理理 3.2.5 若以下条件成立,(i)fi: Rn Z2 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii) f(,v) 在 Rn上严格伪单调, fi(,v)(i = 1,2, ,p) 在 Rn上为上半连续.(iv) 存在 (u0,v0) Z1 Z2, 使得 Sw(u0,v0) 非空有界.则 Sw(,

88、) 在 (u0,v0) 处下半连续.证证证明明明 任取序列 (un,vn), (un,vn) (u0,v0) 以及 x Sw(u0,v0) =SRp+0S(u0,v0).则存在某个 Rp+0, 使得 x = S(u0,v0).26由 S(u0,v0) Sw(u0,v0), 则 S(u0,v0) 非空有界, 由定理 3.2.4, S(u,v) 在 (u0,v0)处连续. 取 xn= S(un,vn), 当 n 时, 我们有 xn x.再注意到 xn=S(un,vn) Sw(un,vn), 则定理得证.注注注 3.2.3 定理 3.2.5 推广了文献 31 中的定理 3.1.以下例子说明定理 3.

89、2.5 中条件的必要性.例例例 3.2.4 设 Z1= Z2= 2,2, u0= v0= 0,L(u) 0,1,F(x,v) =1,v 6= 0.1,v = 0.可知 F(,v) 在 0,1 上严格伪单调, 但 F(x,v) 在 (0,0) 处不是下半连续的. 经计算可得, Sw(0,0) = 1, Sw(0,v) = 0(v 6= 0). 则 Sw(u,v) 在 (0,0) 处不是下半连续的.例例例 3.2.5 设 Z1= Z2= 2,2, u0= v0= 0,L(u) = 0,12,u 6= 0,0,1,u = 0,F(x,v) 1, x L(u),v Z2.可知 F(,v) 在 0,1

90、上严格伪单调, L(u) 在 u = 0 处为上半连续的, 但不是下半连续的. 经计算可得, Sw(0,0) = 1, Sw(u,0) = 12(u 6= 0). 则 Sw(u,v) 在 (0,0)处不是下半连续的.例例例 3.2.6 设 Z1= Z2= 2,2, u0= v0= 0,L(u) =0,1,u 6= 0,0,12,u = 0,F(x,v) 1, x L(u),v Z2.可知 F(,v) 在 0,1 上严格伪单调, L(u) 在 u = 0 处为下半连续的, 但不是上半连续的. 经计算可得, Sw(0,0) = 12, Sw(u,0) = 1(u 6= 0). 则 Sw(u,v)

91、在 (0,0)处不是下半连续.推论 3.2.3 可由定理 3.2.5 直接得到.推推推论论论 3.2.3 若以下条件成立,(i)fi: Rn Z2 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii) f(,v) 在 Rn上严格伪单调, fi(,v)(i = 1,2, ,p) 在 Rn上为上半连续.(iv) 对任意 (u,v) Z1 Z2, Sw(u,v) 非空有界.则 Sw(,) 在 Z1 Z2上下半连续.27 3.3 在在在向向向量量量优优优化化化问问问题题题中中中的的的应应应用用用本节, 我们利用定理

92、 3.2.3 与定理 3.2.5 来获得一类参数向量优化问题解集的稳定性.我们首先给出伪凸函数与严格伪凸函数的概念, 以及一些基本结论.定定定义义义 3.3.1 设 D 为 Rn中开凸子集, 可微函数 g : D R 称为伪凸 (严格伪凸) 的, 若对任意 x,y D, (x 6= y), 有hg(x),y xi 0 g(y) g(x) (g(y) g(x).定定定义义义 3.3.2设 D 为 Rn中开凸子集, gi: D R(i = 1,2, ,p) 为可微函数. g(x) := (g1(x),g2(x), ,gp(x) 在 D 上称为伪凸 (严格伪凸) 的, 若对任意 = 1,2, ,n

