数学与创新思维讲述

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1、数学与创新思维 引言 全国科技大会指出： “创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。一个没有创新 能力的民族难于屹立于世界民族之林。 ” “建立创新型国家。” 教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念，尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为主 。” 恩格斯指出： “一个民族要想站在科学的最高峰，就一 刻也不能没有理论思维。” 创造性人才的创造活动是在相应的创造创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。核心和

2、灵魂。 HG格拉斯曼说：“数学除了锻炼 敏锐的理解力，发现真理外，它还 有另一个训练全面考查科学系统的 头脑的开发功能。” 赫巴特说：“数学一般通过直接激 发创造精神和活跃思维的方式来提 供最佳服务。” 因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。 讲四个问题 一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 我将结合高等数学和数学史上一些著名问 题来讲 一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要 的思维方法。 著名数学家拉普拉斯指出： “ 分析和自然哲学中许多重大的发现，都归 功于归纳方法牛顿二项式定理和万有引力原 理，就是归纳方法的成果。”

3、 “在数学里， 发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。” 著名数学家高斯曾说： “我的许多发现都是靠归纳取得的。” 著名数学家沃利斯 说：“我把（不完全的 ）归纳和类比当作一种 很好的考察方法，因为 这种方法的确使我很容 易发现一般规律” 归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析 、计算）对许多个别事物的经验认识的基础 上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从 观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归 纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说 ，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共 性和本质的东西的抽象化思维。 也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个 别中发现一般。 从数学的发展可以看

4、出，许多新的数学 概念、定理、法则、的形式，都经历过 积累经验的过程，从大量观察、计算, 然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥 德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。 归纳的方法 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想: : 3+7=103+7=10， 3+17=203+17=20， 13+17=3013+17=30 3 3，7 7，1313，1717都是奇素数都是奇素数* *。 1010， 2020， 30 30 都是偶数。都是偶数。 是否两个奇素数之和都是偶数呢？是否两个奇素数之和都是偶数呢？ 这是显然的。但是（逆向思维） 任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之 和吗？ 6=3+3 8=3+5 10=3+7

5、 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 这样下去总是对的吗？即这样下去总是对的吗？即 任何一个大于任何一个大于4 4的偶数都是两个奇素数之和？的偶数都是两个奇素数之和？ 大于大于4 4的偶数的偶数= =奇素数奇素数+ +奇素数？奇素数？ ( ( * * ) ) （哥德巴赫猜想）（哥德巴赫猜想） 60=3+57 （57=193，不是素数） 60=5+55 （55=115，不是素数) ？！ 60=7+53（7和53都是素数） . 哥德巴赫猜想。起源，演变 哥德巴赫观察到一些具体例子， 然后归纳出： “任何大于2的数都是三个素数的和”。（1742.6.7写信 给欧拉，并附上

6、一些他观察到的例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为： “每一偶数是两个素数的和”(*)（并说：“我认为它正 确，但给不出证明） 1770（英）华林将(*)发表出来。 现代的标准陈述是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景 润，（1+2）。 这是数学向人类智慧的挑战！ 但对此猜想的证明过程中，极大的推动了解析 数论的发展（特别是筛法，圆法） 二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5= . (u+v)n= 1 1 2

7、 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 92 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 4 1 1 3 3 6 6 10101515 5 5 1 1 4 4 10102020 6 6 1 1 5 5 1515 7 7 1 1 6 6 8 8 1 1 9 9 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 92 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 4 1 1 3 3 6 6

8、 10101515 5 5 1 1 4 4 10102020 6 6 1 1 5 5 1515 7 7 1 1 6 6 8 8 1 1 9 9 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝数学家杨辉1261年写的详解九章算法 *就解释了上述系数三角形的构造法，并说 贾宪用此术。 杨辉三角形 在高等数学中，许多重要结果的得出，都在高等数学中，许多重要结果的得出，都 用到了归纳思维。例如：用到了归纳思维。例如： 求某一函数的 求某一函数的 n n 阶导数，通常的方法是求出阶导数，通常的方法是

