数字信号处理第6章答案.

2、一个可取负值的实函数。 ()称为相位特性函数，当()=时，称为第一类（A类）线性相位特性；当()=0时，称为第二类（B类）线性相位特性。 0=/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本书仅考虑这种情况。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 2 具有线性相位的FIR滤波器的特点（h(n)长度为N） 1）时域特点 (6.1.1) (6.1.2) 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章群延时, 为常数，所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性。 2）频域特点有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 3）结论掌握以上特点，就可以得出如

3、下结论，这些结论对 FIR滤波器的设计很重要。（1）情况1：可以实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻和点阻等）。（2）情况2： Hg()=0，不能实现高能、带阻和点阻滤波器。（3）情况3：只能实现带通滤波器（因为 Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0）（4）情况4：不能实现低能、带阻和点阻滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 6.1.2 FIR数字滤波器设计方法教材中主要介绍了FIR-DF的3种设计方法，即窗函数法、频率采样法、等波纹最佳逼近法。这3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚，本书不再重复，读者

4、只要认真学习教材，并参考例题和习题解答，就可以掌握本章的知识和方法。下面仅举一个例子，用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论，使读者正确理解所谓的最佳设计法，其设计效果与设计的最佳准则有关，以一个最佳准则设计的最佳滤波器，在另一个最佳准则下可能就不是最佳的，甚至很差，以至于无实际应用价值。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章例6.1.1 试证明在窗函数设计法中，当h(n)长度 N值固定时，矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则。解: 仿照窗函数设计法的过程，设Hd(ej)表示期望逼近的理想滤波器频率响应，其单位脉冲响应为hd(n)。

5、用w(n) 表示窗函数，长度为N; 用h(n)表示用窗函数法设计的实际 FIR滤波器单位脉冲响应（即h(n)=hd(n)w(n)，其频率响应函数为H(ej)。定义H(ej)与Hd(ej)的均方误差为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章本例题就是要求证明：当w(n)=RN(n)时， 2最小。由于证明的条件与窗函数w(n)的类型（形状）有关，所以，将2转换到时域表示，有利于证明。证明如下：（1）令误差函数 E(ej)=Hd(ej)H(ej) 由于E(ej)为周期函数，所以可展开为幂级数有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）用系数e(n)

6、表示均方误差2。（3）证明只有当w(n)=RN(n), h(n)=hd(n)Rn(n)时， 2 最小。下面按三步证明：（1）因为，所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由于h(n)长度为N，即当n0或nN时， h(n)=0，所以故有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 (2) 因为E(ej)=FTe(n)，所以由帕塞瓦尔定理有 (3) 由（2）的结果知， 2的前面两个求和项与w(n)无关，而第三个求和项为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由此证明，矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则。前面已提到，当Hd(ej)为理想

7、频响特性（理想低通、带通等）时，矩形窗设计的FIR滤波器阻带最小衰减只有21 dB，不满足一般工程要求。所以，调用频域最小均方误差最佳逼近设计程序设计FIR滤波器时，使Hd(ej)具有平滑的滚降特性，可使阻带衰减加大，通带内波纹减小。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 6.2 教材第7章习题与上机题解答 1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：（1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 （2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)

8、=0 试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1 n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于=点奇对称。（2）由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值

9、中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点，求其余7个频域幅度采样值。解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称，即Hg(2)=Hg()。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即 Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15 综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章

10、3 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。解: 对FIR数字滤波器，其系统函数为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5 所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ej)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为相位特性函数为 4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过/8 rad。希

11、望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）为了满足线性相位条件，要求， N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度 rad, 所以要求 , 求解得到N32。加矩形窗函数, 得到h(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（3） N取奇数时，幅度特性函

12、数Hg()关于=0, , 2 三点偶对称，可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg() 关于=奇对称，即Hg()=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过/10 rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N的关系；（3） N的取值有什么限制？为什么？解: （1）直接用IFTHd(ej)计算：有限脉冲响应(FIR)

13、数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而(n)对应于一个线性相位全通滤波器： Hdap(ej)=ej 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则 h(n)=hd(n)RN(n)= 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n) 要求满足（3） N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足： , 即N40。取N=4

14、1。 6 理想带通特性为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)；（2）写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式，确定 N与之间的关系；（3）要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？解: （1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面hd(n)的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。（2） h(n)=hd(n)w(n) 为了满足线性相位条件，与N应满足有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上，即使不要求具有线性相位，与N也应满足该关系，只有这样，才能截取hd(n)的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。（3） N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N ，所以

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