93、RP+ 0, 任意 x,y D, (x 6= y), 有hpXi=1igi(x),y xi 0 pXi=1igi(y) pXi=1igi(x) (pXi=1igi(y) pXi=1igi(x).引引引理理理 3.3.145设 D 为 Rn中开凸子集, g : D R 为可微函数, 则 g 在 D 上是伪凸 (严格伪凸) 的, 当且仅当 g 在 D 上是伪单调 (严格单调) 的.作为引理 3.3.1 的结论, 我们有以下引理 3.3.2.引引引理理理 3.3.2设 D 为 Rn中开凸子集, gi: D R(i = 1,2, ,p) 为可微函数.g(x) := (g1(x),g2(x), ,gp(

94、x) 在 D 上为伪凸 (严格伪凸) 的, 当且仅当 g = (g1,g2, ,gp) 在 D 上是伪单调 (严格单调) 的.设 K Rn为闭凸集, gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 为可微函数. 我们考虑如下向量优化问题, 这一类问题与弱向量变分不等式问题有着密切的联系:(V OP)Minimizeg(x) := (g1(x),g2(x), ,gp(x)subject tox K定定定义义义 3.3.3 x K 称为 (V OP) 的一个弱有效解, 若对任意的 y K, 有(g1(y) g1(x),g2(y) g2(x), ,gp(y) gp(x) 6 Rp+.记 (V OP) 的

95、所有弱有效解为 WEFF(V OP).与可微向量优化问题 (V OP) 相对应, 我们考虑如下向量变分不等式问题:(WV V I)找到 x K 使得(hg1(x),y xi, ,hgp(x),y xi) / Rp+,y K.28上述向量变分不等式 (WV V I)的解集记为 sol(WV V I).设 Z1,Z2如前面所定义, 非空闭凸集 L Rn被参数 u 扰动, 其中 u (Z1,d1),即 L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的集值映射. gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 被参数 v 扰动, 其中 v (Z2,d2), 即对每一个 v Z2, gi(,v) : Rn R(i =

96、 1,2, ,p)为可微函数. 记 gi(,v) 在 x 处的 Frechet 导数为 xgi(x,v). 我们将考虑如下参数向量优化问题:(V OP)(u,v)Minimizeg(x,v) := (g1(x,v),g2(x,v), ,gp(x,v)subject tox L(u),v Z2.以及相应的参数向量变分不等式问题:(WV V I)(u,v)找到 x L(u) 使得(hxg1(x,v),yxi,hxgp(x,v),yxi) / Rp+,y L(u).记 (V OP)(u,v)所有弱有效解的集合为 WEFF(V OP)(u,v). 记参数向量变分不等式 (WV V I)(u,v)所有解

97、的集合记为 sol(WV V I)(u,v).与 (V OP) 和 (V OP)(u,v)相对应, 我们还考虑如下标量优化问题:(Pi)Minimizegi(x)subject tox K以及如下参数标量优化问题:(Pi)(u,v)Minimizegi(x,v)subject tox L(u),v Z2.记 (Pi) 的解集与 (Pi)(u,v)的解集分别为 SPi(gi,K) 与 SPi(u,v). 显然, 我们有 SPi(gi,K) WEFF(V OP) 以及 SPi(u,v) WEFF(V OP)(u,v).下面的引理 3.3.3 研究了参数向量变分不等式 (WV V I)(u,v)与参

98、数向量优化问题 (V OP)(u,v)的解集之间的关系.引引引理理理 3.3.351若 gi(,v) : Rn R(i = 1,2, ,p) 为可微伪凸泛函, 则下面结论成立WEFF(V OP)(u,v)= sol(WV V I)(u,v).现在我们来建立这一类向量优化问题解集的稳定性.定定定理理理 3.3.1 若以下条件成立,(i0) 映射 (x,v) xgi(x,v)(i = 1,2, ,p) 是连续的.(ii0) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii0) g(,v) 在 Rn上伪凸.29(iv0) 存在某个 (u0,v0) Z1Z2, 使得 WEFF(V OP)(

