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1、5-3 角动量守恒 物理学 第五版 1 m 一 质点对轴的角动量 质点对定点的角动量 O O 质点对定轴的角动量 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 2 质点对定轴的角动 量是质点对该轴上 任意一点角动量在 轴方向的分量 m O O m O O 的方向符合右手法则 力对定轴的力矩 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 3 质点i以 作半径为 的圆周运动,相对圆心 二 刚体对定轴的角动量 刚体定轴转动的角动量:各质点对各自 转动中心的角动量之和。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 4 三 定轴转动的角动量定理 质点系 对定点 质点系 对定轴 刚体对定轴 当转轴给定时, 作用在物体上的合外 力冲量
2、矩等于角动量 的增量定轴转 动的角动量定理 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 5 四 定轴转动的角动量守恒定律 ,则若=常量 如果物体所受的合外力矩等于零,或 者不受外力矩的作用,物体的角动量保持 不变角动量守恒定律 定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动 量都是对同一转轴而言的。 讨论 可适用于任意质点系 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 6 守恒条件 若 不变, 不变; 若 变, 也变,但 不变. J 大小,J 小 大。 许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 7 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量.
3、 在冲击等问题中 常量 适用范围:惯性系,宏观、微观都适用。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 8 解:取人和转台为系统,则 人走动时,系统角动量守恒 (为什么?) 例1 静止水平转台边缘上一质量为m的人,当 人沿边缘以速率v行走时,问转台的角速度为多 大?设转台绕通过转台中心的铅直轴转动,转 动惯量为J0,半径为R 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 9 设平台角速度为,人相对转轴角速度为 其中 (负号意义) 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 10 例2 一静止的均匀细棒长为l ,质量为m,可 绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在 水平面内转动,转动惯量为 ,一质量为m, 速度为v的
4、子弹在水平 面内沿与棒垂直的方向 射入杆另一端后,穿出 的速率为 ,则此时 棒的角速度应为( ) 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 11 解(1) : 子弹与棒组成的系统角动量(对o轴)守恒 动量守恒? 子弹射入细杆,使 细杆获得初速度。因这一 过程进行得很快,细杆发生 偏转极小,可认为杆仍处于 原位置,没有移动。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 12 求:任意位置时,轴给细棒的作用力 设任意位置时,细棒角速度为,角加速度为 , 设轴给细棒的作用力为 Fn, Ft 解: 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 13 在碰撞过程中,细棒既具有 极大的加速度,同时角速度 也不为零,所以受到轴施加
5、 法向和切向两个作用力,动 量不守恒。 子弹射入竖直面内杆时,根 据相似的分析,动量不守恒 子 弹 击 入 杆 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 14 解(2):子弹为研究对象 以棒为研究对象 解得 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 15 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动当细杆静止于水平位置时,有一只 小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处,并背 离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆 的质量均为m问:欲使细杆以恒定的角速 度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行? l/4 O 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 16 解 虫与杆的
6、 碰撞前后,系统角 动量守恒 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 17 由角动量定理 考虑到 得 此即小虫需具有的爬行速率 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 18 判断下列分析是否正确 1、细杆和小虫组成的系统,受 到小虫的重力矩根据转动定律: O 2、细杆受到小虫的正 压力矩,根据转动定律 细杆不可能以恒定的角 速度转动。 O 系统不可能以恒定的角速度转动 。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 19 O 小虫在运动中,垂直于杆的分速度的大小 和方向都在改变,因此存在垂直于杆的加 速度,详细的计算表明N=0 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 20 小结:刚体定轴转动中几个应注意的问题。
7、(1)刚体运动规律区别于质点运动规律, 切莫混为一谈! (3)注意“转轴” (4)系统中质点、刚体同时存在,应分别讨论 (2)动量守恒区别于角动量守恒规律,切 莫混为一谈! 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 21 例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一 端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高? l l/2 CA B M N h 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 22 设跷板是匀质的,长度为l,质量为 , 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为m假定演员M落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 解 碰撞前M落在 A点的速度 碰撞后的瞬
