《高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例2 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例2 新人教a版选修1-1（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x)在 某个区间内可导 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤： （1）确定定义域. （2）求导数f(x). （3）求f(x)=0的根. （4）列表. （5）判断. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤： (1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b）比较,从而确定函数的最值. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效 率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过 前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值
2、的 有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题. 1了解导数在实际问题中的应用. 2对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用 料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用. 3利用导数知识解决实际中的最优化问题.（重点） 4将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.（难点 ） 探究点1 海报版面尺寸的设计 【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要 求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两 边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面 积最小？ 分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心的 高，求出版心的
3、宽，从而 列出海报四周的面积来？ 因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最 小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时 ，能使四周空白面积最小. 你还有其他解法 吗？例如用基本 不等式行吗？ 解法二：由解法一得 2在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有 一个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求 的最大值或最小值. 1设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 【提升总结】 用长为长为 90cm,宽为宽为 48cm的长长方形铁铁皮做一个无盖的 容器,先在四个角分别别截去一个小正方形,然后把四 边边翻
4、转转90,再焊焊接而成(如图图),问该问该 容器的高为为多 少时时,容器的容积积最大?最大容积积是多少? 【即时训练】 解答：设设容器的高为为xcm,容器的容积为积为 V(x)cm3, 则则V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320 x(0x24). V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360) =12(x-10)(x-36)(0x24). 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去). 【解题题关键键】 直接列出体积积关于高的函数解析式,再利用导导数求解. 当0x0,V(x)是增函数; 当10x24时时,V(x)0,V(x)是减函数.
5、 因此,在定义义域(0,24)内,只有当x=10时时函数V(x)取得 最大值值,其最大值为值为 V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3), 故当容器的高为为10cm时时,容器的容积积最大,最大容积积 是19 600cm3. 【规律总结】 与面积、容(体)积有关最值问题的解决策略 解决面积、容积(体积)的最值问题,要正确引入 变量,将面积或容积(体积)表示为变量的函数,结 合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 规格（L）0.61.252 价格（元）2.54.55.1 探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 【例2】下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品， 若它
6、们的价格如下表所示，则 （1）对对消费费者而言，选择选择 哪一种更合算呢？ （2）对对制造商而言，哪一种的利润润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶 子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单 位：cm,已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分 ，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm， 问题： ()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为 r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 减函数 增函数 -1.07p 当r2时，f(r)0,它表示f(r)单 调递增，即半径
7、越大，利润越高； 2 3 从图中，你 还能看出什 么吗？ 当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零； 当r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利 润也相应增大. 【规律总结】求解利润润最大问题问题 的两个注意点 (1)注意定义义域:在求解利润润最大问题时问题时 ,一定要注 意所列函数的定义义域.并且能够够正确列出函数的解 析式,这这是求解利润润最大问题问题 的前提. (2)实际联实际联 系:在求解利润润最大问题时问题时 ,一定要注意 所得的结结果是否和现实现实 情况相符合,因此,在求得结结 果之后,要进进行检验检验 . 已知某厂每天生产x件产品的总成本为 若受到产能影响，该厂每天至多只能生
8、产800件产品， 则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ 解析：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则 【即时训练】 因为函数在（0，1000）上是减函数 又因为0x6 000时时,f(x)0, 所以,当x=6 000时时,利润润最大. 答案:6 000 解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计 数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函 数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个 过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如 以下流程图所示: 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 建立数学模型 解决数学 模型 作答 1函数f(x)x33bx3b在(0
9、,1)内有极小值值， 则则 ( ) A0b1 Bb0 Db A 2.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h的值 解析:设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh， D 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润 为315万元 点评建立数学模型后，注意找准函数的定义域， 这是此类题解答过程中极易出错的地方 5.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的 正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的 方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大 ？最大容积是多少？ 解：设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得 箱子容积V是x的函数，
10、V(x)(602x)2x(0x30) 4x3240 x23 600 x. 所以V(x)12x2480 x3 600， 令V(x)0，得x10或x30(舍去). 当0x0， 当10x30时，V(x)0. 所以当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是 V(x)的最大值V(10)16 000(cm3) 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时， 箱子的体积最大，最大容积为16 000cm3. 点评在解决实际应用问题中，如果函数在 区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义 判定是最大值还是最小值,不必再与端点的函数 值进行比较 1.解决优化问题的基本思路： 优化问题用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2导数在实际生活中的应用方向：主要是 解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要 有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题. (2)与物理学有关的最值问题. (3)与利润及其成本有关的最值问题. (4)效率最值问题. 3解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过 创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中， 导数是一个有力的工具.