99、u0,v0)有界且 SPi(u0,v0)(i =1,2, ,p) 非空.则 WEFF(V OP)(u,v)在 (u0,v0) Z1 Z2处上半连续.证证证明明明 对任意的 x L(u) 与 v Z2, 我们定义映射 fi: Rn Z2 2Rn(i =1,2, ,p) 为fi(x,v) := xgi(x,v).我们证明 fi(i = 1,2, ,p) 满足定理 3.2.3 中的所有条件.显然, 由假设条件 (i0) 与 (ii0) 知, 定理 3.2.3 中的条件 (i) 和 (ii) 成立.由引理 3.3.2 以及假设条件 (iii0) 知, f(,v) 是伪单调的. 因此, 定理 3.2.3

100、 中的条件 (iii) 成立.由引理 3.3.3 以及假设条件 (iv0) 知, 定理 3.2.3 中的条件 (iv) 也成立.则由定理 3.2.3, 我们可知 sol(WV V I)(u,v)在 (u0,v0) Z1 Z2处为上半连续,从而 WEFF(V OP)(u,v)在 (u0,v0) Z1 Z2处也为上半连续的. 定理得证.下面推论 3.3.1 可定理 3.3.1 直接得到.推推推论论论 3.3.1 若以下条件成立,(i0) 映射 (x,v) xgi(x,v)(i = 1,2, ,p) 是连续的.(ii0) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii0) g(,v)

101、在 Rn上伪凸.(iv0) 对任意的 (u,v) Z1 Z2与任意的 i = 1,2, ,p, WEFF(V OP)(u,v)有界, SPi(u,v) 非空.则 WEFF(V OP)(u,v)在 Z1 Z2上上半连续.定定定理理理 3.3.2 若以下条件成立,(i0) 映射 (x,v) xgi(x,v)(i = 1,2, ,p) 是连续的.(ii0) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii0) g(,v) 在 Rn上严格伪凸.(iv0) 存在某个 (u0,v0) Z1 Z2, 使得 WEFF(V OP)(u0,v0)非空有界.则 WEFF(V OP)(u,v)在 (u0,

102、v0) Z1 Z2处下半连续.证证证明明明 由引理 3.3.2 以及假设条件 (iii0), 对任意的 v Z2, xg(x,v) 在 Rn上严格伪单调. 根据定理 3.2.5, 与定理 3.3.1 相同的讨论方法, 可得结论成立.下面的推论 3.3.2 由定理 3.3.2 直接得到.推推推论论论 3.3.2 若以下条件成立,30(i0) 映射 (x,v) xgi(x,v)(i = 1,2, ,p) 是连续的.(ii0) L : Z17 2Rn为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii0) g(,v) 在 Rn上严格伪凸.(iv0) 对任意的 (u,v) Z1 Z2, WEFF(V OP)(u,v

103、)非空有界.则 WEFF(V OP)(u,v)在 Z1 Z2上下半连续.31第第第四四四章章章 向向向量量量变变变分分分不不不等等等式式式与与与向向向量量量优优优化化化问问问题题题解解解集集集的的的连连连通通通性性性本章主要讨论 Rn空间中伪单调集值向量变分不等式解集的连通性 (定理 4.2.1). 进一步, 在严格伪单调情况下, 我们还讨论了集值向量变分不等式解集的道路连通性 (定理 4.2.2). 作为应用, 我们给出一类凸向量优化问题解集的连通性结果. 4.1 预预预备备备知知知识识识本章中, 令 K, f := (f1,f2,fp) 和 F(x,) 如第三章中所定义, 令 Rp+,Rp

104、+, 和 如第一章 1.2 中所定义.如第三章中所定义, 本章我们考虑如下向量变分不等式问题:(V V I) 找到 x K 使得存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p),满足 :(hu1,x xi,hu2,x xi, ,hup,x xi) 6 Rp+0,x K.以及如下弱向量变分不等式问题:(WV V I) 找到 x K 使得存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p),满足 :(hu1,x xi,hu2,x xi, ,hup,x xi) 6 Rp+,x K.记 (V V I) 和 (WV V I) 的解集分别为 S(f,K) and Sw(f,K).本章我们将主要讨论解集 S(f

