机器人学-第2章 机器人运动学(4)教材

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1、机器人运动学 机器人运动学的主要内容 o位置与姿态描述 o坐标变换 o连杆变换矩阵 o机器人正向运动学 o机器人逆向运动学 机器人运动学前言 p机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械臂之间的关 系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示 方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉 中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。 p本课程将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物 体之间以及各物体与机器人(机械臂)之间的关系。 n运动学研究的问题： qq运动学正问题：运动学正问题：机器 人运动学正问题是已 知机器人各关节、各 连杆参数及各关节变 量，求机

2、器人手端坐 标在基础坐标中的位 置和姿态。 机器人运动学前言 qq运动学逆问题：运动学逆问题：机器 人运动学逆问题，是 已知满足某工作要求 时末端执行器的位置 和姿态，以及各连杆 的结构参数，求关节 变量。 Where is my hand? How to move my hand? 机器人运动学前言 n n 机器人的微分运动：机器人的微分运动：机器人 关节坐标的微小运动与机器 人末端的位置和姿态的变化 之间的变换关系。 n n 基于速度的运动控制：基于速度的运动控制：通常 采用微分运动原理对机器人 的各个关节的运动进行控制 。 How to solve the magic cube ？ 1.

3、 位置描述 1.1笛卡尔坐标系： 在选定的直角坐标系A 中，空间任一点P的位 置可用位置矢量 表示： 利用31矩阵表示： O X Y Z 图 1.1笛卡尔坐标系 1. 位置描述 1.2 三维空间点P的齐次坐标 ：加入一个比例因子w, 位置向量 可以写为： 假设ijk是直角坐标系中XYZ坐 标轴的单位向量，则XYZ轴 可表示为 1. 位置描述 1.3 坐标系的表示： o在固定参考坐标系原点的表示：用三个相互垂直的单位向量来 表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系，分别为n,o,a，依次 表示法线(normal)，指向(oritentation)，和接近(approach)。这样 ，坐标系就可以由

4、三个向量以矩阵的形式表示为 1. 位置描述 o坐标系不在固定参考坐标系的原点:可以在该坐标系 的原点与参考坐标系原点之间做一个向量，而这个向 量由上节中提到的参考坐标系的三个坐标向量表示。 这样，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量 以及第四个位置向量来表示。 1. 位置描述 示例：坐标系位于参考坐标系的3，5，7的位置。n轴与x轴平 行，o轴相对于y轴角度45，a轴相对于z轴角度45 ） F= 1 0 0 3 0 0.707 -0.707 5 0 0.707 0.707 7 0 0 0 1 2. 姿态描述 姿态描述：刚体的空间表示。 一个刚体在空间有几个自由度？ 通常的做法是：定义两个坐

5、标系 空间固定坐标系和刚体固定坐标 系。 常用的姿态描述： 旋转矩阵的姿态描述（笛卡尔坐标系 下）， 欧拉（Euler）角的姿态描述， 利用横滚（R：Roll）、俯仰（P： pitch）、偏转（Y：yaw）角（ RPY角）的姿态描述等。 O X/u Y/v Z/w r q p 图2-1 固定坐标系下六个自由度上的运动分量 G 2.1 姿态描述 表示与B的坐标 轴平行的三个单位矢量在坐 标系A中的描述。 表示 刚体B相对于坐标系A的姿 态。 刚体B相对于坐标系A 的姿态的旋转矩阵。 2.1 姿态描述 n旋转矩阵的性质： q单位向量，相互垂 直，正交。 q正交矩阵： 2. 2位姿描述 n位置与姿态

6、简称位姿。刚体B在参考坐标系A中的 位姿利用坐标系B描述。 q齐次变换矩阵形式 3.坐标变换 3.1平移变换（Translation transformation）： 坐标系B与A的方向向量平行，原点不同。 XA 其中px , py和pz是纯平移向量APB相对 于参考坐标系x , y和z轴的三个分量。 n矩阵的前三列表示没有旋转运动（ 等同于单位阵），而最后一列表示平 移运动。 YA ZA OA YB XB ZB OB APB BP 3.坐标变换 3.2旋转坐标变换（Rotation transformation） q假设坐标系（n ,o ,a）位于参考坐标系（x ,y ,z）的原点， 坐标系

