刚体绕定轴转动讲述

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1、5-3 角动量守恒 物理学 第五版 1 m 一 质点对轴的角动量 质点对定点的角动量 O O 质点对定轴的角动量 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 2 质点对定轴的角动 量是质点对该轴上 任意一点角动量在 轴方向的分量 m O O m O O 的方向符合右手法则 力对定轴的力矩 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 3 质点i以 作半径为 的圆周运动，相对圆心 二 刚体对定轴的角动量 刚体定轴转动的角动量：各质点对各自 转动中心的角动量之和。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 4 三 定轴转动的角动量定理 质点系 对定点 质点系 对定轴 刚体对定轴 当转轴给定时， 作用在物体上的合外 力冲量

2、矩等于角动量 的增量定轴转 动的角动量定理 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 5 四 定轴转动的角动量守恒定律 ，则若=常量 如果物体所受的合外力矩等于零，或 者不受外力矩的作用，物体的角动量保持 不变角动量守恒定律 定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动 量都是对同一转轴而言的。 讨论 可适用于任意质点系 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 6 守恒条件 若 不变， 不变； 若 变， 也变，但 不变. J 大小,J 小 大。 许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 7 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量.

3、 在冲击等问题中 常量 适用范围:惯性系,宏观、微观都适用。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 8 解：取人和转台为系统，则 人走动时，系统角动量守恒 （为什么？） 例1 静止水平转台边缘上一质量为m的人，当 人沿边缘以速率v行走时，问转台的角速度为多 大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转 动惯量为J0，半径为R 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 9 设平台角速度为，人相对转轴角速度为 其中 （负号意义） 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 10 例2 一静止的均匀细棒长为l ，质量为m，可 绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在 水平面内转动，转动惯量为 ，一质量为m， 速度为v的

4、子弹在水平 面内沿与棒垂直的方向 射入杆另一端后，穿出 的速率为 ，则此时 棒的角速度应为（ ） 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 11 解（1） ： 子弹与棒组成的系统角动量(对o轴)守恒 动量守恒？ 子弹射入细杆,使 细杆获得初速度。因这一 过程进行得很快,细杆发生 偏转极小,可认为杆仍处于 原位置，没有移动。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 12 求：任意位置时，轴给细棒的作用力 设任意位置时，细棒角速度为，角加速度为 ， 设轴给细棒的作用力为 Fn， Ft 解： 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 13 在碰撞过程中，细棒既具有 极大的加速度，同时角速度 也不为零，所以受到轴施加

5、 法向和切向两个作用力，动 量不守恒。 子弹射入竖直面内杆时，根 据相似的分析，动量不守恒 子 弹 击 入 杆 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 14 解（2）：子弹为研究对象 以棒为研究对象 解得 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 15 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆 的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行? l/4 O 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 16 解 虫与杆的

6、 碰撞前后，系统角 动量守恒 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 17 由角动量定理 考虑到 得 此即小虫需具有的爬行速率 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 18 判断下列分析是否正确 1、细杆和小虫组成的系统，受 到小虫的重力矩根据转动定律: O 2、细杆受到小虫的正 压力矩，根据转动定律 细杆不可能以恒定的角 速度转动。 O 系统不可能以恒定的角速度转动 。 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 19 O 小虫在运动中，垂直于杆的分速度的大小 和方向都在改变，因此存在垂直于杆的加 速度，详细的计算表明N=0 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 20 小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。

7、（1）刚体运动规律区别于质点运动规律， 切莫混为一谈！ （3）注意“转轴” （4）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论 （2）动量守恒区别于角动量守恒规律，切 莫混为一谈！ 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 21 例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高? l l/2 CA B M N h 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 22 设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ， 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 解 碰撞前M落在 A点的速度 碰撞后的瞬