105、,K) 和 Sw(f,K) 的连通性.由第三章的讨论可知, 弱向量变分不等式问题 (WV V I) 和如下定义的标量变分不等式问题 V I(g,K) 密切相关：V I(g,K) 找到 x K 使得存在 x g(x), 满足 :hx,y xi 0,y K.对于任意的 Rp+ 0, 我们还考虑如下标量变分不等式:(V I)找到 x K使得存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :hpXi=1iui,x xi 0,x K.记 (V I)的解集为 S(f,K).下面的引理在以后的讨论中将要用到.32引引引理理理 4.1.143设 K 是 Rn中非空闭凸子集, g : K 2Rn为伪单

106、调取非空紧凸值的上半连续集值映射. 则 V I(g,K) 的解集非空紧当且仅当K (g(K)= 0.引引引理理理 4.1.2 以下结论成立:Rp+S(f,K) S(f,K) Sw(f,K) =Rp+0S(f,K).(4.1.1)证证证明明明 第二个包含关系 S(f,K) Sw(f,K) 是显然的. 接下来我们证明SRp+S(f,K) S(f,K). 任取 Rp+和 x S(f,K), 则存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p) 满足:0 hpXi=1iui,x xi =pXi=1ihui,x xi,x K.(4.1.2)则不可能存在 x K 使得(hu1,x xi,hu2,x xi,

107、,hup,x xi) Rp+.因而 x S(f,K).更进一步, 由第三章引理 3.1.4 可知, 式 (4.1.1) 中的等号成立, 由此结论得证.注注注 4.1.1 对任意的 Rp+0 和 t 0, 显然有 S(f,K) = St(f,K) 成立. 因此, (4.1.1) 可改写成如下形式:S(f,K) S(f,K) Sw(f,K) =S(f,K).(4.1.3)注注注 4.1.2 当 fi(i = 1,2, ,p) 是单值时, Lee, Kim, Lee 和 Yen 得到引理 (4.1.1)的单值形式, 参见文献 34 定理 2.1.引引引理理理 4.1.3 设 fi: K 2Rn(i

108、= 1,2, ,p) 是取非空紧凸值的上半连续集值映射, 则 Sw(f,K) 是闭集.证证证明明明 设 xn Sw(f,K), 当 n + 时, xn x0. 我们只需证明 x0 Sw(f,K).由 K 是闭集, 我们有 x0 K. 并且存在紧集 K1 K, 使得对每一个 n N,有 xn K1.33由 xn Sw(f,K) 可知, 存在 uni fi(xn)(i = 1,2, ,p), 使得(hun1,x xni,hun2,x xni, ,hunp,x xni) 6 Rp+.(4.1.4)因 K1是紧集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 为取非空紧凸值的上半连续集值映射, 则

109、fi(K1)(i = 1,2, ,p) 是紧的.更进一步, 因 xn K1和 uni fi(xn), 则存在子序列 nk 使得当 k + 时,unki u0i(i = 1,2, ,p). 由 fi(i = 1,2, ,p) 的上半连续性可知 u0i fi(x0).由 (4.1.4), 我们有(hu01,x x0i,hu02,x x0i, ,hu0p,x x0i) 6 Rp+.(4.1.5)即 x0 Sw(f,K), 从而得到 Sw(f,K) 是闭集. 4.2 主主主要要要结结结果果果本节中, 我们证明伪单调集值弱向量变分不等式解集的连通性. 进一步, 若映射为严格伪单调的, 我们还证明了集值弱

110、向量变分不等式和集值向量变分不等式解集的道路连通性.定定定理理理 4.2.1 设 K 是 Rn中非空闭凸子集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 是取非空紧凸值的上半连续集值映射, 设 f = (f1,f2, ,fp) 在 K 上是伪单调的. 若对任意的 d K 0, 存在 y K 和 ui fi(y)(i = 1,2, ,p) 使得hui,di 0, i = 1,2, ,p.(4.2.1)则 Sw(f,K) 是非空紧的, 并且连通.证证证明明明对任给的 , 我们考虑如下的向量变分不等式:(V I):找到 x K 和 ui fi(y) 使得hpPi=1iui,x xi 0,x K.

