《高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义 新人教a选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义 新人教a选修2-2（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章 1.1变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 问题导学题型探究达标检测 学习目标 知识点一 导数的几何意义 问题导学 新知探究 点点落实 如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT 为过点P的切线. 思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答 割线PPn的斜率kn . 答案 思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什
2、么关系？ (1)切线的定义：设PPn是曲线yf(x)的割线，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋 近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线yf(x) 的切线. (2)导数f(x0)的几何意义：导数f(x0)表示曲线yf(x)在点 处的 切线的斜率k，即k (3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为 _. 在点P处 (x0，f(x0) f(x0) yf(x0) f(x0)(xx0) 答案 答 kn无限趋近于切线PT的斜率k. 知识点二 导函数 对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时， f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)
3、的导函数(简称为 导数), 即f(x)y_. 答案返回 类型一 求切线方程 解析答案 题型探究 重点难点 个个击破 例1 已知曲线yx2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； 解 设切点为(x0，y0)， y|x12. 曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y12(x1)，即2xy10. (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. 解析答案反思与感悟 解析答案 解 点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知， 2x0， 切线方程为yy02x0(xx0)， 由P(3,5)在所求直线上得 5y02x0(3x0)， 再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0 ， 联立，得
4、，x01或x05. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 反思与感悟 当切点为(1,1)时， 切线的斜率为k12x02， 此时切线方程为y12(x1)，即2xy10， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010， 此时切线方程为y2510(x5)， 即10 xy250. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为2xy10或 10 xy250. 反思与感悟 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思与感悟 反思与感悟 2.过不在曲线yf(x)上一点(x1，y1)的切线的求法步骤. (1)设切点为P0(x0，y0)，则切线方程为yy0k(xx0)； (2)建立方程组
5、(3)解方程组得k，x0，y0，从而写出切线方程. 跟踪训练1 求函数yx33x2x的图象上过原点的切线方程. 解析答案 yf(x0x)f(x0) 解析答案 故所求切线方程为xy0或5x4y0. 类型二 求切点坐标 解析答案 例2 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，求出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为45； (2)切线平行于直线4xy20； (3)切线垂直于直线x8y30. 反思与感悟 解 设切点坐标为(x0，y0)， 4x0x2(x)2， (1)抛物线的切线的倾斜角为45， 斜率为tan 451， 解析答案反思与感悟 (2)抛物线的切线平行于直线4xy20， k4，即f(x0)4x04
6、，解得x01， 切点坐标为(1,3). (3)抛物线的切线与直线x8y30垂直， k( )1，即k8， 解析答案反思与感悟 f(x0)4x08，解得x02， 切点坐标为(2,9). 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤： (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标. 反思与感悟 跟踪训练2 已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的 值及切点坐标. 解析答案 解析答案 解 设直线l与曲线C相切于点
7、P(x0，y0)， 3x24x， 当切点为(2,3)时，有342a，a5. 当a5时，切点为(2,3). 例3 (1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所 示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1 ，k2，k3之间的大小关系为_.(请用“”连 接) 类型三 导数几何意义的应用 解析 由导数的几何意义可得k1k2， k1k3k2. k1k3k2 解析答案 (2)设点P是曲线 上的任意一点，P点处的切线倾斜角为 ，则的取值范围为_. 解析答案反思与感悟 解析 设P(x0，y0)， 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用 题目所提供的诸如
8、直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问 题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 反思与感悟 跟踪训练3 (1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b上的图象可能是( ) 解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各 点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足. A 解析答案 (2)曲线y 和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面 积是_. 解析答案返回 交点坐标为(1,1). 切线方程为y1(x1)， 解析答案 返回 即yx2. 同理可得，曲线yx2在(1,1)处切线方程为y2x
9、1， 1.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( ) A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1 解析答案 达标检测 1234 A 解析 由题意，知ky|x0 a1. 又(0，b)在切线上，b1，故选A. 2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是( ) A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定 解析答案 解析 由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线 的斜率，由图象可知f(xA)f(xB). B 1234 3.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切
10、线方程 是yx8，则f(5)f(5)_. 解析 点P(5，y)在直线yx8上，f(5)3， 又由导数的几何意义可知，f(5)1. f(5)f(5)312. 2 1234 解析答案 4.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_. 1234 解析答案 令4x0416得x03，P(3,30). (3,30) 1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 ，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一 个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x) 在xx0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点 在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知 点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点. 返回 规律与方法
