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1、 12.4 12.4 单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算 一.运动方程及其解 P -荷载幅值-荷载频率 特解 或 一般解 运动方程 齐次方程通解 特解一阶导数 特解二阶导数 代入(a)， 整理后得 到方程： 令等号两边sint 和cos t 的相应系 数分别相等，从得 到的方程： 可解得： 由初始条件可 确定积分常数 方程(a) 的 通解 为： 其中： 初位移、初速度引 起的自由振动分量 动荷载激起的按结 构自振频率自由振 动的分量,称为伴生 自由振动 纯受迫振动（ 稳态振动） 若特解写为： 1. 体系按干扰力频 率振动 2. 振动不衰减 二. 几点讨
2、论（稳态） 在稳态振动阶段 定义干扰力幅值引 起的静位移为： D动动力系数（考虑虑阻 尼时时的放大系数） 1 . 振幅 1 1 1 1 令 重要的特性： 1. 当时,1，D0, 结构可看做静 止，即无变形位移（ D近似与阻尼无关） 。 3. 当 时,1。 D迅速增大，即荷 载频率接近于自振频率时，振幅会迅速增 大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25 称为共振区。 共振 ： 有阻尼 无阻尼 （共振区内阻尼不能忽略） 2 . 位移与荷载之间的相位关系 相位 若0（无阻尼）： 有阻尼： （位移总是 滞后于振动 荷载） 荷载位移同时达 到最大值 荷载达到最大 值时位移达到 最小值 3. 强迫振
3、动时能量的转换 振动荷载P sin(t)在振动 一周内所输入的能量： 粘滞阻尼力D (t) 在振动一 周内所消耗的能量： 1、当荷载与位移之间无 相位差时(无阻尼）: 无能量补充 2、当荷载与位移之间存在 相位差时（有阻尼）: 输入能量等于消 耗能量 4. 不考虑阻尼（0）时的计算结果 -荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 -动力系数动力系数 -稳态振幅稳态振幅 当 时，A趋 于无穷， 5. 弹性动内力幅值的计算 （A）. 由于考虑线弹性，结构的弹性内力与位移（变 形）成正比，故位移达到幅值时，内力即达到幅值。 （2）. 确定振动位移达到幅值时的时刻 即由下式解出
4、t=t* （1）. 确定振动位移函数 的具体表达式 即算出初相位 （3）. 将此时的振动荷载 及惯性力 一起加于梁上，按一般静力学求内力方法求解内力（不必考虑阻尼 力的作用） m Psint* I=-m(t*) m Psint （B）. 当振动荷载与惯性力共线（即与位移共线）时。 因此 ，将 加到质点上，作出相应的内力 图，即为动内力的幅值图 。（即将结构在P=1作用下的内力图 放大 倍就是结构的弹性动内力幅值图。）（不考虑 阻尼） m DP m Psint* I=-m(t*) 例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向 刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为 机器转速为N=800r/min,
5、其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向 振动时的振幅。 解： 由于自振频率 的计算误差 共振 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大 动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅 值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k Psint 2m 解：1)求 2)求 3)求ymax， Mmax 1 1/2 例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W
6、=534cm3， E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量G=35kN，转速n=500r/min。由 于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质 量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率 2）求动力系数 175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。 I22b 3570cm4 357039.7 39.7 1.35 对于本例，采用较小的截面的梁 既可避免共振，又能获得较好的 经济效益。 325 149.2