111、首先, 我们证明 S(f,K) 是非空紧集.取 g =pPi=1ifi, 则 g(x) = F(x,). 由 f 的伪单调性和定义 3.1.1, 我们有 g :K 2Rp为伪单调的. 由于对任意的 d K0, 存在 y K 和 ui fi(y), 使得hui,di 0, i = 1,2, ,p.因此, 显然有 hpPi=1iui,di 0, 即 d 6 (g(K).从而有 K(g(K)= 0. 由引理 4.1.1, 可知 S(f,K) 是非空紧的.34其次, 我们证明 Sw(f,K) 有界. 用反证法, 假设 Sw(f,K) 无界, 则存在序列 xk Sw(f,K), limkkxkk = +

112、. 由引理 4.1.2, 存在 k 使得xk Sk(f,K).(4.2.2)我们假设xkkxkk d, k. 由第三章中引理 3.1.1, 有 d K以及 . 由定理条件, 存在 y K 和 ui fi(y), 使得hui,di 0, i = 1,2, ,p.(4.2.3)由 (4.2.2), 存在 uki fi(xk)(i = 1,2, ,p) 使得hpXi=1kiuki,x xki 0,x K.(4.2.4)在 (4.2.4) 式中取 y = x, 可得hpXi=1kiuki,y xki 0,x K.(4.2.5)由 F(x,) 的伪单调性, 可得hpXi=1kiui,y xki 0.(4

113、.2.6)从而有hpXi=1kiui,yi hpXi=1kiui,xki.(4.2.7)(4.2.7) 两边同除以 kxkk, 并令 k , 有0 hpXi=1iui,di.(4.2.8)这与 (4.2.3) 矛盾. 因此可得 Sw(f,K) 是有界的. 进一步, 由引理 4.1.3, 有 Sw(f,K)是闭集, 从而 Sw(f,K) 是紧集.下面我们证明 Sw(f,K) 是连通的.我们可以证明 S(f,K) 是凸集从而是连通的. 事实上, 由 g 的伪单调性, 有S(f,K) = x0 K : 存在 x g(x), 使得 hx,x x0i 0,x K.35显然, 集合 x0 K : 存在 x

114、 g(x), 使得 hx,x x0i 0,x K 是凸集, 从而 S(f,K) 是连通的.令 Z = Sw(f,K), 由前面的证明可知 Z 是非空紧集. 定义集值映射 G : 2Z如下：G() = S(f,K), .我们证明 G : 2Z是闭的. 任取 xn G(n), xn x0, n 0(n +).由 xn G(n) 可知, 存在 uni fi(xn)(i = 1,2, ,p) 使得hpXi=1niuni,x xni 0, x K.(4.2.9)因 Z = Sw(f,K) 是紧集, fi: K 2Rn(i = 1,2,)p 是取非空紧凸值的上半连续集值映射, 则 fi(Z) 是紧集. 进

115、一步, 由 xn Z 以及 uni fi(xn), 则存在序列 nk 使得当 k + 时, 有 unki u0i(i = 1,2, ,p). 由 fi(i = 1,2, ,p)的上半连续性可知 u0i fi(x0).由 (4.2.9), 我们有hpXi=10iu0i,x x0i 0, x K.(4.2.10)即 x0 G(0), 从而有 G : 2Z是闭的.则由引理 1.2.1 知, G 是上半连续的. 进一步, 由引理 1.2.2, 我们有 Sw(f,K) 是连通的.注注注 4.2.1 (i) 若 fi= Mix + qi, Mi Rnn,qi Rn(i = 1,2 ,p) 时, 则弱向量变

116、分不等式问题 (WV V I) 转化为仿射向量变分不等式问题. Lee 和 Bu 在 35 中得到定理 4.2.1 关于仿射向量变分不等式的相应形式, 参见文献 35 中定理 2.2.下面我们来举例说明定理 4.2.1.例例例 4.2.1 考虑问题 (WV V I) 如下, 其中K = R1+,f1(x) = f2(x) =0,x 0,1),0,1,x = 1,x2,x 1.显然, fi(i = 1,2) 是上半连续的, 并且 f = (f1,f2) 在 K 上是伪单调的,K= R1+. 则定理 4.2.1 的所有假设条件都已满足. 经计算可得 Sw(f,K) = 0,1.因而 Sw(f,K)