7、（n ,o ,a）绕参考坐标系的x轴旋转一个角度，再假 设旋转坐标系（n ,o ,a）上有一点P相对于参考坐标系的坐标 为Px,Py和Pz，相对于运动坐标系的坐标为Pn, Po和Pa。当坐 标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转 3.坐标变换 n旋转后，该点坐标Pn, Po 和Pa在旋转坐标系中保持不 变，但在参考坐标系中： 旋转变换矩阵 3.坐标变换 n绕 x, y, z 轴分别旋转 角的相应齐次变换是: n假设坐标系（n ,o ,a）和 参考坐标系（x ,y ,z）的原 点不重合。 n用位置矢量表示B的原 点相对A的位置，用旋转 矩阵表示B相对与A 的方位。 3.坐标变换 n任

8、何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变 换。 n示例：假设坐标系（n ,o ,a）位于参考坐标系（x ,y ,z）的原点，坐标系（n,o,a）上的点P（7，3，2）经历 如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 (1)绕z轴旋转90度； (2)接着绕y轴旋转90度； (3)接着再平移4，-3，7。 Pxyz=Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)Pnoa 3.坐标变换 Pxyz=6，4，10，1T p示例 例题： nB和A位姿重合。 现现在将B绕绕AzA轴轴 转转30度，再沿A的xA轴轴 移动动12单单位，再沿A的 yA轴轴移动动6单单位。假设设点p 在

9、B中位置为为5,9,0T， 求点p在A中位置。 q ApB=12, 6, 0,1T q Ap=11.1, 13.6, 0,1T 3.坐标变换 3.3逆变换（Inverse transformation) q所谓逆变换就是将被变换的坐标系返回到原来的坐标系 。 q变换矩阵的一般表达形式： 式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是 3.坐标变换 3.3联体坐标变换 q对于坐标系ABC，假设A是参考坐 标系（基坐标系），则B相对于A的坐标变 换以及C相对于B的坐标变换称为联体坐标 变换。 q已知B 在A中的表示为T1，C在B中 的表示为T2，刚体在C中的表示为T3，则刚体在 A

10、中的表示为 TT1T2T3 设C在基W下的描述 为WTC，在B下的描述为 BTC。 WTC WTB BTC BTC WT-1C WTB 3.坐标变换 n 通用旋转变换：如果旋 转所绕的轴不是坐标轴 ，而是一根任意轴？设 f为单位矢量，为旋转 角。 n 设B在基W下 的描述为WTB，且f为 B的z轴上的单位矢量 。 3.坐标变换 q通用旋转变换 3.坐标变换 n思考：如何求解T在B下的位置？ B：基坐标系 G：目标系 T：工具系 4.连杆变换矩阵 n机械手是一系列由关节连接起来的连杆构成。 n每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换描述 坐标系之间的相对位置和姿态。 nA矩阵：一个连杆和下一个连杆

11、坐标系间的相对 关系的齐次变换。 n n对于六连杆机械手： T6A1A2A3A4A5A6 4.连杆变换矩阵 4.1关节与连杆： n 在机器人中，通常有两 类关节：转动关节和移动 关节。 n自由度：物体能够相对于 坐标系进行独立运动的数 目 q不同于人类的关节，一 般机器人关节为一个自 由度的关节，其目的是 为了简化力学、运动学 和机器人的控制。 q转动关节提供了一个转 动自由度，移动关节提 供一个移动自由度，各 关节间是以固定杆件相 连接的。 4.连杆变换矩阵 n关节轴线：对于旋转关 节，其转动轴的中心线 作为关节轴线。对于平 移关节，取移动方向的 中心线作为关节轴线。 n连杆参数： q连杆长