9、求出 其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶） 导数，再归纳出导数，再归纳出 n n 阶导数的表达式。阶导数的表达式。 解 从而归纳出 解 因为 因而归纳得到 科尔莫哥洛夫在我 是如何成为数学家中说 ：我在6、7岁时我已经感 受到数学归纳发现的乐趣 ，例如，我注意到下边的 等式： 他的这个发现，后来被刊登在春燕杂志上。 问题：考察表 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当 数学式子表示出来，而且试证明它。 问题：下述结论是否成立？ 二、类比思维 著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀 澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著 名哲学家康德指出：“每当

10、理智缺乏可靠论证的 思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性、 关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也 可能相似的推理。 简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼 去发现此）。 类比为人们思维过程提供了更广阔的“ 自由创造”的天地，使它成为科学研究中 非常有创造性的思维形式，从而受到了很 多著名科学家的重视与青睐。例如： 著名天文学、数学家开普勒 说： “我珍视类比胜于任何 别的东西，它是我最可信赖的 老师它能揭示自然的奥秘 。” 著名数学家、教育学家波利亚 说：“类比是一个伟大的引路人， 求解立体几何问题往往有赖于平面 几何中的类比问题。” 在平面解

11、析几何中直线的截距式是： 在平面解析几何中在平面解析几何中, ,两点的距离是：两点的距离是： 在空间解析几何中在空间解析几何中, ,两点的距离是：两点的距离是： 在空间解析几何中平面的截距式是：在空间解析几何中平面的截距式是： 在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。 将他们比较可以看出:把中右端K次幂换成K阶导数 (零阶导数理解为函数本身),把中u+v换成uv,n 次幂换成n阶导数既为. (拉格朗日17岁) 牛顿二项式展开公式 费马猜想： X2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z

12、=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整数，n2是否有正整数解？ Z Z =X X + Y Y 52=32+42 Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 为正整数) 公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi) Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994) 欧拉猜想：下述方程没有整数解： 没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想 之后的200年内大家都相信它是正确的. 但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例： 后来人们又发现了一个更简单的例子： 特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林 公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。 若将牛顿莱布尼

13、茨公式 视为，它建立了一元函数f(x)在一个区间的 定积分与其原函数F(x)在区间边界的值之间的 联系； 通过类比，就可将格林公式 视为，它建立了二元函数在一个平面区域D 上的二重积分与其“原函数”在区域边界L的 曲线积分之间的联系； 实践证明：在学习过程中，将新内容 与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但 易于接受、理解、掌握新知识，更重要的 是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利 于开发自己的创造力。（费马猜想） 三、发散思维 所谓具有发散特性的思维是指信息处理 的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是 一种开放性的立体思维，即围绕某一问题， 沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记忆中的信

14、息，产生新的信息并获得解决 问题的多种方案。因此，也把发散思维称为 求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用“一题多解”，“一题多变”等方式 ，发散式地思考问题。 数学王子数学王子高斯高斯 高斯被誉为：“ 能从九霄云外的高度 按某种观点掌握星空 和深奥数学的天才” 和“数学王子”。 特别是高斯非常重视培养自己的发散 思维，并且善于运用发散思维。他非常 重视“一题多解”、“一题多变”。例 如：他对代数基本定理，先 后给出 了4种不同的证明；他对数论中的二次 互反律，先后给出了8种不同的证明（ 高斯称二次互反律是数论中的一块 宝石，数论的酵母，是黄金定理）。 欧拉 勒让德 第一个证明是用归纳法； 第二个证明是用二次型理论； 第三个和第五个证明是用高斯引理； 第四个证明是用高斯和； 第六个和第七个证明是用分圆理论； 第八个证明是用高次幂剩余理论。 他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其 后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、 艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给 出了新的证明并发展了该理论。 有人曾问高斯：“你为什么能对数学作 出那样多的发现？”高斯答道：“假如别 人和我一样深刻和持久地思考数学真理， 他也会作出同样的发现。” 高斯还说：“绝对不能以为获得一个证 明以后，研究便告结束，或把另外的证明 当作多余的奢侈品。”