117、 是非空紧的, 并且连通.下面的推论 4.2.1 可由定理 4.2.1 的证明直接得到.36推推推论论论 4.2.1 设 K 是 Rn中非空紧凸子集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 取非空紧凸值的上半连续集值映射, f = (f1,f2, ,fp) 在 K 上伪单调. 则 Sw(f,K) 是非空紧的, 并且连通.当 f 是严格伪单调时, 我们还获得了集值弱向量变分不等式和集值向量变分不等式的道路连通性结果.定定定理理理 4.2.2 设 K 是 Rn中非空闭凸子集, fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 是取非空紧凸值的上半连续集值映射, 设 f = (f1,f2, ,f

118、p) 在 K 上严格伪单调的. 若对任意的 d K 0, 存在 y K 和 ui fi(y)(i = 1,2, ,p) 使得hui,di 0, i = 1,2, ,p.(4.2.11)则(i) Sw(f,K) 是非空紧的, 并且道路连通.(ii) S(f,K) 是非空有界的, 并且道路连通.证明 (i) 我们首先证明如下结论: 对任意的 , 标量变分不等式 (V I):找到 x K 使得存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p), 满足hpXi=1iui,x xi 0,x K,在 K 中有且仅有一个解.由定理 4.2.1 可知, S(f,K) 是非空的.另一方面, 设 x,y K 是 (

119、V I)的解, 且满足 x6= y, .由于 x是 (V I)一个解, 则存在 ui fi(x)(i = 1,2, ,p), 使得hpXi=1iui,x xi 0,x K,取 x = y, 则有hpXi=1iui,y xi 0,由 f 的严格伪单调性和定义 3.1.1, 对任意的 vi fi(y)(i = 1,2, ,p) 有hpXi=1ivi,y xi 0,37亦即,hpXi=1ivi,x yi 0,这与 y是 (V I)的解相矛盾.从而可知, 对任意的 , (V I)是在 K 中有且仅有一个解, 设为 x().结合定理 4.2.1 的证明可知, x() 是单值上半连续映射, 因而 x :

120、K 是连续的. 因 是道路连通的, 由引理 1.2.3, 集合 Sw(f,K) =Sx() = x() 也是道路连通的.(ii) 下面我们证明 S(f,K) 是有界的, 并且道路连通的.由于 S(f,K) Sw(f,K), 且 Sw(f,K) 是非空紧的, 则 S(f,K) 是有界的.进一步, 由 (4.1.3) 式, 存在集合 1, 满足 1 , 使得x() S(f,K) =1x() x().由于 和 是道路连通的, 则 1也是道路连通的. 因此, 我们有 S(f,K) =S1x() 是道路连通的.注注注 4.2.2 (i) 当 K 是紧集且 fi(i = 1,2, ,p) 是单值时, Ch

121、en 33 获得了定理 4.2.2 的相应形式, 参见 33 中定理 1.(ii) 注意到强单调映射是严格单调的, 从而是严格伪单调的, 因此定理 4.2.2 把文献 34 中定理 4.2 由单值推广到集值的情形.下面我们举例说明定理 4.2.2.例例例 4.2.2 考虑问题 (WV V I) 和 (V V I) 如下, 其中K = R1+,f1(x) = x + 1,f2(x) 1.显然, fi(i = 1,2) 是上半连续的, f = (f1,f2) 在 K 上是严格伪单调的, K= R1+.则定理 4.2.2 中的所有条件都已满足. 经计算可得 Sw(f,K) = S(f,K) = 0.

