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1、第6讲讲 对对数与对对数函数 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记 作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1) (2)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 xlogaN N loga(MN)_； loga _； logaMn_(nR)； loga mMn logaM(m，nR，且m0). (3)对数的重要公式 换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)； logab ，推广logablogbclogcd_. logaMlo
2、gaN logaMlogaN nlogaMa logad 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是 自变量，函数的定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a10a1时，_； 当0x1时，_； 当0x0 y0，且a1)与对数函数_(a0， 且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称. ylogax yx 诊 断 自 测 解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1) (2) (3)
3、 (4) 2.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的 图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c1 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，所以00，且a1)的 值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是( ) 解析 (1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在 (0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称. 因此yloga|x|的图象应大致为选项B. (2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与y xa的图象，其中a表示直线在y轴上截距. 由图可知，当a1时，
4、直线yxa与ylog2x 只有一个交点. 答案 (1)B (2)a1 规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数 的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点 、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图 象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是( ) 解析 (1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排 除A、B； 又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D. 答案 (1)C (2)B 考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小 【例31】 (2
5、016全国卷)若ab0，0c1，则( ) A.logaclogbc B.logca0且a1，设t(x)3ax， 则t(x)3ax为减函数， x0，2时，t(x)的最小值为32a， 当x0，2时，f(x)恒有意义， 规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质 ，都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则 结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时， 要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时 ，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必 须为正的限制条件. 【训练3】 (1)设alog32，blog52，clog23，则( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区 间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_. 思想方法 1.对数值取正、负值的规律 当a1且b1或0a1且01且0b1或0a1时，logab0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题， 其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的 对数式，然后根据单调性来解决.