12、度：两个关节的 关节轴线Ji与Ji+1 的公 垂线距离为连杆长度， 记为ai。 q连杆扭转角：由Ji与公 垂线组成平面P，Ji+1 与平面P的夹角为连杆 扭转角，记为i 。 4.连杆变换矩阵 q连杆偏移量：除第一 和最后连杆外，中间 的连杆的两个关节轴 线Ji与Ji+1 都有一条 公垂线ai，一个关节 的相邻两条公垂线ai 与ai-1 的距离为连杆 偏移量，记为di。 q关节角：关节Ji的相 邻两条公垂线ai与ai-1 在以Ji为法线的平面 上的投影的夹角为关 节角，记为i。 qai,i, di, i这组参数称 为Denavit- Hartenberg(D-H)参数 。 4.连杆变换矩阵 连杆

13、本身 的参数 连杆长度an连杆两个轴的公垂线距离（x方向） 连杆扭转角n连杆两个轴的夹角（x轴的扭转角） 连杆之间 的参数 连杆之间的距 离 dn 相连两连杆公垂线距离（z方向平移距 ） 连杆之间的夹 角 n 相连两连杆公垂线的夹角（z轴旋转角 ） D-H参数 4.连杆变换矩阵 n连杆坐标系： q为为描述相邻邻杆件间间平移和转动转动 的关系。 Denavit和 Hartenberg (1955)提出了一种为为关节链节链 中的每一杆件建立 附体坐标标系的矩阵阵方法。 qD-H方法是为为每个关节处节处 的杆件坐标标系建立4 4齐齐次变变 换换矩阵阵，表示它与前一杆件坐标标系的关系。这样这样 逐次变

14、变 换换，用“手部坐标标”表示的末端执执行器可被变换变换 并用机座 坐标标表示。 q坐标标系的建立有两种方式： nPaul定义义法 nCraig定义义法 4.连杆变换矩阵 nPaul定义法: q中间连杆Ci坐标系的建 立： n原点Oi：取关节轴线 Ji与Ji+1的公垂线在 与Ji+1的交点为坐标 系原点。 nZi轴：取Ji+1的方向 为Zi轴方向。 nXi轴：取公垂线指向 Oi的方向为Xi轴方向 。 nYi轴：根据右手定则 由Xi轴和Zi轴确定Yi 轴的方向。 4.连杆变换矩阵 q第一连杆C1坐标系的建立： n原点O1：取基坐标系原点为坐标系 原点。 nZ1轴：取J1的方向为Z1轴方向。 nX

15、1轴：X1轴方向任意选取。 nY1轴：根据右手定则由X1轴和Z1轴 确定Y1轴的方向。 4.连杆变换矩阵 q最后连杆Cn坐标系的建立 ：最后一个连杆一般是抓 手。 n原点On：取抓手末端中心 点为坐标系原点。 nZn轴：取抓手的朝向, 即 指向被抓取物体的方向为 Zn轴方向。 nXn轴：取抓手一个指尖到 另一个指尖的方向为Xn轴 方向。 nYn轴：根据右手定则由Xn 轴和Zn轴确定Yn轴的方向 。 4.连杆变换矩阵 nCraig定义法:对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有三个 关节Ji-1、Ji和Ji+1。 n中间连杆Ci坐标系的建立： q原点Oi：取关节轴线Ji与Ji+1的公垂线在与 Ji的交点为坐标系原点。 qZi轴：取Ji的方向为Zi轴方向。 qXi轴：取公垂线从Oi指向Ji+1的方向为Xi轴 方向。 qYi轴：根据右手定则由Xi轴和Zi轴确定Yi轴 的方向。 4.连杆变换矩阵 n第一连杆C1坐标系的建立： q原点O1：取基坐标系原点为坐标系原点。 qZ1轴：取J1的方向为Z1轴方向。 qX1轴：X1轴方向任意选取。 qY1轴：根据右手定则由X1轴和Z1轴确定Y1轴的方向。 n最后连杆Cn坐标系的建立：最后一个连杆一般是抓手 。 q原点On：取抓手末端中心点为坐标系原