122、 因而 Sw(f,K) 和 S(f,K) 是有界的, 且道路连通.下面的推论 4.2.2 可由定理 4.2.2 直接得到.推推推论论论 4.2.2 设 K 是 Rn中非空紧凸子集,fi: K 2Rn(i = 1,2, ,p) 是取非空紧凸值的上半连续集值映射, 设 f = (f1,f2, ,fp) 在 K 上是严格伪单调的.则 S(f,K) 和 Sw(f,K) 是非空有界的, 并且道路连通. 特别地, Sw(f,K) 是非空紧的.38 4.3 在在在向向向量量量优优优化化化问问问题题题中中中的的的应应应用用用本节, 利用定理 4.2.1 和定理 4.2.2, 我们获得凸向量优化问题的若干连通性

123、和道路连通性结果.设 D 是 Rn的非空凸子集. 泛函 g : D R 在 D 上称为凸 (严格凸) 的, 若对所有的 x,y D(x 6= y), 对任意的 0 t 1(0 t 1) , 都有g(tx + (1 t)y) tg(x) + (1 t)g(y)( 0 使得对每个 i = 1,2, ,p, 有gi( x) gi(x)gj(x) gj( x) M其中 j 满足条件：对任意满足 gi(x) gj( x).39(3) x K 称为 (V OP) 的弱有效解, 若对任意的 x K, 有(g1(x) g1( x),g2(x) g2( x), ,gp(x) gp( x) 6 Rp+.记 (V

124、OP) 所有有效解的集合, 所有真有效解的集合, 所有弱有效解的集合分别为 EFF(V OP), PrEFF(V OP) 和 WEFF(V OP).针对上述向量优化问题 (V OP), 我们考虑如下向量变分不等式：(WV V I)0找到 x K, i gi( x)(i = 1,2, ,p), 使得(h1,x xi, ,hp,x xi) / Rp+,x K.向量变分不等式 (WV V I)0的解集记为 sol(WV V I)0.对任意的 Rp+ 0, 我们考虑如下标量变分不等式：(V I)0找到 x K 使得存在 ui gi(x)(i = 1,2, ,p), 满足 :hpXi=1iui,x xi

125、 0,x K.记 (V I)0的解集为 S0(g,K).下面的引理 4.3.1, 参见 Lee 和 Lee 51, 探讨了向量优化问题 (V OP) 和向量变分不等式问题 (WV V I)0解集之间的关系.引引引理理理 4.3.1 设 K 是 Rn中非空闭凸子集, gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 是真凸下半连续泛函, K dom(gi)(i = 1,2, ,p). 则以下结论成立：PrEFF(V OP)=S0(g,K) EFF(V OP)WEFF(V OP) =S0(g,K) = sol(WV V I)0.接下来, 我们将给出上述向量优化问题 (V OP) 解集的连通性和道路连通性

126、结果. 首先我们给出凸向量优化问题解集的连通性结果.定定定理理理 4.3.1设 K 是 Rn中非空闭凸子集, gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 是真凸下半连续泛函, K dom(gi)(i = 1,2, ,p). 若对任意的 d K 0, 存在 y K 使得gi(y;d) 0, i = 1,2, ,p.(4.3.2)则(i) WEFF(V OP) 是非空紧的, 并且连通.40(ii) PrEFF(V OP) 是非空有界的, 并且连通.证证证明明明 (i) 对任意的 x K, 我们定义映射 fi: Rn 2Rn(i = 1,2, ,p) 为fi(x) := gi(x).下面我们证明 f

127、 = (f1,f2, ,fp) 满足定理 4.2.1 的所有条件.由 gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 是真凸下半连续泛函, 则 fi= gi(i = 1,2, ,p)是取非空紧凸值的上半连续集值映射.由 gi(i = 1,2, ,p) 是凸的, 则 gi是单调的. 因而有 f = (f1,f2, ,fp) 是单调的, 从而是伪单调的.由于对任意的 d K,d 6= 0, 存在 y K 使得 gi(y;d) 0, i = 1,2, ,p.由 (4.3.1), 有gi(y;d) = maxhui,di : ui gi(y) 0, i = 1,2, ,p.(4.3.3)由 (4.3.3)

128、, 存在 ui fi(y) 使得hui,di 0, i = 1,2, ,p.(4.3.4)至此, 定理 4.2.1 的所有条件都已满足, 由定理 4.2.1, 我们有 sol(WV V I)0是非空紧的, 并且连通. 进一步, 由引理 4.3.1 可知, WEFF(V OP) = sol(WV V I)0. 从而 WEFF(V OP) 是非空紧的, 并且连通.(ii) 由引理 4.3.1, 有 PrEFF(V OP) WEFF(V OP). 因 WEFF(V OP) 是紧集, 则有PrEFF(V OP) 有界. 进一步, 因 PrEFF(V OP) =SS0(g,K) 和是连通的, 与定理 4