8、间，M、N具有相同的线速度 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 23 M、N和跷板组成的系统，角动量守恒 l l/2 CA B M N h 5-3 角动量守恒 物理学 第五版 24 解得 演员N以u起跳，达到的高度： 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 25 一 力矩作功 比较 角量表示的力 作功的形式 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 26 二 力矩的功率 比较 三 转动动能 刚体转动动能，应该是刚体的所有质点 的转动能能之和 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 27 四 刚体绕定轴转动的动能定理 刚体绕定轴转动的动能定理 A内力矩？ 合外力矩对刚体所作的功， 等于刚体转动动

9、能的增量。 对于刚体来说，因质点间无相对位移，任何 一对内力作功为零 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 28 刚体的重力势能是组成刚体 的各个质点的重力势能之和 质心高度 一个不太大刚体的重力势能，相当于它的全 部质量都集中在质心时所具有的势能。 五. 刚体的重力势能 刚体的机械能 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 29 六、机械能守恒 功能原理、机械能守恒定律在刚体运动的情 况下仍然适用。 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有 保守内力作功,则此系统的机械能守恒。 刚体的势能 其他质点系统的势能 刚体的动能 其他质点系统的动能 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 30 以

10、子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 讨 论动量，角动量，机械能是否守恒 子 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 31 子 弹 击 入 杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 角动量守恒； 动量不守恒； 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 32 圆 锥 摆 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 33 例1 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一 质量为m、速率为v 的子弹射 入竿内距支点为a 处，使竿的 偏转角为30o . 问子弹的初速 率为多少? 解 子弹

11、、竿组成一系统，应用角动量守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 34 射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量 解得： 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 35 （1）滑轮的角速度； （2）滑轮的角速度为零时，物体上升的高度； （3）物体回到原来的位置时，定滑轮的角速度 。 m M R 例2一轴承光滑的定滑轮，质量为 M=2kg、半径为R=0.1m,一不能伸 长的轻绳，一端固定在滑轮边上 ，另一端挂一质量定滑轮的为 m=5kg的物体。已知转动惯量为 ；其初角速度为0=10rad/s,方向 垂直纸面向里。求： 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 36 解 （1） m M

12、R 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 37 m M R （2） （3） 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 38 又解（2）：据机械能守恒定律 ： 解得 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 39 最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角 速度1，2 例3、质量分别为M1、M2,半 径分别为R1 、R2的两均匀圆 柱,可分别绕它们本身的轴转 动,两轴平行。原来它们沿同 一转向分别以10 ，20的角 速度匀速转动,然后平移两轴 使它们的边缘相接触,求: R2 M2 R1 M1 R2 M2 R1 M1 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 40 两圆柱系统角动量守恒故有 解:在接触处无

13、相对滑动 时,两圆柱边缘的线速度 一样,故有 由以上两式就可解出1，2。这种解法对吗 ? R1 M1 R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 41 上解认为系统的总角动量为 两圆柱各自对自己的轴的角 动量之和是错误的，因为系 统的总角动量只能对某一个 轴进行计算。 R1 M1 R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 42 正确的解法应对两圆柱分 别使用角动量定理，两柱 接触时摩擦力大小相等、 方向相反R1 M1 f f R2 M2 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 43 由此可解得: 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 44 1.刚体角动量守恒的充分而必要的条

14、件是 （A）刚体不受外力矩的作用。 （B）刚体所受合外力矩为零。 （C）刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 （D）刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 45 2. 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上， 双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑铃水 平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平 台组成的系统的 （A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒。 （C）机械能不守恒，角动量守恒。 （D）机械能不守恒，角动量也不守恒 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 46 练习 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其 一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直 平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由 此下摆角时的角加速度和中点C和端点A的速 度角速度。 O C A 以下解法对吗？ 求出 作业：1011冬季学期大学物理一刚 体定轴转动习题 5，8，9，10 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 47 X O 解：棒下摆为加速过程 ，外力矩为重力对O的 力矩。当棒处在下摆 角时，重力矩为： 5-4 转动中的功和能 物理学 第五版 48 X O 物理学 第五版 49 直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量守恒定律