8、间,M、N具有相同的线速度 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 23 M、N和跷板组成的系统,角动量守恒 l l/2 CA B M N h 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 24 解得 演员N以u起跳,达到的高度: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 25 一 力矩作功 比较 角量表示的力 作功的形式 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 26 二 力矩的功率 比较 三 转动动能 刚体转动动能,应该是刚体的所有质点 的转动能能之和 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 27 四 刚体绕定轴转动的动能定理 刚体绕定轴转动的动能定理 A内力矩? 合外力矩对刚体所作的功, 等于刚体转动动
9、能的增量。 对于刚体来说,因质点间无相对位移,任何 一对内力作功为零 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 28 刚体的重力势能是组成刚体 的各个质点的重力势能之和 质心高度 一个不太大刚体的重力势能,相当于它的全 部质量都集中在质心时所具有的势能。 五. 刚体的重力势能 刚体的机械能 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 29 六、机械能守恒 功能原理、机械能守恒定律在刚体运动的情 况下仍然适用。 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有 保守内力作功,则此系统的机械能守恒。 刚体的势能 其他质点系统的势能 刚体的动能 其他质点系统的动能 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 30 以
10、子弹和沙袋为系统 动量守恒; 角动量守恒; 机械能不守恒 . 讨 论动量,角动量,机械能是否守恒 子 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 31 子 弹 击 入 杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 角动量守恒; 动量不守恒; 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 32 圆 锥 摆 圆锥摆系统 动量不守恒; 角动量守恒; 机械能守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 33 例1 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一 质量为m、速率为v 的子弹射 入竿内距支点为a 处,使竿的 偏转角为30o . 问子弹的初速 率为多少? 解 子弹
11、、竿组成一系统,应用角动量守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 34 射入竿后,以子弹、细 杆和地球为系统,E =常量 解得: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 35 (1)滑轮的角速度; (2)滑轮的角速度为零时,物体上升的高度; (3)物体回到原来的位置时,定滑轮的角速度 。 m M R 例2一轴承光滑的定滑轮,质量为 M=2kg、半径为R=0.1m,一不能伸 长的轻绳,一端固定在滑轮边上 ,另一端挂一质量定滑轮的为 m=5kg的物体。已知转动惯量为 ;其初角速度为0=10rad/s,方向 垂直纸面向里。求: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 36 解 (1) m M
12、R 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 37 m M R (2) (3) 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 38 又解(2):据机械能守恒定律 : 解得 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 39 最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角 速度1,2 例3、质量分别为M1、M2,半 径分别为R1 、R2的两均匀圆 柱,可分别绕它们本身的轴转 动,两轴平行。原来它们沿同 一转向分别以10 ,20的角 速度匀速转动,然后平移两轴 使它们的边缘相接触,求: R2 M2 R1 M1 R2 M2 R1 M1 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 40 两圆柱系统角动量守恒故有 解:在接触处无
13、相对滑动 时,两圆柱边缘的线速度 一样,故有 由以上两式就可解出1,2。这种解法对吗 ? R1 M1 R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 41 上解认为系统的总角动量为 两圆柱各自对自己的轴的角 动量之和是错误的,因为系 统的总角动量只能对某一个 轴进行计算。 R1 M1 R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 42 正确的解法应对两圆柱分 别使用角动量定理,两柱 接触时摩擦力大小相等、 方向相反R1 M1 f f R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 43 由此可解得: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 44 1.刚体角动量守恒的充分而必要的条
14、件是 (A)刚体不受外力矩的作用。 (B)刚体所受合外力矩为零。 (C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 (D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 45 2. 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上, 双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑铃水 平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平 台组成的系统的 (A)机械能守恒,角动量守恒 (B)机械能守恒,角动量不守恒。 (C)机械能不守恒,角动量守恒。 (D)机械能不守恒,角动量也不守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 46 练习 一根长为l、质量为m的均匀细直棒,其 一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直 平面内转动。最初棒静止在水平位置,求它由 此下摆角时的角加速度和中点C和端点A的速 度角速度。 O C A 以下解法对吗? 求出 作业:1011冬季学期大学物理一刚 体定轴转动习题 5,8,9,10 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 47 X O 解:棒下摆为加速过程 ,外力矩为重力对O的 力矩。当棒处在下摆 角时,重力矩为: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 48 X O 物理学 第五版 49 直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量守恒定律