129、.2.1 相同的证明方法, 我们有SS0(g,K) 是连通的, 从而有 PrEFF(V OP) 是连通的.下面的推论 4.3.1 可由定理 4.3.1 直接得到.推推推论论论 4.3.1 设 K 是 Rn中非空紧凸子集, gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 是真凸下半连续泛函, K dom(gi)(i = 1,2, ,p). 则(i) WEFF(V OP) 是非空紧的, 并且连通.(ii) PrEFF(V OP) 是非空有界的, 并且连通.下面, 我们给出严格凸向量优化问题解集的道路连通性结果.41定定定理理理 4.3.2 设 K 是 Rn中非空闭凸子集, gi: Rn R(i = 1

130、,2, ,p) 是真严格凸下半连续泛函, K dom(gi)(i = 1,2, ,p). 若对任意的 d K 0, 存在 y K 使得gi(y;d) 0, i = 1,2, ,p.(4.3.5)则(i) WEFF(V OP) 是非空紧的, 并且道路连通.(ii) PrEFF(V OP) 是非空有界的, 并且道路连通.(iii) EFF(V OP) 是非空有界的, 并且道路连通.证证证明明明 (i) 因 gi(i = 1,2, ,p) 是严格凸的, 则 gi是严格单调的.由 f =(f1,f2, ,fp) 的严格单调性可知 f 是严格伪单调的. 由定理 4.2.2, 类似定理 4.3.1的证明,

131、 结论 (i) 得证.(ii) 由引理 4.3.1, 有 PrEFF(V OP) =SS0(g,K). 与定理 4.2.2 相同的证明方法, 我们有 PrEFF(V OP) =SS0(g,K) 是非空有界, 并且是道路连通的.(iii) 由引理 4.3.1 和定理 4.2.2, 结论 (iii) 显然成立.下面的推论 4.3.2 可由定理 4.3.2 直接得到.推推推论论论 4.3.2 设 K 是 Rn中非空紧凸子集, gi: Rn R(i = 1,2, ,p) 是真严格凸下半连续泛函, K dom(gi)(i = 1,2, ,p). 则(i) WEFF(V OP) 是非空紧的, 并且道路连通

132、.(ii) PrEFF(V OP) 是非空有界的, 并且道路连通.(iii) EFF(V OP) 是非空有界的, 并且道路连通.42参参参考考考文文文献献献1 F. Giannessi, Theorems of Alternative, Quadratic Programs and Complemen-tary ProblemsM. In: R. W. Cottle, F. Giannessi, J. C. Lions (eds.), VariationalInequality and Complementary Problems, Wiley and Sons, New York, 1980

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159、Sets, Journal of GlobalOptimization, 已收到修改通知.48致谢在毕业论文完成之际, 我向所有悉心指导过我、热情帮助过我的老师、同学致以最衷心的感谢.首先, 衷心感谢导师范江华教授三年来对我的辛勤培养, 本论文是在导师范江华的悉心指导下完成的, 范老师渊博的专业知识, 严谨的治学态度, 精益求精的工作作风, 诲人不倦的高尚师德, 严以律己、宽以待人的崇高风范, 朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远. 不仅使我树立了远大的学术目标, 掌握了基本的研究方法, 还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理. 本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的, 倾注了导师大量的心血. 在此, 谨向范老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！其次, 感谢王驹、韦健等老师传授给我知识, 感谢辅导员吉秀芳和唐织辉老师对我的关心和指导.感谢我的同学刘翔、王晓果、韦文红以及其他朋友在整个研究生学习期间给予我热情的帮助和不断的鼓励.感谢我的父母和廖锦锋对我无限的关怀和支持.最后, 感谢各位答辩委员们在百忙之中抽出时间对本论文进行认真审阅和批评,敬请各位专家提出宝贵意见和建议.