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2、t)c1u(t)+c 2v(t)是方程组 （*） 的满足初始条件 w(0)= 2 1 c c 的解，其中 21,c c是任意常数. 解：a) u(0)= 0sin 0cos = 0 1 u (t)= t t cos sin = = 01 10 sin cos 01 10 t t u(t) 又 v(0)= 0cos sino = 1 0 v (t)= t t sin cos = 01 10 t t cos sin = 01 10 v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= 1 cu(0)+ 2 cu(0)= 1 c 0 1 + 2 c 1 0 = 2 1 c c
3、 w (t)= 1 c u (t)+ 2 c v (t) = 1 c t t cos sin + 2 c t t sin cos = + tctc tc sincos cossintc 21 21 课后答案网 = 01 10 + + tctc tctc cossin sincos 21 21 = 01 10 w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e t ,x(1)=7, x(1)=- 2 b) x ）（4 +x=te t,x(0)=1, x(0)=- 1,x (0)=2,x (0)=0 c) t
4、cosx15y13y2y ey6x7y5x t x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y(0)=1 解：a）令 x1x, x2= x , 得 += = t extxxx xxx 21 2 2 1 27 即 + = t ex x tx x0 27 10 2 1 2 1 又 x1x(1)=7 x2(1)= x (1)=- 2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x , 0 x 27 10 t e x(1) 2 7 其中 x 2 1 x x . b) 令 1 xx 2 x x 3 x x 4 x x 则得： +=+= = = = tt textexx xxx xxx xxx
5、 1 4 4 3 3 2 2 1 课后答案网 且 1 x(0)=x(0)=1, 2 x= x(0)=- 1, 3 x(0)= x(0)=2, 4 x(0)= x(0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x= t te 0 0 0 x 0001 1000 0100 0010 x(0)= 0 2 1 1 , 其中 x= 4 3 2 1 x x x x . c) 令 w1x， w2 x，w3y，w4y ，则原初值问题可化为： += = += = twwwyw wyw ewwwxw wx t cos15132 675 w 143 4 4 3 314 2 2 1 且 = = =
6、= 1)0()0( 0)0()0( 0)0()0( 1)0()0( 4 3 2 1 yw yw xw xw 即 w + = t e w t cos 0 0 132015 1000 5607 0010 w(0)= 1 0 0 1 其中 w 4 3 2 1 w w w w 3. 试用逐步逼近法求方程组 x 01 10 x x 2 1 x x 满足初始条件 x(0)= 2 1 x x 的第三次近似解. 解： = 1 0 )( 0 t 课后答案网 = + = + = 101 0 1 0 01 10 01 0 )( 1 tt ds t t = + = + = 2 1 2 1 0 101 10 01 0
7、)( 22 2 t t t t ds st t + = + = 2 1 6 1 0 2 1 01 10 01 0 )( 2 3 2 3 t t t dss s t t 0241201 杨素玲杨素玲 课后答案网 习题 5.2 0241202 0241203 1.试验证( )t= 12 2 t tt 是方程组 x = tt 22 10 2 x,x= 2 1 x x ， 在任何不包含原点的区间 abt 上 的基解矩阵。 解：令( )t的第一列为 1 (t)= t t 2 2 ,这时 1 (t)= 2 2t = tt 22 10 2 1 (t)故 1 (t)是一个解。同样如果以 2 (t)表示( )t
8、第二列，我们有 2 (t)= 0 1 = tt 22 10 2 2 (t)这样 2 (t)也是一个解。因此( )t是解矩阵。又因为 det( )t=- t 2 故( )t是基解矩阵。 2.考虑方程组 x =A(t)x (5.15)其中 A(t)是区间 a bt 上的连 续 nn 矩阵，它的元素为 aij(t),i ,j=1,2,n a) 如果 x1(t),x2(t),xn(t)是(5.15)的任意 n 个解，那么它们的伏朗斯 基行列式 Wx1(t),x 2(t),xn(t)W(t)满足下面的一阶线性微分方 程 W =a 11(t)+a22(t)+ann(t)W b) 解 上 面 的 一 阶 线
9、 性 微 分 方 程 ， 证 明 下 面 公 式 ： W(t)=W(t0)e dssasasa nn t t )(.)()( 2211 0 + t0,ta,b 解：w (t)= nnnn n n xxx xxx xxx . . . 21 222 21 1 12 11 + . . . 21 2 22 21 11211 nnnn n n xxx xxx xxx + nnnn n n xxx xxx xxx . . . 21 22221 11211 = 课后答案网 nnnn n nnnnnnnnn xxx xxx xaxaxaxaxaxaxaxaxa . . . 21 22221 121211121
10、221212111121121111 + + nnnnnnnnnnnnnnn n n xaxaxaxaxaxa xxx xxx +. . . 122111111 22221 11211 = nnnn n xxx xxx nxaxaxa . . 1. 21 22221 1112111111 + nnnnnnnnnn n n xaxaxa xxx xxx . . . 21 22221 11211 整理后原式变为 （a11+ann） nnnn n n xxx xxx xxx . . . 21 22221 11211 =（a11+ann）w(t) =（a11(t)+ann(t)）w(t) b)由于 w
11、 (t)= a 11(t)+ann(t) w(t),即 )( )( tw tdw = a11(t)+ann(t)dt 两 边 从t 0 到t 积 分ln)(tw- ln)( 0 tw= + t t nn dssasa 0 )(.)( 11 即 w(t)=w(t0)e dssasa t t nn )(.)( 0 11 + ,ta,b 3.设 A(t)为区间 abt 上的连续 nn 实矩阵，( )t为方程 x =A(t)x 的 基解矩阵，而 x=(t)为其一解，试证： a) 对于方程 y =- AT(t)y 的任一解 y=(t)必有 T(t) (t)=常数； b)(t)为方程 y =- AT(t)y 的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数 矩阵 C，使 T(t) (t)=C. 解 a) T(t) (t) = T (t)+ T (t)= T (t)+ T(t)A(t) 又因为 =- AT(t) (t)，所以 T =- T(t) A(t) T(t) (t) =- T(t) (t)A(t)+ T(t) A(t) (t)=0, 课后答
